Нега-позиционная система счисления

Системы счисления в культуре
Индо-арабская
Арабская
Тамильская
Бирманская
Кхмерская
Лаосская
Монгольская
Тайская
Восточноазиатские
Китайская
Японская
Сучжоу
Корейская
Вьетнамская
Счётные палочки
Алфавитные
Абджадия
Армянская
Ариабхата
Кириллическая
Греческая
Грузинская
Эфиопская
Еврейская
Акшара-санкхья
Другие
Вавилонская
Египетская
Этрусская
Римская
Дунайская
Аттическая
Кипу
Майяская
Эгейская
Символы КППУ
Позиционные
2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 16, 20, 60
Нега-позиционная
Симметричная
Смешанные системы
Фибоначчиева
Непозиционные
Единичная (унарная)

Не́га-позицио́нная систе́ма счисле́ния — позиционная система счисления с отрицательным основанием. Особенностью таких систем является отсутствие знака перед отрицательными числами и, следовательно, отсутствие правил знаков. Всякое число любой из нега-позиционных систем, отличное от , с нечётным числом цифр — положительно, а с чётным числом цифр — отрицательно. Часто число в нега-позиционной системе требует для записи на одну цифру больше, чем то же число в системе с положительным основанием. Обычно название нега-позиционной системы состоит из приставки нега- и названия соответствующей системы счисления с положительным основанием; например, нега-десятичная (b = −10), нега-троичная (b = −3), нега-двоичная (b = −2) и другие.

  Нега-позиционная запись     Позиционная запись   Представление числа
 174(-10)  34(10)  1·(-10)2 + 7·(-10)1 + 4·(-10)0 = 100 − 70 + 4 = 34
 46(-10)  −34(10)  4·(-10)1 + 6·(-10)0 = −40 + 6 = −34
 11001(-2)  1001(2)  1·(-2)4 + 1·(-2)3 + 0·(-2)2 + 0·(-2)1 + 1·(-2)0 = 16 − 8 + 1 = 9 

Нега-позиционные системы счисления были впервые предложены Витторио Грюнвальдом[англ.] в его работе «Giornale di Matematiche di Battaglini» 23 (стр. 203—221), опубликованной в 1885 году. Грюнвальд описал алгоритмы сложения, вычитания, умножения, деления, извлечения корня, признаков делимости и преобразования систем счисления.

Использование

[править | править код]

Число x в нега-позиционной системе счисления с основанием представляется в виде линейной комбинации степеней числа :

,

где  — это целые числа, называемые цифрами и удовлетворяющие неравенству ,  — порядковый номер разряда начиная с нулевого, n — число разрядов. Каждая степень в такой записи называется разрядом, старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется значением показателя . Обычно для ненулевого числа требуют, чтобы старшая цифра в b-ричном представлении была также ненулевой.

Нега-позиционные системы сравнимы с знако-разрядными системами счисления, такими как симметричная троичная система, где основание системы положительно, однако цифры могут принимать отрицательные значения из некого промежутка.

Некоторые числа обладают одним и тем же представлением в системах счисления с основанием и (позиционных и соответствующим им нега-позиционных). К примеру, числа от 100 до 109 одинаково записываются в десятичной и нега-десятичных системах счисления. Аналогично:

То есть число 17 имеет одинаковое представление в двоичной и нега-двоичной системах счисления — .

Представления чисел от −12 до 12 в различных системах счисления:

Десятичное Нега-десятичное Двоичное Нега-двоичное Троичное Нега-троичное
-12 28 -1100 110100 -110 1210
-11 29 -1011 110101 -102 1211
-10 10 -1010 1010 -101 1212
-9 11 -1001 1011 -100 1200
-8 12 -1000 1000 -22 1201
-7 13 -111 1001 -21 1202
-6 14 -110 1110 -20 20
-5 15 -101 1111 -12 21
-4 16 -100 1100 -11 22
-3 17 -11 1101 -10 10
-2 18 -10 10 -2 11
-1 19 -1 11 -1 12
0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1
2 2 10 110 2 2
3 3 11 111 10 120
4 4 100 100 11 121
5 5 101 101 12 122
6 6 110 11010 20 110
7 7 111 11011 21 111
8 8 1000 11000 22 112
9 9 1001 11001 100 100
10 190 1010 11110 101 101
11 191 1011 11111 102 102
12 192 1100 11100 110 220

Перевод в нега-позиционные системы

[править | править код]

Нега-позиционное представление числа может быть получено последовательными делениями с остатком исходного числа на (то есть на основание нега-позиционной системы) и записью подряд остатков начиная с последнего. Заметим, что если , с остатком , то . Пример перевода в нега-троичную систему:

Следовательно, нега-троичным представлением числа 146(10) является 21102(-3).

Арифметические операции

[править | править код]

Сложение столбиком надо делать как в обычной системе, например если вы хотите сложить в нега-десятичной системе счисления, то это надо делать как в десятичной системе счисления. Но с одним исключением: если при сложении в каком-либо разряде получается число не менее 10, то надо в этот разряд записать число единиц из полученного числа а из соседнего слева разряда вычесть единицу. Если слева нет разряда, то приписать слева 19 (для нега-десятичной, для нега-троичной 12, для нега-двоичной 11). Например (нега-десятичная система):

 ·  ·  18115 +   5487   3582 

5+7=12, 2 в разряд единиц, из соседнего слева вычитаем единицу. 8+5=13, 3 в разряд минус тысяч, из соседнего слева вычитаем единицу.

  ·   72 +   49 1901 

2+9=11, 1 в разряд единиц, из соседнего слева вычитаем единицу. 6+4=10, 0 в разряд минус десятков, соседнего слева — нет, приписываем слева 19.

Вычитание столбиком надо делать как в обычной системе, например если вы хотите вычесть в нега-десятичной системе счисления (НДСС), то это надо делать как в десятичной системе счисления. Но с одним исключением: если при вычитании в каком-либо разряде надо занять десяток, то вы это и делаете, но из соседнего слева разряда вы не вычитаете единицу, а наоборот прибавляете её туда. Если слева нет разряда, то приписать слева 1. Например (нега-десятичная система):

 52 −  39  ?? 

2−9 нельзя, занимаем единицу.

 2     12 −     −  9      9 ??      3 

12−9=3, 3 в разряд единиц, в соседний слева разряд прибавляем единицу (52−12= 52−2+10 =50+10=60). 6−3=3.

 52    52    60    60    00 −     −     −     −     −  39    30    30    30    00  ??    ?3    ?3    ?3    33 

52 в НДСС = −4810. 39 в НДСС = −2110. 33 в НДСС = −2710.

−4810 − (−2110) = −2710.

Таблицы умножения

[править | править код]