У этого термина существуют и другие значения, см.
Кинк .
Кинк — это решение уравнений поля в некоторых теориях поля в 1 + 1 {\displaystyle 1+1} измерениях, интерполирующее между двумя вакуумами при изменении пространственной координаты от − ∞ {\displaystyle -\infty } до + ∞ {\displaystyle +\infty } . Кинк является простейшим топологическим солитоном .
Вид V ( ϕ ) {\displaystyle V(\phi )} при λ = 2 , μ = 2 {\displaystyle \lambda =2,~~\mu ={\sqrt {2}}} . Рассмотрим[1] теорию одного действительного скалярного поля в пространстве размерности 1 + 1 {\displaystyle 1+1} с действием
S = ∫ d 2 x [ 1 2 ϕ , μ ϕ , μ − V ( ϕ ) ] , {\displaystyle S=\int d^{2}x\left[{\frac {1}{2}}\phi _{,\mu }\phi ^{,\mu }-V(\phi )\right],} где ϕ {\displaystyle \phi } — потенциал поля, μ = 0 , 1 {\displaystyle \mu =0,1} , а
V ( ϕ ) = − μ 2 2 ϕ 2 + λ 4 ϕ 4 + μ 4 4 λ = λ 4 ( ϕ 2 − v 2 ) 2 , v = μ λ . {\displaystyle V(\phi )=-{\frac {\mu ^{2}}{2}}\phi ^{2}+{\frac {\lambda }{4}}\phi ^{4}+{\frac {\mu ^{4}}{4\lambda }}={\frac {\lambda }{4}}(\phi ^{2}-v^{2})^{2},~~v={\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}.} Действие инвариантно относительно дискретного преобразования ϕ = − ϕ {\displaystyle \phi =-\phi } ; эта симметрия спонтанно нарушается, так как классические вакуумы равны ϕ v a c = ± v {\displaystyle \phi ^{vac}=\pm v} .
Из принципа наименьшего действия получается уравнение поля
ϕ , μ μ + ∂ V ( ϕ ) ∂ ϕ = 0. {\displaystyle \phi _{,\mu }^{~~\mu }+{\frac {\partial V(\phi )}{\partial \phi }}=0.} Гиперболический тангенс — статическое решение уравнений поля при x 0 = 0 , λ = 2 , μ = 2 {\displaystyle x_{0}=0,~~\lambda =2,~~\mu ={\sqrt {2}}} . Будем искать статическое, то есть не зависящее от времени решение уравнений поля. В этом случае уравнение поля сводится к
ϕ ″ − ∂ V ( ϕ ) ∂ ϕ = 0 , {\displaystyle \phi ''-{\frac {\partial V(\phi )}{\partial \phi }}=0,} где штрих обозначает производную по пространственной координате. Полученное уравнение имеет следующее решение:
ϕ = v tanh ( ± λ 2 v ( x − x 0 ) ) = μ λ tanh ( ± μ 2 x ) , {\displaystyle \phi =v\tanh(\pm {\sqrt {\frac {\lambda }{2}}}v(x-x_{0}))={\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}\tanh {(\pm {\frac {\mu }{\sqrt {2}}}x)},} где x 0 {\displaystyle x_{0}} — постоянная интегрирования. Данное решение и является простейшим статическим кинком , интерполирующим между вакуумами − v {\displaystyle -v} и + v {\displaystyle +v} при изменении пространственной координаты от − ∞ {\displaystyle -\infty } до + ∞ {\displaystyle +\infty } . Решение со знаком − {\displaystyle -} называется антикинком .
Размер кинка имеет порядок величины r k = μ − 1 {\displaystyle r_{k}=\mu ^{-1}} , то есть порядок комптоновской длины волны элементарного возбуждения. Действительно, плотность энергии кинка
ϵ ( x ) = 1 2 ϕ ′ 2 + V ( ϕ ) = λ 2 v 4 1 cosh 4 ( μ 2 ( x − x 0 ) ) {\displaystyle \epsilon (x)={\frac {1}{2}}\phi '^{2}+V(\phi )={\frac {\lambda }{2}}v^{4}{\frac {1}{\cosh ^{4}({\frac {\mu }{\sqrt {2}}}(x-x_{0}))}}} существенно отличается от нуля только в области | x − x 0 | ≲ r k {\displaystyle |x-x_{0}|\lesssim r_{k}} .
Статическая энергия кинка равна
∫ − ∞ ∞ ϵ ( x ) d x = 2 3 m v 2 , {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\epsilon (x)dx={\frac {2}{3}}mv^{2},} где m = 2 μ {\displaystyle m={\sqrt {2}}\mu } — масса элементарного возбуждения.
Полученное решение не инвариантно относительно пространственных трансляций и преобразований Лоренца. Однако эти преобразования переводят решения уравнений поля в другие решения. Применяя трансляции и преобразование Лоренца, получим следующее семейство нестатических решений:
ϕ = μ λ tanh ( ± μ 2 ( x − x 0 ) − u t 1 − u 2 ) , {\displaystyle \phi ={\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}\tanh {(\pm {\frac {\mu }{\sqrt {2}}}{\frac {(x-x_{0})-ut}{\sqrt {1-u^{2}}}})},} где u {\displaystyle u} — скорость движущегося кинка.
Рассмотрим[1] теорию одного комплексного скалярного поля в пространстве размерности 1 + 1 {\displaystyle 1+1} с лагранжианом
Λ = ϕ , μ ϕ ¯ , μ + μ 2 ϕ ϕ ¯ − λ 2 ( ϕ ϕ ¯ ) 2 . {\displaystyle \Lambda =\phi _{,\mu }{\bar {\phi }}^{,\mu }+\mu ^{2}\phi {\bar {\phi }}-{\frac {\lambda }{2}}(\phi {\bar {\phi }})^{2}.} Принцип наименьшего действия приводит к следующим уравнениям поля:
ϕ , μ μ = μ 2 ϕ − λ ϕ 2 ϕ ¯ , {\displaystyle \phi _{,\mu }^{~~\mu }=\mu ^{2}\phi -\lambda \phi ^{2}{\bar {\phi }},} ϕ ¯ , μ , μ = μ 2 ϕ ¯ − λ ϕ ¯ 2 ϕ . {\displaystyle {\bar {\phi }}_{,\mu }^{,\mu }=\mu ^{2}{\bar {\phi }}-\lambda {\bar {\phi }}^{2}\phi .} Полученные уравнения имеют решением кинк из теории действительного скалярного поля
ϕ = ϕ ¯ = μ λ tanh ( ± μ 2 x ) . {\displaystyle \phi ={\bar {\phi }}={\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}\tanh {(\pm {\frac {\mu }{\sqrt {2}}}x)}.} Кинк в уравнении синус-Гордона Рассмотрим[1] теорию одного действительного скалярного поля в пространстве размерности 1 + 1 {\displaystyle 1+1} с лагранжианом
Λ = ϕ , μ ϕ , μ + m 2 v 2 [ cos ϕ v − 1 ] . {\displaystyle \Lambda =\phi _{,\mu }\phi ^{,\mu }+m^{2}v^{2}[\cos {\frac {\phi }{v}}-1].} Принцип наименьшего действия приводит к уравнению
ϕ , μ μ + m 2 v sin ϕ v = 0 , {\displaystyle \phi _{,\mu }^{~~\mu }+m^{2}v\sin {\frac {\phi }{v}}=0,} Антикинк в уравнении синус-Гордона которое заменой x → m x , t → m t , ϕ → ϕ v {\displaystyle x\rightarrow mx,~~t\rightarrow mt,~~\phi \rightarrow {\frac {\phi }{v}}} приводится к уравнению синус-Гордона
ϕ t t − ϕ x x + sin ϕ = 0 , {\displaystyle \phi _{tt}-\phi _{xx}+\sin \phi =0,} имеющему следующие частные решения[2] , представляющие движущиеся со скоростью v {\displaystyle v} кинки, интерполирующие между вакуумами ϕ 0 = 2 π k , k ∈ Z {\displaystyle \phi _{0}=2\pi k,~~k\in \mathbb {Z} } и ϕ 0 + 2 π {\displaystyle \phi _{0}+2\pi } при изменении x {\displaystyle x} от − ∞ {\displaystyle -\infty } до + ∞ {\displaystyle +\infty } :
ϕ ( x , t ) = ϕ 0 + 4 arctan { exp [ ± x + v t v 2 − 1 + δ ] } , {\displaystyle \phi (x,t)=\phi _{0}+4\arctan \left\{\exp \left[\pm {\frac {x+vt}{\sqrt {v^{2}-1}}}+\delta \right]\right\},} где δ {\displaystyle \delta } — произвольная постоянная. Знак + {\displaystyle +} соответствует кинку, знак − {\displaystyle -} — антикинку.
↑ 1 2 3 * Рубаков В.А. Классические калибровочные поля. Бозонные теории. — М. : КомКнига, 2005. — С. 133—143. — 296 с. ↑ * Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002. — С. 144. — 432 с. Т. И. Белова, А. Е. Кудрявцев, Солитоны и их взаимодействия в классической теории поля , УФН 167, 377—406 (1997) Архивная копия от 20 декабря 2016 на Wayback Machine . V.A. Gani, A.E. Kudryavtsev, M.A. Lizunova, Kink interactions in the (1+1)-dimensional φ6 model, Phys. Rev. D 89, 125009 (2014) ; [https://web.archive.org/web/20161220140059/https://arxiv.org/abs/1402.5903 Архивная копия от 20 декабря 2016 на Wayback Machine arXiv:1402.5903 [hep-th]]. V.A. Gani, V. Lensky, M.A. Lizunova, Kink excitation spectra in the (1+1)-dimensional φ8 model, JHEP 08 (2015) 147 ; [https://web.archive.org/web/20161220135634/https://arxiv.org/abs/1506.02313 Архивная копия от 20 декабря 2016 на Wayback Machine arXiv:1506.02313 [hep-th]].