График y=x², при целых значениях x на отрезке от 1 до 25 Квадра́т числа x {\displaystyle x} x ⋅ x {\displaystyle x\cdot x} x 2 {\displaystyle x^{2}}
Вычисление x 2 {\displaystyle x^{2}} математическая операция , называемая возведе́нием в квадра́т . Эта операция представляет собой частный случай возведения в степень , а именно — возведение числа x {\displaystyle x}
Далее приведено начало числовой последовательности для квадратов целых неотрицательных чисел (последовательность A000290 в OEIS ):
0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, … Исторически натуральные числа из этой последовательности называли «квадратными» .
Квадрат натурального числа n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} нечётных чисел :
1: 1 = 1 {\displaystyle 1=1} 2: 4 = 1 + 3 {\displaystyle 4=1+3} … 7: 49 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 {\displaystyle 49=1+3+5+7+9+11+13} … Ещё один способ представления квадрата натурального числа: n 2 = 1 + 1 + 2 + 2 + … + ( n − 1 ) + ( n − 1 ) + n {\displaystyle n^{2}=1+1+2+2+\ldots +(n-1)+(n-1)+n}
1: 1 = 1 {\displaystyle 1=1} 2: 4 = 1 + 1 + 2 {\displaystyle 4=1+1+2} … 4: 16 = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 {\displaystyle 16=1+1+2+2+3+3+4} … Сумма квадратов первых n {\displaystyle n} ∑ k = 1 n k 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + … + n 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots +n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}
Способ 1, метод приведения:
Рассмотрим сумму кубов натуральных чисел от 1 до n + 1 {\displaystyle n+1} ∑ k = 1 n k 3 + ( n + 1 ) 3 = ∑ k = 0 n ( k + 1 ) 3 = ∑ k = 0 n ( k 3 + 3 k 2 + 3 k + 1 ) = ∑ k = 0 n k 3 + ∑ k = 0 n 3 k 2 + ∑ k = 0 n 3 k + ∑ k = 0 n 1 = ∑ k = 0 n k 3 + 3 ∑ k = 0 n k 2 + 3 ∑ k = 0 n k + ∑ k = 0 n 1 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{3}+(n+1)^{3}=\sum _{k=0}^{n}(k+1)^{3}=\sum _{k=0}^{n}(k^{3}+3k^{2}+3k+1)=\sum _{k=0}^{n}k^{3}+\sum _{k=0}^{n}3k^{2}+\sum _{k=0}^{n}3k+\sum _{k=0}^{n}1=\sum _{k=0}^{n}k^{3}+3\sum _{k=0}^{n}k^{2}+3\sum _{k=0}^{n}k+\sum _{k=0}^{n}1} Получим: ( n + 1 ) 3 = 3 ∑ k = 0 n k 2 + 3 ∑ k = 0 n k + ∑ k = 0 n 1 = 3 ∑ k = 0 n k 2 + 3 ( n + 1 ) n 2 + ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)^{3}=3\sum _{k=0}^{n}k^{2}+3\sum _{k=0}^{n}k+\sum _{k=0}^{n}1=3\sum _{k=0}^{n}k^{2}+3{\frac {(n+1)n}{2}}+(n+1)} Умножим на 2 и перегруппируем: 6 ∑ k = 0 n k 2 = 2 ( n + 1 ) 3 − 3 ( n + 1 ) n − 2 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) ( 2 ( n + 1 ) 2 − 3 n − 2 ) = ( n + 1 ) ( 2 n 2 + n ) = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) {\displaystyle 6\sum _{k=0}^{n}k^{2}=2(n+1)^{3}-3(n+1)n-2(n+1)=(n+1)(2(n+1)^{2}-3n-2)=(n+1)(2n^{2}+n)=n(n+1)(2n+1)} ∑ k = 0 n k 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}} ∑ k = 0 n k = ( n + 1 ) n 2 {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k={\frac {(n+1)n}{2}}} Способ 2, метод неизвестных коэффициентов:
Заметим, что сумма функций степени N {\displaystyle N} N + 1 {\displaystyle N+1} ∑ k = 0 n k 2 = f ( n ) = A n 3 + B n 2 + C n + D {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{2}=f(n)=An^{3}+Bn^{2}+Cn+D} f ( 0 ) = 0 ; f ( 1 ) = 1 ; f ( 2 ) = 5 ; f ( 3 ) = 14 {\displaystyle f(0)=0;f(1)=1;f(2)=5;f(3)=14} Получим систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов: { 0 A + 0 B + 0 C + D = 0 A + B + C + D = 1 8 A + 4 B + 2 C + D = 5 27 A + 9 B + 3 C + D = 14 {\displaystyle {\begin{cases}0A+0B+0C+D=0\\A+B+C+D=1\\8A+4B+2C+D=5\\27A+9B+3C+D=14\\\end{cases}}} Решив её, получим A = 1 3 , B = 1 2 , C = 1 6 , D = 0 {\displaystyle A={\frac {1}{3}},B={\frac {1}{2}},C={\frac {1}{6}},D=0} Таким образом: ∑ k = 0 n k 2 = f ( n ) = 1 3 n 3 + 1 2 n 2 + 1 6 n + 0 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{2}=f(n)={\frac {1}{3}}n^{3}+{\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{6}}n+0={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}} Квадрат комплексного числа в алгебраической форме можно вычислить по формуле:
( a + b i ) 2 = ( a 2 − b 2 ) + 2 a b i . {\displaystyle \left(a+bi\right)^{2}=\left(a^{2}-b^{2}\right)+2abi.} Аналогичная формула для комплексного числа в тригонометрической форме:
( r ( cos ϕ + i sin ϕ ) ) 2 = r 2 ( cos 2 ϕ + i sin 2 ϕ ) . {\displaystyle \left(r\left(\cos \phi +i\sin \phi \right)\right)^{2}=r^{2}\left(\cos {2\phi }+i\sin {2\phi }\right).} Квадрат числа равен площади квадрата со стороной, равной этому числу.
Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. — Конкретная математика. Основание информатики. Пер. с англ. —М.: Мир, 1998. —703 с. 
