Геометрическая фигура

Фигу́ра (лат. figura — внешний вид, образ) (англ. shape) — геометрический термин, формально применимый к произвольному множеству точек. Обычно это конечное число точек, линий или поверхностей, в том числе и в единственном числе: точка, линия или поверхность^[1].

Общие определения

Фигу́ра — любое множество точек. Точка — элемент пространства. Пространство — пара множеств^[2]:

множество $M$ произвольных элементов;
некоторая группа $G$ преобразований множества $M$ .

Эквивалентные фигуры. Геометрия группы

Фигура $A$ эквивалентна, или равна, фигуре $B$ , если в группе $G$ имеется преобразование, переводящее $A$ в $B$ . Группа преобразований необходима для того, чтобы выполнялись симметричность и транзитивность свойства эквивалентности фигур, без чего понятие эквивалентности не имеет смысла. Другими словами, использование группы преобразований делает истинными следующие два утверждения^[2]:

если фигура $A$ эквивалентна фигуре $B$ , то тогда и $B$ эквивалентна $A$ , другими словами, $A$ и $B$ эквивалентны;

Доказательство^[2]

Пусть фигура $A$ эквивалентна фигуре $B$ , тогда существует преобразование $g$ группы $G$ , переводящее $A$ в $B$ . Поскольку $G$ — группа, в $G$ существует обратное преобразование $g^{-1}$ , переводящее $B$ в $A$ , то есть $B$ эквивалентна $A$ .

если две фигуры $A$ и $B$ эквивалентны третьей $C$ , то тогда $A$ и $B$ эквивалентны.

Доказательство^[2]

Пусть фигура $A$ эквивалентна фигуре $C$ , тогда существует преобразование $g$ группы $G$ , переводящее $A$ в $C$ . И пусть фигура $B$ эквивалентна фигуре $C$ , тогда существует преобразование $h$ группы $G$ , переводящее $B$ в $C$ . Поскольку $G$ — группа, в $G$ существует обратное преобразование $h^{-1}$ , переводящее $C$ в $B$ . И поскольку $G$ — группа, в $G$ существует преобразование $h^{-1}g$ , которое есть последовательное выполнение $g$ и $h^{-1}$ , переводящее $A$ в $B$ , то есть $A$ и $B$ эквивалентны.

Свойства и арифметические характеристики фигур пространства $M$ называются, согласно автору Эрлангенской программы Феликсу Клейну, геометрическими, если они не изменяются при любых преобразованиях группы $G$ , другими словами, если они одинаковы для эквивалентных фигур. Геометрией группы $G$ называется система утверждений о геометрических свойствах и арифметических характеристиках фигур^[3].

Группы автоморфизмов

Автоморфным преобразованием, или автоморфизмом, относительно некоторой фигуры $U$ произвольного пространства $M$ с какой-нибудь группой преобразований $G$ называется такое преобразование группы $G$ , которое переводит в самоё себя (то есть отображает на себя) эту фигуру $U$ . Автоморфизм перемещает любую точку фигуры $U$ снова в некоторую точку этой фигуры, в частности, в ту же самую точку^[4].

Особенности группы преобразований делает истинными следующее утверждение^[5]:

множество всех автоморфизмов данной группы $G$ относительно любой фигуры $U$ есть группа — подгруппа группы $G$ .

Доказательство^[5]

1. Пусть имеются два любых автоморфизма, то есть любые два преобразования группы $G$ , отображающие некоторую фигуру $U$ на себя. Тогда, поскольку $G$ — группа, их последовательное выполнение есть снова преобразование $G$ , отображающее $U$ на себя. Таким образом, последовательное выполнение двух автоморфизмов есть снова автоморфизм.

2. Пусть имеется любой автоморфизм, то есть любое преобразования группы $G$ , отображающее некоторую фигуру $U$ на себя. Тогда, поскольку $G$ — группа, обратное преобразование есть снова преобразование $G$ , причём отображающее $U$ на себя. Таким образом, преобразование, обратное автоморфизму, есть снова автоморфизм.

Так как $G$ — группа преобразований, этих двух свойств автоморфизмов достаточно для того, чтобы множество всех автоморфизмов данной группы $G$ относительно любой фигуры $U$ было группой — подгруппой группы $G$ .

Фигуры на плоскости

Обычно фигурой на плоскости называют замкнутые множества, которые ограничены конечным числом линий. При этом допускаются вырождения, например: угол, луч и точка считаются геометрическими фигурами.

Если все точки фигуры лежат в некоторой плоскости — она называется плоской и она может быть задана уравнением $g(x,y)=0$ .

Порядок (степень) фигуры — это порядок (степень) уравнения, которым она задана^[6].

Фигуры в (трёхмерном) пространстве

Если Φ — фигура, состоящая из всех точек (трёхмерного) пространства, удовлетворяющих уравнению $f(x,y,z)=0$ , то данное уравнение — уравнение фигуры, оно задаёт фигуру Φ^[6].

См. также

Тело (геометрия)

Примечания

↑ Фигура, 1988.
↑ ¹ ² ³ ⁴ Ефимов Н. В. Высшая геометрия, 2004, 158. Геометрия данной группы, с. 409.
↑ Ефимов Н. В. Высшая геометрия, 2004, 158. Геометрия данной группы, с. 410.
↑ Ефимов Н. В. Высшая геометрия, 2004, 162. Группы автоморфизмов, с. 414—415.
↑ ¹ ² Ефимов Н. В. Высшая геометрия, 2004, 162. Группы автоморфизмов, с. 415.
↑ ¹ ² Милованов М. В., Тышкевич Р. И., Феденко А. С. Часть 1 // Алгебра и аналитическая геометрия. — Минск: Вышэйшая школа, 1984. — С. 221. — 305 с.

Источники

Ефимов Н. В. Высшая геометрия. 7-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 584 с. ISBN 5-9221-0267-2.
Фигура // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. Ред. кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: Сов. энциклопедия, 1988. 847 с. С. 607.

[_972e8bb38fab98e3-1] Фигура, 1988.

[_ed0603601faf0955-2] ¹ ² ³ ⁴ Ефимов Н. В. Высшая геометрия, 2004, 158. Геометрия данной группы, с. 409.

[_52945468e554ec47-3] Ефимов Н. В. Высшая геометрия, 2004, 158. Геометрия данной группы, с. 410.

[_9d7178ec6ff82148-4] Ефимов Н. В. Высшая геометрия, 2004, 162. Группы автоморфизмов, с. 414—415.

[_34e8cae88dd981ef-5] ¹ ² Ефимов Н. В. Высшая геометрия, 2004, 162. Группы автоморфизмов, с. 415.

[:0-6] ¹ ² Милованов М. В., Тышкевич Р. И., Феденко А. С. Часть 1 // Алгебра и аналитическая геометрия. — Минск: Вышэйшая школа, 1984. — С. 221. — 305 с.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]