Действительная и мнимая части функции L i 2 ( x ) {\displaystyle \mathrm {Li} _{2}(x)} Дилогари́фм — специальная функция в математике , которая обозначается L i 2 ( z ) {\displaystyle \mathrm {Li} _{2}(z)} и является частным случаем полилогарифма L i n ( z ) {\displaystyle \mathrm {Li} _{n}(z)} при n = 2 {\displaystyle n=2} . Дилогарифм определяется как
Li 2 ( z ) = − ∫ 0 z ln ( 1 − t ) t d t = ∑ j = 1 ∞ z j j 2 . {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)=-\int _{0}^{z}{\frac {\ln(1-t)}{t}}\,\mathrm {d} t=\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {z^{j}}{j^{2}}}\;.} Приведённое определение дилогарифма верно для комплексных значений переменной z {\displaystyle z} . Для действительных значений z = x {\displaystyle z=x} у этой функции есть разрез вдоль действительной оси от 1 {\displaystyle 1} до ∞ {\displaystyle \infty } . Обычно значение функции на разрезе определяется так, что мнимая часть дилогарифма отрицательна:
Im [ Li 2 ( x ) ] = { 0 ( x ≤ 1 ) ; − π ln x ( x > 1 ) } {\displaystyle \operatorname {Im} \left[\operatorname {Li} _{2}(x)\right]=\left\{0\;\;(x\leq 1);\quad -\pi \ln {x}\;\;(x>1)\right\}} Функцию Li 2 ( z ) {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)} часто называют дилогарифмом Эйлера, в честь Леонарда Эйлера , который рассмотрел эту функцию в 1768 году[1] . Иногда дилогарифм называют функцией Спенса (Spence's function ) или интегралом Спенса [2] в честь шотландского математика Уильяма Спенса (William Spence , 1777—1815)[3] , который в начале XIX века исследовал функции, соответствующие − L i 2 ( − z ) {\displaystyle -\mathrm {Li} _{2}(-z)} и L i 2 ( 1 − z ) {\displaystyle \mathrm {Li} _{2}(1-z)} . Название "дилогарифм" было введено Хиллом (C.J. Hill ) в 1828 году.
Для дилогарифма существует ряд полезных функциональных соотношений,
Li 2 ( z ) + Li 2 ( − z ) = 1 2 Li 2 ( z 2 ) {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(-z)={\textstyle {\frac {1}{2}}}\operatorname {Li} _{2}(z^{2})} Li 2 ( 1 − z ) + Li 2 ( 1 − 1 z ) = − 1 2 ln 2 z {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(1-z)+\operatorname {Li} _{2}\left(1-{\frac {1}{z}}\right)=-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\ln ^{2}{z}} Li 2 ( z ) + Li 2 ( 1 − z ) = 1 6 π 2 − ln z ln ( 1 − z ) {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(1-z)={\textstyle {\frac {1}{6}}}\pi ^{2}-\ln z\;\ln(1-z)} Li 2 ( − z ) + Li 2 ( z 1 + z ) = − 1 2 ln 2 ( 1 + z ) {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(-z)+\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {z}{1+z}}\right)=-{\textstyle {\frac {1}{2}}}{\ln ^{2}(1+z)}} Li 2 ( − z ) − Li 2 ( 1 − z ) + 1 2 Li 2 ( 1 − z 2 ) = − 1 12 π 2 − ln z ln ( 1 + z ) {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(-z)-\operatorname {Li} _{2}(1-z)+{\textstyle {\frac {1}{2}}}\operatorname {Li} _{2}(1-z^{2})=-{\textstyle {\frac {1}{12}}}\pi ^{2}-\ln z\ln(1+z)} Li 2 ( − z ) + Li 2 ( − 1 z ) = − 1 6 π 2 − 1 2 ln 2 z {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(-z)+\operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {1}{z}}\right)=-{\textstyle {\frac {1}{6}}}\pi ^{2}-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\ln ^{2}{z}} Для действительных x > 1 {\displaystyle x>1} ,
Li 2 ( x ) + Li 2 ( 1 x ) = 1 3 π 2 − 1 2 ln 2 x − i π ln x {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(x)+\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{x}}\right)={\textstyle {\frac {1}{3}}}\pi ^{2}-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\ln ^{2}{x}-{\rm {i}}\pi \ln {x}} Известны также соотношения, содержащие две независимые переменные — например, тождество Хилла:
Li 2 ( x y ) = Li 2 ( x ) + Li 2 ( y ) − Li 2 ( x ( 1 − y ) 1 − x y ) − Li 2 ( y ( 1 − x ) 1 − x y ) − ln ( 1 − x 1 − x y ) ln ( 1 − y 1 − x y ) {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(xy)=\operatorname {Li} _{2}(x)+\operatorname {Li} _{2}(y)-\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {x(1-y)}{1-xy}}\right)-\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {y(1-x)}{1-xy}}\right)-\ln \left({\frac {1-x}{1-xy}}\right)\ln \left({\frac {1-y}{1-xy}}\right)} Li 2 ( 0 ) = 0 {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(0)=0} Li 2 ( 1 ) = 1 6 π 2 {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(1)={\textstyle {\frac {1}{6}}}\pi ^{2}} Li 2 ( − 1 ) = − 1 12 π 2 {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(-1)=-{\textstyle {\frac {1}{12}}}\pi ^{2}} Li 2 ( 1 2 ) = 1 12 π 2 − 1 2 ln 2 2 {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}({\textstyle {\frac {1}{2}}})={\textstyle {\frac {1}{12}}}\pi ^{2}-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\ln ^{2}{2}} Используя соотношение между функциями от x {\displaystyle x} и 1 / x {\displaystyle 1/x} , получаем
Li 2 ( 2 ) = 1 4 π 2 − i π ln 2 {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(2)={\textstyle {\frac {1}{4}}}\pi ^{2}-{\rm {i}}\pi \ln {2}} Существует также ряд результатов для аргументов, связанных с золотым сечением ϕ = 1 2 ( 1 + 5 ) {\displaystyle \phi ={\textstyle {\frac {1}{2}}}(1+{\sqrt {5}})} ,
Li 2 ( − ϕ ) = − 1 10 π 2 − ln 2 ϕ {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(-\phi )=-{\textstyle {\frac {1}{10}}}\pi ^{2}-\ln ^{2}{\phi }} Li 2 ( − ϕ − 1 ) = − 1 15 π 2 + 1 2 ln 2 ϕ {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(-\phi ^{-1})=-{\textstyle {\frac {1}{15}}}\pi ^{2}+{\textstyle {\frac {1}{2}}}\ln ^{2}{\phi }} Li 2 ( ϕ − 1 ) = 1 10 π 2 − ln 2 ϕ {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(\phi ^{-1})={\textstyle {\frac {1}{10}}}\pi ^{2}-\ln ^{2}{\phi }} Li 2 ( ϕ − 2 ) = 1 15 π 2 − ln 2 ϕ {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(\phi ^{-2})={\textstyle {\frac {1}{15}}}\pi ^{2}-\ln ^{2}{\phi }} а также для дилогарифма мнимого аргумента,
Li 2 ( ± i ) = − 1 48 π 2 ± i G {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(\pm {\rm {i}})=-{\textstyle {\frac {1}{48}}}\pi ^{2}\pm {\rm {i}}G} где G {\displaystyle G} — постоянная Каталана .
Соотношения для частных значений
Li 2 ( 1 3 ) − 1 6 Li 2 ( 1 9 ) = 1 18 π 2 − 1 6 ln 2 3 {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{3}}}\right)-{\textstyle {\frac {1}{6}}}\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{9}}}\right)={\textstyle {\frac {1}{18}}}\pi ^{2}-{\textstyle {\frac {1}{6}}}\ln ^{2}{3}} Li 2 ( − 1 2 ) + 1 6 Li 2 ( 1 9 ) = − 1 18 π 2 + ln 2 ln 3 − 1 2 ln 2 2 − 1 3 ln 2 3 {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\right)+{\textstyle {\frac {1}{6}}}\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{9}}}\right)=-{\textstyle {\frac {1}{18}}}\pi ^{2}+\ln {2}\;\ln {3}-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\ln ^{2}{2}-{\textstyle {\frac {1}{3}}}\ln ^{2}{3}} Li 2 ( 1 4 ) + 1 3 Li 2 ( 1 9 ) = 1 18 π 2 + 2 ln 2 ln 3 − 2 ln 2 2 − 2 3 ln 2 3 {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{4}}}\right)+{\textstyle {\frac {1}{3}}}\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{9}}}\right)={\textstyle {\frac {1}{18}}}\pi ^{2}+2\ln {2}\;\ln {3}-2\ln ^{2}{2}-{\textstyle {\frac {2}{3}}}\ln ^{2}{3}} Li 2 ( − 1 3 ) − 1 3 Li 2 ( 1 9 ) = − 1 18 π 2 + 1 6 ln 2 3 {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(-{\textstyle {\frac {1}{3}}}\right)-{\textstyle {\frac {1}{3}}}\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{9}}}\right)=-{\textstyle {\frac {1}{18}}}\pi ^{2}+{\textstyle {\frac {1}{6}}}\ln ^{2}{3}} Li 2 ( − 1 8 ) + Li 2 ( 1 9 ) = − 1 2 ln 2 ( 9 8 ) {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(-{\textstyle {\frac {1}{8}}}\right)+\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{9}}}\right)=-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\ln ^{2}\!\left({\textstyle {\frac {9}{8}}}\right)} 36 Li 2 ( 1 2 ) − 36 Li 2 ( 1 4 ) − 12 Li 2 ( 1 8 ) + 6 Li 2 ( 1 64 ) = π 2 {\displaystyle 36\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{2}}}\right)-36\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{4}}}\right)-12\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{8}}}\right)+6\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{64}}}\right)={\pi }^{2}} Функция Клаузена Cl 2 ( θ ) {\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\theta )} Возникает при рассмотрении дилогарифма, аргумент которого находится на единичной окружности в комплексной плоскости, Li 2 ( e i θ ) = 1 6 π 2 − 1 4 θ ( 2 π − θ ) + i Cl 2 ( θ ) , ( 0 ≤ θ ≤ 2 π ) {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(e^{{\rm {i}}\theta }\right)={\textstyle {\frac {1}{6}}}\pi ^{2}-{\textstyle {\frac {1}{4}}}\theta (2\pi -\theta )+{\rm {i}}\;\operatorname {Cl} _{2}(\theta ),\quad (0\leq \theta \leq 2\pi )} Таким образом, Cl 2 ( θ ) = Im [ Li 2 ( e i θ ) ] = 1 2 i [ Li 2 ( e i θ ) − Li 2 ( e − i θ ) ] {\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\theta )=\operatorname {Im} \left[\operatorname {Li} _{2}\left(e^{{\rm {i}}\theta }\right)\right]={\textstyle {\frac {1}{2{\rm {i}}}}}\left[\operatorname {Li} _{2}\left(e^{{\rm {i}}\theta }\right)-\operatorname {Li} _{2}\left(e^{-{\rm {i}}\theta }\right)\right]} Эта функция используется при вычислении объёмов в гиперболической геометрии, и она связана с функцией Клаузена (а следовательно и с дилогарифмом), L ( θ ) = − ∫ 0 θ d τ ln | cos τ | = − 1 2 Cl 2 ( π − 2 θ ) + θ ln 2 {\displaystyle L(\theta )=-\int _{0}^{\theta }{\rm {d}}\tau \;\ln |\cos \tau |=-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )+\theta \ln {2}} Иногда используется другое определение функции Лобачевского, Λ ( θ ) = − ∫ 0 θ d τ ln | 2 sin τ | = 1 2 Cl 2 ( 2 θ ) {\displaystyle \Lambda (\theta )=-\int _{0}^{\theta }{\rm {d}}\tau \;\ln |2\sin \tau |={\textstyle {\frac {1}{2}}}\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )} Интегральный арктангенс Ti 2 ( y ) {\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(y)} Возникает при рассмотрении дилогарифма мнимого аргумента, Li 2 ( i y ) = 1 4 Li 2 ( − y 2 ) + i Ti 2 ( y ) {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}({\rm {i}}y)={\textstyle {\frac {1}{4}}}\operatorname {Li} _{2}(-y^{2})+{\rm {i}}\;\operatorname {Ti} _{2}(y)} Таким образом, Ti 2 ( y ) = Im [ Li 2 ( i y ) ] = 1 2 i [ Li 2 ( i y ) − Li 2 ( − i y ) ] {\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(y)=\operatorname {Im} \left[\operatorname {Li} _{2}({\rm {i}}y)\right]={\textstyle {\frac {1}{2{\rm {i}}}}}\left[\operatorname {Li} _{2}({\rm {i}}y)-\operatorname {Li} _{2}(-{\rm {i}}y)\right]} Эта функция выражается через дилогарифмы как χ 2 ( z ) = ∑ j = 1 ∞ z 2 j + 1 ( 2 j + 1 ) 2 = 1 2 [ Li 2 ( z ) − Li 2 ( − z ) ] {\displaystyle \chi _{2}(z)=\sum \limits _{j=1}^{\infty }{\frac {z^{2j+1}}{(2j+1)^{2}}}={\textstyle {\frac {1}{2}}}\left[\operatorname {Li} _{2}(z)-\operatorname {Li} _{2}(-z)\right]} В частности, χ 2 ( i y ) = i Ti 2 ( y ) {\displaystyle \chi _{2}({\rm {i}}y)={\rm {i}}\operatorname {Ti} _{2}(y)} . Leonard Lewin,. Dilogarithms and associated functions. — Macdonald, London, 1958. MR : 0105524 Leonard Lewin,. Polylogarithms and associated functions. — North Holland, New York, Oxford, 1981. Don Zagier , The dilogarithm function (PDF) Weisstein, Eric W. Dilogarithm (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .