Отношение эквивалентности
Отношение эквивалентности — бинарное отношение между элементами данного множества, свойства которого сходны со свойствами отношения равенства.
Определение
[править | править код]Отношение эквивалентности () на множестве — это бинарное отношение, для которого при любых из выполнены следующие условия:
- рефлексивность: ;
- симметричность: если , то ;
- транзитивность: если и , то .
Запись вида «» читается как « эквивалентно ».
Связанные определения
[править | править код]Классом эквивалентности элемента называется подмножество элементов, эквивалентных ; то есть,
- .
Из вышеприведённого определения немедленно следует, что если , то .
Фактормножество — множество всех классов эквивалентности заданного множества по заданному отношению , обозначается .
Для класса эквивалентности элемента используются следующие обозначения: , , .
Множество классов эквивалентности по отношению является разбиением множества.
Примеры
[править | править код]- Равенство («»), тривиальное отношение эквивалентности на любом множестве, в частности, вещественных чисел.
- Сравнение по модулю: а ≡ b (mod n).
- В евклидовой геометрии
- Отношение конгруэнтности («»).
- Отношение подобия («»).
- Отношение параллельности прямых («») (если считать каждую прямую параллельной самой себе).
- Эквивалентность функций в математическом анализе:
- Говорят, что функция эквивалентна функции при , если она допускает представление вида , где при . В этом случае пишут , напоминая при необходимости, что речь идёт о сравнении функций при . Если при , эквивалентность функций и при , очевидно, равносильна соотношению .
- Эквивалентность норм на векторном пространстве.
- Отношение равномощности множеств.
- Изоморфизм групп, колец, векторных пространств
- Эквивалентность категорий.
- Изоморфизм в некоторой категории задаёт отношение эквивалентности на этой категории.
- Эквивалентность гладких атласов гладкого многообразия.
Классы эквивалентности
[править | править код]Множество всех классов эквивалентности, отвечающее отношению эквивалентности , обозначается символом и называется фактормножеством относительно . При этом сюръективное отображение
называется естественным отображением (или канонической проекцией) на фактормножество .
Пусть и — множества, — отображение, тогда бинарное отношение , определённое правилом
- ,
является отношением эквивалентности на . При этом отображение индуцирует отображение , определяемое правилом
или, что то же самое,
- .
При этом получается факторизация отображения на сюръективное отображение и инъективное отображение .
См. также
[править | править код]- Отношение толерантности — ослабленная форма эквивалентности.
- Эквиваленция — логическая операция.
- Знак равенства.
Литература
[править | править код]- А. И. Кострикин, Введение в алгебру. М.: Наука, 1977, 47—51.
- А. И. Мальцев, Алгебраические системы, М.: Наука, 1970, 23—30.
- Отношение типа равенства (отношение эквивалентности) // Большая Советская энциклопедия (в 30 т.) / А. М. Прохоров (гл. ред.). — 3-е изд. — М.: Советская энциклопедия, 1974. — Т. XVIII. — С. 629. — 632 с.
Для улучшения этой статьи желательно:
|