Поверхность второго порядка — геометрическое место точек трёхмерного пространства, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида
A x 2 + B y 2 + C z 2 + D x y + E y z + F x z + G x + H y + I z + J = 0 {\displaystyle Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Iz+J=0} в котором по крайней мере один из коэффициентов A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} , D {\displaystyle D} E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} , отличен от нуля. Является частным случаем квадрики .
Поверхности второго порядка, получающиеся при различных значениях параметров уравнения Поверхность S {\displaystyle S} называется цилиндрической поверхностью с образующей l → {\displaystyle {\vec {l}}} , если для любой точки M 0 {\displaystyle M_{0}} этой поверхности прямая, проходящая через эту точку параллельно образующей l → {\displaystyle {\vec {l}}} , целиком принадлежит поверхности S {\displaystyle S} .
Теорема (об уравнении цилиндрической поверхности). Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность S {\displaystyle S} имеет уравнение f ( x , y ) = 0 {\displaystyle f(x,y)=0} , то S {\displaystyle S} — цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси O Z {\displaystyle OZ} .
Кривая, задаваемая уравнением f ( x , y ) = 0 {\displaystyle f(x,y)=0} в плоскости z = 0 {\displaystyle z=0} , называется направляющей цилиндрической поверхности.
Если направляющая цилиндрической поверхности задаётся кривой второго порядка , то такая поверхность называется цилиндрической поверхностью второго порядка .
Эллиптический цилиндр: Параболический цилиндр: Гиперболический цилиндр: x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1} y 2 = 2 p x {\displaystyle y^{2}=2px} x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}\!=1} Пара совпавших прямых: Пара совпавших плоскостей: Пара пересекающихся плоскостей: x 2 a 2 + y 2 b 2 = 0 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=0} y 2 = 0 {\displaystyle y^{2}=0} x 2 a 2 − y 2 b 2 = 0 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}\!=0}
Коническая поверхность. Поверхность S {\displaystyle S} называется конической поверхностью с вершиной в точке O {\displaystyle O} , если для любой точки M 0 {\displaystyle M_{0}} этой поверхности прямая, проходящая через M 0 {\displaystyle M_{0}} и O {\displaystyle O} , целиком принадлежит этой поверхности.
Функция F ( x , y , z ) {\displaystyle F(x,y,z)} называется однородной порядка m {\displaystyle m} , если ∀ t ∈ R ∀ x , y , z {\displaystyle \forall t\in \mathbb {R} \;\forall x,y,z} выполняется следующее: F ( t x , t y , t z ) = t m F ( x , y , z ) {\displaystyle F(tx,ty,tz)=t^{m}F(x,y,z)}
Теорема (об уравнении конической поверхности). Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность S {\displaystyle S} задана уравнением F ( x , y , z ) = 0 {\displaystyle F(x,y,z)=0} , где F ( x , y , z ) {\displaystyle F(x,y,z)} — однородная функция, то S {\displaystyle S} — коническая поверхность с вершиной в начале координат.
Если поверхность S {\displaystyle S} задана функцией F ( x , y , z ) {\displaystyle F(x,y,z)} , являющейся однородным алгебраическим многочленом второго порядка, то S {\displaystyle S} называется конической поверхностью второго порядка .
Каноническое уравнение конуса второго порядка имеет вид: x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 0 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0} Поверхность S {\displaystyle S} называется поверхностью вращения вокруг оси O Z {\displaystyle OZ} , если для любой точки M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) {\displaystyle M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})} этой поверхности окружность, проходящая через эту точку в плоскости z = z 0 {\displaystyle z=z_{0}} с центром в ( 0 , 0 , z 0 ) {\displaystyle (0,0,z_{0})} и радиусом r = x 0 2 + y 0 2 {\displaystyle r={\sqrt {x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}}} , целиком принадлежит этой поверхности.
Теорема (об уравнении поверхности вращения). Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность S {\displaystyle S} задана уравнением F ( x 2 + y 2 , z ) = 0 {\displaystyle F(x^{2}+y^{2},z)=0} , то S {\displaystyle S} — поверхность вращения вокруг оси O Z {\displaystyle OZ} .
Эллипсоид : Однополостной гиперболоид : Двуполостной гиперболоид: Эллиптический параболоид : Гиперболический параболоид: x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1} x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1} x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = − 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1} x 2 a 2 + y 2 b 2 = 2 z {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=2z} x 2 a 2 − y 2 b 2 = 2 z {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=2z}
В случае, если a = b ≠ 0 {\displaystyle a=b\neq 0} , перечисленные выше поверхности являются поверхностями вращения.
Уравнение эллиптического параболоида имеет вид
x 2 a 2 + y 2 b 2 = 2 z . {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=2z.} Если a = b {\displaystyle a=b} , то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения , образованную вращением параболы, параметр которой p = a 2 = b 2 {\displaystyle p=a^{2}=b^{2}} , вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину и фокус данной параболы.
Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью z = z 0 > 0 {\displaystyle z=z_{0}>0} является эллипсом .
Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью x = x 0 {\displaystyle x=x_{0}} или y = y 0 {\displaystyle y=y_{0}} является параболой .
Уравнение гиперболического параболоида имеет вид
x 2 a 2 − y 2 b 2 = 2 z . {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=2z.} Пересечение гиперболического параболоида с плоскостью z = z 0 {\displaystyle z=z_{0}} является гиперболой .
Пересечение гиперболического параболоида с плоскостью x = x 0 {\displaystyle x=x_{0}} или y = y 0 {\displaystyle y=y_{0}} является параболой .
Ввиду геометрической схожести гиперболический параболоид часто называют «седлом ».
Если центр поверхности второго порядка существует и единственен, то его координаты ( x 0 , y 0 z 0 ) {\displaystyle \left(x_{0},\;y_{0}\;z_{0}\right)} можно найти, решив систему уравнений:
{ a 11 x 0 + a 12 y 0 + a 13 z 0 + a 14 = 0 a 21 x 0 + a 22 y 0 + a 23 z 0 + a 24 = 0 a 31 x 0 + a 32 y 0 + a 33 z 0 + a 34 = 0 {\displaystyle {\begin{cases}a_{11}x_{0}+a_{12}y_{0}+a_{13}z_{0}+a_{14}=0\\a_{21}x_{0}+a_{22}y_{0}+a_{23}z_{0}+a_{24}=0\\a_{31}x_{0}+a_{32}y_{0}+a_{33}z_{0}+a_{34}=0\end{cases}}}
Уравнение поверхности второго порядка может быть переписано в матричном виде:
( x y z 1 ) ( a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 ) ( x y z 1 ) = 0 {\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y&z&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\1\end{pmatrix}}=0} Также можно выделить квадратичную и линейную части друг от друга:
( x y z ) ( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ) ( x y z ) + 2 ( a 14 a 24 a 34 ) ( x y z ) + a 44 = 0 {\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}+2{\begin{pmatrix}a_{14}&a_{24}&a_{34}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}+a_{44}=0} Если обозначить A = ( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ) b = ( a 14 a 24 a 34 ) X = ( x y z ) T {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{pmatrix}}\quad b={\begin{pmatrix}a_{14}&a_{24}&a_{34}\end{pmatrix}}\quad X={\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}}^{T}} , то уравнение приобретает следующий вид:
X T A X + 2 b X + a 44 = 0 {\displaystyle X^{T}AX+2bX+a_{44}=0} Значения следующих величин сохраняются при ортогональных преобразованиях базиса :
Связанных с матрицей A {\displaystyle A} : I 1 = t r A {\displaystyle I_{1}=\mathrm {tr} \,A} I 2 = M A 1 , 2 1 , 2 + M A 1 , 3 1 , 3 + M A 2 , 3 2 , 3 {\displaystyle I_{2}={M_{A}}_{1,2}^{1,2}+{M_{A}}_{1,3}^{1,3}+{M_{A}}_{2,3}^{2,3}} , где M A i , j i , j {\displaystyle {M_{A}}_{i,j}^{i,j}} — минор второго порядка матрицы A, расположенный в строках и столбцах с индексами i и j. I 3 = det A {\displaystyle I_{3}=\det A} Связанных с блочной (расширенной) матрицей B = ( A b b T a 44 ) {\displaystyle B={\begin{pmatrix}A&b\\b^{T}&a_{44}\end{pmatrix}}} [1] K 2 = ∑ i = 1 3 ∑ j = i + 1 4 M B i , j i , j {\displaystyle K_{2}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=i+1}^{4}{M_{B}}_{i,j}^{i,j}} K 3 = ∑ i = 1 2 ∑ j = i + 1 3 ∑ k = j + 1 4 M B i , j , k i , j , k {\displaystyle K_{3}=\sum _{i=1}^{2}\sum _{j=i+1}^{3}\sum _{k=j+1}^{4}{M_{B}}_{i,j,k}^{i,j,k}} K 4 = det B {\displaystyle K_{4}=\det B} Такие инварианты также иногда называют полуинвариантами или семи-инвариантами.
При параллельном переносе системы координат величины I 1 , I 2 , I 3 , K 4 {\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3},K_{4}} остаются неизменными. При этом:
K 3 {\displaystyle K_{3}} остается неизменной только если I 2 = I 3 = K 4 = 0 {\displaystyle I_{2}=I_{3}=K_{4}=0} K 2 {\displaystyle K_{2}} остается неизменной только если I 2 = I 3 = K 4 = K 3 = 0 {\displaystyle I_{2}=I_{3}=K_{4}=K_{3}=0} Классификация поверхностей второго порядка относительно значений инвариантов[ править | править код ] Поверхность Уравнение Инварианты Эллипсоид x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1} I 3 ≠ 0 {\displaystyle I_{3}\neq 0} I 2 > 0 , I 1 I 3 > 0 {\displaystyle I_{2}>0,\quad I_{1}I_{3}>0} K 4 < 0 {\displaystyle K_{4}<0} Мнимый эллипсоид x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = − 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1} K 4 > 0 {\displaystyle K_{4}>0} Точка x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 = 0 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+z^{2}=0} K 4 = 0 {\displaystyle K_{4}=0} Однополостный гиперболоид x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1} I 2 = 0 {\displaystyle I_{2}=0} или I 1 I 3 ≤ 0 {\displaystyle I_{1}I_{3}\leq 0} K 4 > 0 {\displaystyle K_{4}>0} Двуполостный гиперболоид x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = − 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1} K 4 < 0 {\displaystyle K_{4}<0} Конус x 2 a 2 + y 2 b 2 − 2 z 2 = 0 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-2z^{2}=0} K 4 = 0 {\displaystyle K_{4}=0} Эллиптический параболоид x 2 a 2 + y 2 b 2 − 2 z = 0 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-2z=0} I 3 = 0 {\displaystyle I_{3}=0} K 4 ≠ 0 {\displaystyle K_{4}\neq 0} K 4 < 0 {\displaystyle K_{4}<0} Гиперболический параболоид x 2 a 2 − y 2 b 2 − 2 z = 0 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-2z=0} K 4 > 0 {\displaystyle K_{4}>0} Эллиптический цилиндр x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1} K 4 = 0 {\displaystyle K_{4}=0} I 2 > 0 {\displaystyle I_{2}>0} I 1 K 2 < 0 {\displaystyle I_{1}K_{2}<0} Мнимый эллиптический цилиндр x 2 a 2 + y 2 b 2 = − 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1} I 1 K 2 > 0 {\displaystyle I_{1}K_{2}>0} Прямая (пара мнимых пересекающихся плоскостей) x 2 a 2 + y 2 = 0 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+y^{2}=0} K 2 = 0 {\displaystyle K_{2}=0} Гиперболический цилиндр x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1} I 2 < 0 {\displaystyle I_{2}<0} K 2 ≠ 0 {\displaystyle K_{2}\neq 0} Пара пересекающихся плоскостей x 2 a 2 − y 2 = 0 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-y^{2}=0} K 2 = 0 {\displaystyle K_{2}=0} Параболический цилиндр y 2 = 2 p x {\displaystyle y^{2}=2px} I 2 = 0 {\displaystyle I_{2}=0} K 2 ≠ 0 {\displaystyle K_{2}\neq 0} Пара параллельных плоскостей x 2 − d 2 = 0 {\displaystyle x^{2}-d^{2}=0} K 2 = 0 {\displaystyle K_{2}=0} K 1 < 0 {\displaystyle K_{1}<0} Пара мнимых параллельных плоскостей x 2 + d 2 = 0 {\displaystyle x^{2}+d^{2}=0} K 1 > 0 {\displaystyle K_{1}>0} Плоскость x 2 = 0 {\displaystyle x^{2}=0} K 1 = 0 {\displaystyle K_{1}=0}
↑ Александров П. С. Глава XIX. Общая теория поверхностей второго порядка. // Лекции по аналитической геометрии. — Наука, 1968. — С. 504-506. — 911 с. В. А. Ильин, Г. Д. Ким. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. — М. : Проспект, 2012. — 400 с. В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. Аналитическая геометрия. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 240 с. П. С. Александров. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 1979. — 511 с. Шаль . Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов . Гл. 5, § 46-54. М., 1883.