Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла . Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией ), то справедливы следующие равенства
для неопределённого интеграла ∫ u d v = u v − ∫ v d u {\displaystyle \int u\,dv=u\,v-\int v\,du} или в другой записи
∫ u v ′ d x = u v − ∫ v u ′ d x {\displaystyle \int u\,v'dx=u\,v-\int v\,u'dx} для определённого интеграла ∫ a b u d v = u v | a b − ∫ a b v d u {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}u\,dv=u\,v\,{\bigg |}_{a}^{b}-\int \limits _{a}^{b}v\,du} Предполагается, что нахождение интеграла ∫ v d u {\displaystyle \int v\,du} проще, чем ∫ u d v {\displaystyle \int u\,dv} . В противном случае применение метода не оправдано.
Функции u {\displaystyle \textstyle {\mathit {u}}} и v {\displaystyle \textstyle {\mathit {v}}} гладкие , следовательно, возможно дифференцирование :
d ( u v ) = v d u + u d v {\displaystyle d(u\,v)=v\,du+u\,dv} Эти функции также непрерывны, значит можно взять интеграл от обеих частей равенства:
∫ d ( u v ) = ∫ v d u + ∫ u d v {\displaystyle \int d(u\,v)=\int v\,du+\int u\,dv} Операция интегрирования обратна дифференцированию:
u v = ∫ v d u + ∫ u d v {\displaystyle u\,v=\int v\,du+\int u\,dv} После перестановок:
∫ u d v = u v − ∫ v d u {\displaystyle \int u\,dv=u\,v-\int v\,du} Не стоит, однако, забывать, что это равенство подразумевается в смысле равенства множеств, то есть, грубо говоря, с точностью до константы, возникающей во время интегрирования .
Типичную ошибку «потери» константы при обращении с неопределенным интегралом иллюстрирует следующий пример-софизм :
∫ d x x = 1 x ⋅ x − ∫ − 1 x 2 ⋅ x d x = 1 + ∫ d x x {\displaystyle \int {\frac {dx}{x}}={\frac {1}{x}}\cdot x-\int {\frac {-1}{x^{2}}}\cdot xdx=1+\int {\frac {dx}{x}}} Отсюда «следствие»: 0 = 1 {\displaystyle 0=1} , что очевидно неверно.
В целом аналогично случаю неопределённого интеграла:
d ( u v ) = v d u + u d v {\displaystyle d(u\,v)=v\,du+u\,dv} ∫ a b d ( u v ) = ∫ a b v d u + ∫ a b u d v {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}d(u\,v)=\int \limits _{a}^{b}v\,du+\int \limits _{a}^{b}u\,dv} ∫ a b u d v = u v | a b − ∫ a b v d u {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}u\,dv=u\,v\,{\bigg |}_{a}^{b}-\int \limits _{a}^{b}v\,du} Данные формулы справедливы, если каждая из функций u {\displaystyle u} и v {\displaystyle v} непрерывно дифференцируема на области интегрирования.
Основной процесс приведённой выше формулы может быть обобщено в таблице.
Например, рассмотрим интеграл
∫ x 3 cos x d x {\displaystyle \int x^{3}\cos x\,dx\quad } u ( 0 ) = x 3 , v ( n ) = cos x . {\displaystyle \quad u^{(0)}=x^{3},\quad v^{(n)}=\cos x.} Начнем перечислять в столбце D функцию u ( 0 ) = x 3 {\displaystyle u^{(0)}=x^{3}} и ее последующие производные u ( i ) {\displaystyle u^{(i)}} до тех пор, пока не будет получен 0. Затем, перечисляем в столбце I функцию v ( n ) = cos x {\displaystyle v^{(n)}=\cos x} и ее последующие первообразные v ( n − i ) {\displaystyle v^{(n-i)}} до тех пор, пока размер столбца I не будет таким же, как и в столбце D . Результат выглядит следующим образом:
# i Знак D: производные u (i ) I: интегралы v (n −i ) 0 + x 3 {\displaystyle x^{3}} cos x {\displaystyle \cos x} 1 − 3 x 2 {\displaystyle 3x^{2}} sin x {\displaystyle \sin x} 2 + 6 x {\displaystyle 6x} − cos x {\displaystyle -\cos x} 3 − 6 {\displaystyle 6} − sin x {\displaystyle -\sin x} 4 + 0 {\displaystyle 0} cos x {\displaystyle \cos x}
Произведение значений в ряду i столбцов D и I вместе с соответствующим им знаком выдают соответствующие интегралы на шаге i в течение повторяющихся шагов интегрирования по частям. Шаг i = 0 несет в себе исходный интеграл. для полного результата в шаге i > 0 i -й интеграл должен быть добавлен к предыдущим произведениям(0 ≤ j < i ) j -го значения столбца D и (j + 1) -го значения столбца I (т.е., умножить 1-ое значение столбца D на 2-ое значение столбца I, 2-ое значение столбца D на 3-е значение столбца I, и т.д. ...) не забывая о j -м знаке. Процесс завершается, когда произведение, которое несет в себе интеграл, принимает значение 0 (i = 4 в нашем примере). Конечный результат следующий: (включая разные знаки в каждом сегменте):
( + 1 ) ( x 3 ) ( sin x ) ⏟ j = 0 + ( − 1 ) ( 3 x 2 ) ( − cos x ) ⏟ j = 1 + ( + 1 ) ( 6 x ) ( − sin x ) ⏟ j = 2 + ( − 1 ) ( 6 ) ( cos x ) ⏟ j = 3 + ∫ ( + 1 ) ( 0 ) ( cos x ) d x ⏟ i = 4 : → C . {\displaystyle \underbrace {(+1)(x^{3})(\sin x)} _{j=0}+\underbrace {(-1)(3x^{2})(-\cos x)} _{j=1}+\underbrace {(+1)(6x)(-\sin x)} _{j=2}+\underbrace {(-1)(6)(\cos x)} _{j=3}+\underbrace {\int (+1)(0)(\cos x)\,dx} _{i=4:\;\to \;C}.} В итоге:
∫ x 3 cos x d x ⏟ шаг 0 = x 3 sin x + 3 x 2 cos x − 6 x sin x − 6 cos x + C . {\displaystyle \underbrace {\int x^{3}\cos x\,dx} _{\text{шаг 0}}=x^{3}\sin x+3x^{2}\cos x-6x\sin x-6\cos x+C.} ∫ x cos x d x = ∫ x d ( sin x ) = x sin x − ∫ sin x d x = x sin x + cos x + C {\displaystyle \int x\cos x\,dx=\int x\,d(\sin x)=x\sin x-\int \sin x\,dx=x\sin x+\cos x+C} ∫ e x x d x = ∫ x d ( e x ) = x e x − ∫ e x d x = x e x − e x + C {\displaystyle \int e^{x}\,x\,dx=\int x\,d(e^{x}\,)=x\,e^{x}-\int e^{x}\,dx=x\,e^{x}-e^{x}+C} Иногда этот метод применяется несколько раз: ∫ x 2 sin x d x = ∫ x 2 d ( − cos x ) = − x 2 cos x − ∫ − 2 x cos x d x = {\displaystyle \int x^{2}\sin x\,dx=\int x^{2}\,d(-\cos x)=-x^{2}\cos x-\int -2x\cos x\,dx=} = − x 2 cos x + ∫ 2 x d ( sin x ) = − x 2 cos x + 2 x sin x − ∫ 2 sin x d x = − x 2 cos x + 2 x sin x + 2 cos x + C {\displaystyle =-x^{2}\cos x+\int 2x\,d(\sin x)=-x^{2}\cos x+2x\sin x-\int 2\sin x\,dx=-x^{2}\cos x+2x\sin x+2\cos x+C} Данный метод также используется для нахождения интегралов от элементарных функций: ∫ ln x d x = x ln x − ∫ 1 x x d x = x ln x − x + C {\displaystyle \int \ln x\,dx=x\ln x-\int {\frac {1}{x}}x\,dx=x\ln x-x+C} ∫ arctg x d x = x arctg x − ∫ x 1 + x 2 d x = x arctg x − 1 2 ln ( 1 + x 2 ) + C {\displaystyle \int \operatorname {arctg} \,x\,dx=x\,\operatorname {arctg} \,x-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\,dx=x\,\operatorname {arctg} \,x-{\frac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C} В некоторых случаях интегрирование по частям не даёт прямого ответа: I 1 = ∫ e α x sin β x d x = {\displaystyle I_{1}=\int e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}\,dx=} = ∫ e α x d ( − 1 β cos β x ) = − 1 β e α x cos β x + α β ∫ e α x cos β x d x = − 1 β e α x cos β x + α β I 2 {\displaystyle =\int e^{\alpha x}\,d{\Big (}-{\frac {1}{\beta }}\cos {\beta x}{\Big )}=-{\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}+{\frac {\alpha }{\beta }}\int e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}\,dx=-{\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}+{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{2}} I 2 = ∫ e α x cos β x d x = {\displaystyle I_{2}=\int e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}\,dx=} = ∫ e α x d ( 1 β sin β x ) = 1 β e α x sin β x − α β ∫ e α x sin β x d x = 1 β e α x sin β x − α β I 1 {\displaystyle =\int e^{\alpha x}\,d{\Big (}{\frac {1}{\beta }}\sin {\beta x}{\Big )}={\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}-{\frac {\alpha }{\beta }}\int e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}\,dx={\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}-{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{1}} Таким образом один интеграл выражается через другой: { I 1 = − 1 β e α x cos β x + α β I 2 I 2 = 1 β e α x sin β x − α β I 1 {\displaystyle {\begin{cases}I_{1}=-{\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}+{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{2}\\I_{2}={\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}-{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{1}\end{cases}}} Решив полученную систему, получаем: I 1 = e α x α 2 + β 2 ( α sin β x − β cos β x ) + C {\displaystyle I_{1}={\frac {e^{\alpha x}}{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}{\Big (}\alpha \sin {\beta x}-\beta \cos {\beta x}{\Big )}+C} I 2 = e α x α 2 + β 2 ( α cos β x + β sin β x ) + C {\displaystyle I_{2}={\frac {e^{\alpha x}}{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}{\Big (}\alpha \cos {\beta x}+\beta \sin {\beta x}{\Big )}+C} Существует обобщение формулы интегрирования по частям для функций от нескольких переменных. В таком случае вместо интервала рассматривается подмножество R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} , а вместо производной − частная производная .
Пусть Ω {\displaystyle \Omega } открытое ограниченное подмножество R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} с кусочно-гладкой границей ∂ Ω {\displaystyle \partial \Omega } . Если u {\displaystyle u} и v {\displaystyle v} гладкие функции на замыкании Ω {\displaystyle \Omega } , то
∫ Ω ∂ u ∂ x i v d x = ∫ ∂ Ω u v n i d σ − ∫ Ω u ∂ v ∂ x i d x {\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}v\,dx=\int _{\partial \Omega }uvn_{i}\,d\sigma -\int _{\Omega }u{\frac {\partial v}{\partial x_{i}}}\,dx} где n → {\displaystyle {\vec {n}}} − внешняя нормаль к ∂ Ω {\displaystyle \partial \Omega } , а n i {\displaystyle n_{i}} − её i-ая координата, i от 1 до n, σ {\displaystyle \sigma } - мера на ∂ Ω {\displaystyle \partial \Omega } .
Также см. Математический анализ#Библиография .
Ссылки на внешние ресурсы
Словари и энциклопедии В библиографических каталогах