В термодинамике и физике твёрдого тела модель Дебая — метод, развитый Дебаем в 1912 г. для оценки фононного вклада в теплоёмкость твёрдых тел. Модель Дебая рассматривает колебания кристаллической решётки как газ квазичастиц — фононов. Эта модель правильно предсказывает теплоёмкость при низких температурах, которая, согласно закону Дебая, пропорциональна
. В пределе высоких температур молярная теплоёмкость, согласно закону Дюлонга — Пти, стремится к
, где
— универсальная газовая постоянная.
Дебай при построении своей теории принял следующие предположения:[1]
- Твёрдое тело представляет собой непрерывную среду.
- Эта среда упруго изотропна.
- В среде отсутствует дисперсия.
- Упругие свойства среды не зависят от температуры.
При тепловом равновесии энергия
набора осцилляторов с различными частотами
равна сумме их энергий:
где
— число мод нормальных колебаний на единицу длины интервала частот,
— количество осцилляторов в твёрдом теле, колеблющихся с частотой
.
Функция плотности
в трёхмерном случае имеет вид:
где
— объём твёрдого тела,
— скорость звука в нём.
Значение квантовых чисел вычисляются по формуле Планка:
Тогда энергия запишется в виде:
где
— температура Дебая,
— число атомов в твёрдом теле,
— постоянная Больцмана.
Дифференцируя внутреннюю энергию по температуре, получим:
![{\displaystyle {\frac {c_{v}}{Nk_{B}}}=9\left({T \over T_{D}}\right)^{3}\int \limits _{0}^{T_{D}/T}{\frac {x^{4}e^{x}}{(e^{x}-1)^{2}}}\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9935e90a9c1efae0159b9f08b42dad9951552c6)
В модели Дебая учтено, что теплоёмкость твёрдого тела — это параметр равновесного состояния термодинамической системы. Поэтому волны, возбуждаемые в твёрдом теле элементарными осцилляторами, не могут переносить энергию. То есть они являются стоячими волнами. Если твёрдое тело выбрать в виде прямоугольного параллелепипеда с рёбрами
,
,
, то условия существования стоячих волн можно записать в виде:
![{\displaystyle n_{1}{\frac {\lambda _{x}}{2}}=a,\ n_{2}{\frac {\lambda _{y}}{2}}=b,\ n_{3}{\frac {\lambda _{z}}{2}}=c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ea5cb5b23c16c149e0514fc2c2051b8dd1b4cb0)
где
— целые числа.
Перейдём к пространству, построенному на волновых векторах. Поскольку
, то
![{\displaystyle k_{x}={\frac {2\pi }{\lambda _{x}}}=\pi {\frac {n_{1}}{a}},\ k_{y}={\frac {2\pi }{\lambda _{y}}}=\pi {\frac {n_{2}}{b}},\ k_{z}={\frac {2\pi }{\lambda _{z}}}=\pi {\frac {n_{3}}{c}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/062fab0c17801f1be47da5ed6ba0220aead42649)
Таким образом, в твёрдом теле могут существовать осцилляторы, с частотами, изменяющимися дискретно. Одному осциллятору в
-пространстве соответствует ячейка с объёмом
![{\displaystyle \tau =\Delta k_{x}\Delta k_{y}\Delta k_{z}={\frac {\pi ^{3}}{a\cdot b\cdot c}}={\frac {\pi ^{3}}{V}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a9752451fbb98f119d0ec988d486fe6f8f2f506)
где
![{\displaystyle \Delta k_{x}={\frac {\pi }{a}},\ \Delta k_{y}={\frac {\pi }{b}},\ \Delta k_{z}={\frac {\pi }{c}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b90e23ceaf78477b05d61850412aa036b35c41a3)
В
-пространстве осцилляторам с частотами в интервале
соответствует один октант сферического слоя с объёмом
![{\displaystyle dV_{k}={\frac {4\pi k^{2}dk}{8}}={\frac {\pi k^{2}dk}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c7b63a00baba1f130212d741cbda1dbafc993ed)
В этом объёме количество осцилляторов равно
Учтём, что каждый осциллятор генерирует 3 волны: 2 поперечные и одну продольную. При этом
.
Найдём внутреннюю энергию одного моля твёрдого тела. Для этого запишем взаимосвязь между волновым числом, скоростью распространения волн и частотой:
Колебания в твёрдом теле ограничены максимальным значением частоты
. Определим граничную частоту из условия:
Отсюда внутренняя энергия одного моля:
где
— средняя энергия квантового осциллятора (см. модель теплоёмкости Эйнштейна),
— постоянная Больцмана,
— число Авогадро.
В последнем выражении сделаем следующую замену переменных:
;
;
;
— температура Дебая.
Теперь для
получим
Наконец, для молярной теплоёмкости получаем
![{\displaystyle C={\frac {dU_{M}}{dT}}=3R\left[12{\left({\frac {T}{\Theta }}\right)}^{3}\int _{0}^{\Theta /T}{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}dx-{\frac {3\Theta /T}{e^{\Theta /T}-1}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81d7cc483212578a10b50f62501a069a19392ab9)
Легко проверить, что при условии
теплоёмкость
, а при условии
теплоёмкость
Интеграл
может быть взят методами теории функций комплексной переменной или с использованием дзета-функции Римана. Таким образом, теория Дебая соответствует результатам экспериментов.
- ↑ Блатт Ф. Физика электронной проводимости в твёрдых телах. — М., Мир, 1971. — c. 64