Список моделей многогранников Веннинджера
В данной статье содержится список таких однородных многогранников и звёздчатых многогранников, которые упоминаются в книге «Модели многогранников» Магнуса Веннинджера.
Книга «Модели многогранников» Веннинджера — руководство по построению физических (например, бумажных) моделей многогранников. Книга содержит короткое описание связанной с многогранниками теории, чертежи элементов граней многогранников, рекомендации по построению моделей многогранников. Книга описывает модели непризматических однородных многогранников всех (75-и) видов однородных многогранников и модели 44-х звёздчатых форм выпуклых правильных и полуправильных многогранников (всего — 75+44 = 119).
Список создан как дань уважения работе Веннинджера и для предоставления возможности создания ссылок на 119 пронумерованных в книге моделей.
Пусть N — номер описаной в книге модели. Тогда, чтобы поставить ссылку на описанную в книге модель, укажите либо текст вида «модель Веннинджера номер N», либо текст вида WN, где W — первая буква фамилии Веннинджера (англ. Wenninger).
Многогранники перечислены в пяти таблицах:
- правильные многогранники (от W1 до W5);
- полуправильные многогранники (от W6 до W18);
- правильные звёздчатые многогранники (W20, W21, W22, W41);
- звёздчатые формы многогранников и соединения многогранников (от W19 до W66);
- однородные звёздчатые многогранники (от W67 до W119).
Четыре правильных звёздчатых многогранника приведены дважды, поскольку принадлежат и однородным многогранникам, и звёздчатым формам.
Правильные многогранники (плато́новы тела) (модели от W1 до W5)
[править | править код]Номер | Название | Рисунок | Имя двойственного | Рисунок двойственного | Символ Витхоффа[англ.] | Вершинная фигура и символ Шлефли | Группа симметрии | U# | K# | V | E | F | Грани по типам |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | Тетраэдр | ![]() | Тетраэдр | ![]() | 3|2 3 | ![]() {3,3} | Td | U01 | K06 | 4 | 6 | 4 | 4{3} |
2 | Октаэдр | ![]() | Гексаэдр | ![]() | 4|2 3 | ![]() {3,4} | Oh | U05 | K10 | 6 | 12 | 8 | 8{3} |
3 | Гексаэдр (Куб) | ![]() | Октаэдр | ![]() | 3|2 4 | ![]() {4,3} | Oh | U06 | K11 | 8 | 12 | 6 | 6{4} |
4 | Икосаэдр | ![]() | Додекаэдр | ![]() | 5|2 3 | ![]() {3,5} | Ih | U22 | K27 | 12 | 30 | 20 | 20{3} |
5 | Додекаэдр | ![]() | Икосаэдр | ![]() | 3|2 5 | ![]() {5,3} | Ih | U23 | K28 | 20 | 30 | 12 | 12{5} |
Архимедовы тела (полуправильные) (модели от W6 до W18)
[править | править код]Номер | Название | Рисунок | Имя двойственного | Рисунок двойственного | Символ Витхоффа[англ.] | Вершинная фигура и символ Шлефли | Группа симметрии | U# | K# | V | E | F | Грани по типам |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
6 | Усечённый тетраэдр | ![]() | триакистетраэдр | ![]() | 2 3|3 | ![]() 3.6.6 | Td | U02 | K07 | 12 | 18 | 8 | 4{3} + 4{6} |
7 | Усечённый октаэдр | ![]() | тетракисгексаэдр | ![]() | 2 4|3 | ![]() 4.6.6 | Oh | U08 | K13 | 24 | 36 | 14 | 6{4} + 8{6} |
8 | Усечённый гексаэдр | ![]() | триакисоктаэдр | ![]() | 2 3|4 | ![]() 3.8.8 | Oh | U09 | K14 | 24 | 36 | 14 | 8{3} + 6{8} |
9 | Усечённый икосаэдр | ![]() | пентакисдодекаэдр | ![]() | 2 5|3 | ![]() 5.6.6 | Ih | U25 | K30 | 60 | 90 | 32 | 12{5} + 20{6} |
10 | Усечённый додекаэдр | ![]() | триакисикосаэдр | ![]() | 2 3|5 | ![]() 3.10.10 | Ih | U26 | K31 | 60 | 90 | 32 | 20{3} + 12{10} |
11 | Кубооктаэдр | ![]() | ромбододекаэдр | ![]() | 2|3 4 | ![]() 3.4.3.4 | Oh | U07 | K12 | 12 | 24 | 14 | 8{3} + 6{4} |
12 | Икосододекаэдр | ![]() | ромботриаконтаэдр | ![]() | 2|3 5 | ![]() 3.5.3.5 | Ih | U24 | K29 | 30 | 60 | 32 | 20{3} + 12{5} |
13 | Ромбокубооктаэдр | ![]() | дельтоидальный икоситетраэдр | ![]() | 3 4|2 | ![]() 3.4.4.4 | Oh | U10 | K15 | 24 | 48 | 26 | 8{3}+(6+12){4} |
14 | Ромбоикосидодекаэдр | ![]() | дельтоидальный гексеконтаэдр | ![]() | 3 5|2 | ![]() 3.4.5.4 | Ih | U27 | K32 | 60 | 120 | 62 | 20{3} + 30{4} + 12{5} |
15 | Усечённый кубооктаэдр (Большой ромбокубооктаэдр) | ![]() | Гекзакисоктаэдр | ![]() | 2 3 4| | ![]() 4.6.8 | Oh | U11 | K16 | 48 | 72 | 26 | 12{4} + 8{6} + 6{8} |
16 | Ромбоусечённый икосододекаэдр (Большой ромбоикосододекаэдр) | ![]() | Гекзакисикосаэдр | ![]() | 2 3 5| | ![]() 4.6.10 | Ih | U28 | K33 | 120 | 180 | 62 | 30{4} + 20{6} + 12{10} |
17 | Плосконосый куб | ![]() | пентагональный икоситетраэдр | ![]() | |2 3 4 | ![]() 3.3.3.3.4 | O | U12 | K17 | 24 | 60 | 38 | (8 + 24){3} + 6{4} |
18 | Плосконосый додекаэдр | ![]() | пентагональный гексеконтаэдр | ![]() | |2 3 5 | ![]() 3.3.3.3.5 | I | U29 | K34 | 60 | 150 | 92 | (20 + 60){3} + 12{5} |
Тела Кеплера — Пуансо (правильные звёздчатые многогранники) (модели W20, W21, W22 и W41)
[править | править код]Номер | Название | Рисунок | Имя двойственного | Рисунок двойственного | Символ Витхоффа[англ.] | Вершинная фигура и символ Шлефли | Группа симметрии | U# | K# | V | E | F | Грани по типам |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
20 | Малый звёздчатый додекаэдр | ![]() | Большой додекаэдр | ![]() | 5|25/2 | ![]() {5/2,5} | Ih | U34 | K39 | 12 | 30 | 12 | 12{5/2} |
21 | Большой додекаэдр | ![]() | Малый звёздчатый додекаэдр | ![]() | 5/2|2 5 | ![]() {5,5/2} | Ih | U35 | K40 | 12 | 30 | 12 | 12{5} |
22 | Большой звёздчатый додекаэдр | ![]() | Большой икосаэдр | ![]() | 3|25/2 | ![]() {5/2,3} | Ih | U52 | K57 | 20 | 30 | 12 | 12{5/2} |
41 | Большой икосаэдр (16-я звёздчатая форма икосаэдра) | ![]() | Большой звёздчатый додекаэдр | ![]() | 5/2|2 3 | ![]() {3,5/2} | Ih | U53 | K58 | 12 | 30 | 20 | 20{3} |
Звёздчатые многогранники (модели от W19 до W66)
[править | править код]Звёздчатый октаэдр
[править | править код]Номер | Название | Группа симметрии | Рисунок | Грани |
---|---|---|---|---|
2 | Октаэдр (правильный) | Oh | ![]() | ![]() |
19 | Звёздчатый октаэдр (Соединение двух тетраэдров) | Oh | ![]() | ![]() |
Звёздчатые формы додекаэдра
[править | править код]Номер | Название | Группа симметрии | Рисунок | Грани |
---|---|---|---|---|
5 | Додекаэдр (правильный) | Ih | ![]() | ![]() |
20 | Малый звёздчатый додекаэдр(правильный) (1-я звёздчатая форма додекаэдра) | Ih | ![]() | ![]() |
21 | Большой додекаэдр (правильный) (2-я звёздчатая форма додекаэдра) | Ih | ![]() | ![]() |
22 | Большой звёздчатый додекаэдр(правильный) (3-я звёздчатая форма додекаэдра) | Ih | ![]() | ![]() |
Звёздчатые формы икосаэдра
[править | править код]Звёздчатые формы кубооктаэдра
[править | править код]Номер | Название | Группа симметрии | Рисунок | Грани (октаэдральные плоскости) | Грани (кубические плоскости) |
---|---|---|---|---|---|
11 | Кубооктаэдр (правильный) | Oh | ![]() | ![]() | ![]() |
43 | Соединение куба и октаэдра[англ.] (1-я звёздчатая форма кубооктаэдра) | Oh | ![]() | ![]() | ![]() |
44 | 2-я звёздчатая форма кубооктаэдра | Oh | ![]() | ![]() | ![]() |
45 | 3-я звёздчатая форма кубооктаэдра | Oh | ![]() | ![]() | ![]() |
46 | 4-я звёздчатая форма кубооктаэдра | Oh | ![]() | ![]() | ![]() |
Звёздчатые формы икосододекаэдра
[править | править код]Номер | Название | Группа симметрии | Рисунок | Грани (икосоэдральные плоскости) | Грани (додекаэдральные плоскости) |
---|---|---|---|---|---|
12 | Икосододекаэдр (правильный) | Ih | ![]() | ![]() | ![]() |
47 | 1-я звёздчатая форма икосододекаэдра Соединение додекаэдра и икосаэдра[англ.] | Ih | ![]() | ![]() | ![]() |
48 | 2-я звёздчатая форма икосододекаэдра | Ih | ![]() | ![]() | ![]() |
49 | 3-я звёздчатая форма икосододекаэдра | Ih | ![]() | ![]() | ![]() |
50 | 4-я звёздчатая форма икосододекаэдра (Соединение малого звёздчатого додекаэдра и триакисикосаэдра) | Ih | ![]() | ![]() | ![]() |
51 | 5-я звёздчатая форма икосододекаэдра ( Соединение малого звёздчатого додекаэдра и пяти октаэдров) | Ih | ![]() | ![]() | ![]() |
52 | 6-я звёздчатая форма икосододекаэдра | Ih | ![]() | ![]() | ![]() |
53 | 7-я звёздчатая форма икосододекаэдра | Ih | ![]() | ![]() | ![]() |
54 | 8-я звёздчатая форма икосододекаэдра (Соединение пяти тетраэдров и большого додекаэдра) | I | ![]() | ![]() | ![]() |
55 | 9-я звёздчатая форма икосододекаэдра | Ih | ![]() | ![]() | ![]() |
56 | 10-я звёздчатая форма икосододекаэдра | Ih | ![]() | ![]() | ![]() |
57 | 11-я звёздчатая форма икосододекаэдра | Ih | ![]() | ![]() | ![]() |
58 | 12-я звёздчатая форма икосододекаэдра | Ih | ![]() | ![]() | ![]() |
59 | 13-я звёздчатая форма икосододекаэдра | Ih | ![]() | ![]() | ![]() |
60 | 14-я звёздчатая форма икосододекаэдра | Ih | ![]() | ![]() | ![]() |
61 | Соединение большого звёздчатого додекаэдра и большого икосаэдра[англ.] | Ih | ![]() | ![]() | ![]() |
62 | 15-я звёздчатая форма икосододекаэдра | Ih | ![]() | ![]() | ![]() |
63 | 16-я звёздчатая форма икосододекаэдра | Ih | ![]() | ![]() | ![]() |
64 | 17-я звёздчатая форма икосододекаэдра | Ih | ![]() | ![]() | ![]() |
65 | 18-я звёздчатая форма икосододекаэдра | Ih | ![]() | ![]() | ![]() |
66 | 19-я звёздчатая форма икосододекаэдра | Ih | ![]() | ![]() | ![]() |
Однородные невыпуклые тела (модели от W67 до W119)
[править | править код]См. также
[править | править код]Литература
[править | править код]- М. Веннинджер. Модели многогранников. — «Мир», 1974.
Ошибки в книге Веннинджера. Для многогранника W90 вершинная фигура ошибочно показана как имеющая параллельные рёбра. Для многогранника W106 даны неверные чертежи заготовок, вследствие чего в получаемой модели отсутствуют некоторые видимые части однородного многогранника. У многогранников W113 и W116 перепутаны названия. - Magnus Wenninger. Spherical Models. — Cambridge University Press, 1979. — ISBN 0-521-29432-0.
Ссылки
[править | править код]- Magnus J. Wenninger
- Для создания изображений для этой статьи использовалось следующее ПО:
- Stella: Polyhedron Navigator Stella (software) - ПО, способное создать и распечатать nets для всех многогранников, упомянутых в книге Веннинджера;
- Polyhedra Stellations — аплет Владимира Булатова;
- Polyhedra Stellations — аплет Владимира Булатова, оформленный в виде пакета для OS X.
- M. Wenninger, Polyhedron Models, Errata — ошибки, найденные в разных изданиях.
Для улучшения этой статьи желательно:
|