У этого термина существуют и другие значения, см.
Кратность.
Кратность критической точки
-гладкой функции
— размерность так называемой локальной алгебры градиентного отображения этой функции в рассматриваемой точке.
Пусть — -гладкая функция от переменных , имеющая своей критической точкой. Соответствующее градиентное отображение задается формулой Введем следующие обозначения: — алгебра формальных степенных рядов от переменных с центром в ![{\displaystyle O.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1cdb120fda7ea217dfd4d6b9e297a863f45de87) — идеал в алгебре гладких функций, порожденный образующими ![{\displaystyle \partial f/\partial x_{1},\ldots ,\partial f/\partial x_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/634deb8a6d6ddbd5cda536d9d0feaff91f45360c) Сопоставляя каждой гладкой функции её формальный ряд Тейлора, мы получаем вложение в алгебру . Локальной алгеброй градиентного отображения в точке называется факторалгебра а её размерность называется кратностью функции в точке |
В случае, когда функции
имеют в точке
линейно независимые градиенты (это условие равносильно тому, что гессиан функции
отличен от нуля), кратность
, и критическая точка
называется невырожденной. Удобно также положить
в случае некритической точки.
В этом случае
, и кратность
критической точки
может быть определена условием:
![{\displaystyle {\frac {d^{i}f}{dx^{i}}}(O)=0\quad (\forall i=1,\ldots ,\mu ),\quad {\frac {d^{\mu +1}f}{dx^{\mu +1}}}(O)\neq 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5d9b448e7724ee9775039279a68d3897fec3b7d)
при этом значение
соответствует некритической точке. Действительно, так как в этом случае степенной ряд функции
начинается с члена
то любой элемент
представим в виде
, где
и
— многочлен степени
задаваемый
коэффициентами, т.е.
Теорема Тужрона в этом случае принимает тривиальный вид: в окрестности критической точки конечной кратности
существуют координаты, в которых функция имеет вид
![{\displaystyle f(x)=x^{\mu +1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a32da18e01cdc284b2e8dc2a6c5e65263347768) |
В этом случае важной характеристикой критической точки
является ранг
матрицы Гессе
в точке
.
- Если
, то (по лемме Морса) в окрестности точки
функция
с помощью выбора гладких локальных координат приводится к виду
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}x_{i}^{2},\quad \alpha _{i}=\pm 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2cfc52983f578671b6c91b18d20d8dbae4621e2) |
- Если
, то в окрестности точки
функция
с помощью выбора гладких локальных координат приводится к виду
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}\alpha _{i}x_{i}^{2}+g(x_{n}),\quad \alpha _{i}=\pm 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d01d7d322a54645c77aa43aa12eb20a2e4c7c30)
- и, если кратность функции
равна
, то приводится к виду
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}\alpha _{i}x_{i}^{2}+x_{n}^{\mu +1},\quad \alpha _{i}=\pm 1,\quad 2\leq \mu <\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2479311bc22d19e89a4afb1b7a894960f2c94272) |
- Если
, то в окрестности точки
функция
с помощью выбора гладких локальных координат приводится к виду
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n-2}\alpha _{i}x_{i}^{2}+g(x_{n-1},x_{n}),\quad \alpha _{i}=\pm 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/435b9dec9c492e5a3919e6b0bcb80a5bdc6f6473)
- где ряд Тейлора функции
начинается с мономов степени
- Если кубическая часть функции
имеет три различных (вещественных или комплексных) корня, то
приводится к виду
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n-2}\alpha _{i}x_{i}^{2}+x_{n-1}x_{n}^{2}\pm x_{n}^{3},\quad \alpha _{i}=\pm 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65cd1958d3fdac52d00da7464f7a80a081d97a83)
|
- Если кубическая часть функции
имеет два различных корня (один из них — кратный), то, при выполнении дополнительного условия общности положения, функция
приводится к виду
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n-2}\alpha _{i}x_{i}^{2}+x_{n-1}x_{n}^{2}\pm x_{n}^{\mu +1},\quad \alpha _{i}=\pm 1,\quad 3\leq \mu <\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7c80705a25f36ee1773999a0a7ecd1f0e896401)
|
Пусть — гладкая функция от переменной , имеющая точку своей критической точкой конечной кратности по переменной , т.е.
Тогда в окрестности точки функция представима в виде
где и — гладкие функции своих аргументов, не обращается в нуль и для всех . |
Впервые эта теорема была доказа Вейерштрассом для голоморфных функций комплексных переменных[1] (теорема деления по Вейерштрассу). Приведённый выше вещественный аналог часто называют теоремой деления по Мальгранжу или по Мазеру.
Кратность критической точки
-гладкого отображения
— это размерность локальной алгебры данного отображения.
Пусть — -гладкое отображение, имеющее своей критической точкой. Отображение задается набором функций от переменных . Введем следующие обозначения: — алгебра формальных степенных рядов от переменных с центром в ![{\displaystyle O.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1cdb120fda7ea217dfd4d6b9e297a863f45de87) — идеал в алгебре гладких функций, порожденный образующими ![{\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37e6591346af30eb895db583e22383811371452b) Сопоставляя каждой гладкой функции её формальный ряд Тейлора, мы получаем вложение в алгебру . Локальной алгеброй отображения в точке называется факторалгебра а её размерность называется кратностью отображения в точке |
- Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Любое издание.
- Брёкер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы, — Любое издание.
- Голубицкий М., Гийемин В. Устойчивые отображения и их особенности, — М.: Мир, 1977.
- Хёрмандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных, — М.: Мир, 1968.
- Сборник статей: Особенности дифференцируемых отображений, — М.: Мир, 1968.
- Паламодов В.П. О кратности голоморфного отображения, — Функц. анализ и его прил., 1:3 (1967), стр. 54–65.
- Арнольд В. И. Замечание о подготовительной теореме Вейерштрасса, — Функц. анализ и его прил., 1:3 (1967), стр. 1–8.
- Павлова Н.Г., Ремизов А.О. Введение в теорию особенностей. — М.: Изд-во МФТИ, 2022. — 181 с. — ISBN 978-5-7417-0794-4.
- ↑ Weierstrass K. Einige auf die Theorie der analytischen Functionen mehrerer Veränderlichen sich beziehende Sätze. — Mathematische Werke, V. II, Mayer und Müller, Berlin, 1895, 135–188.