Дигамма-функция ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} Тригамма-функция ψ ′ ( x ) {\displaystyle \psi '(x)} Тетрагамма-функция ψ ″ ( x ) {\displaystyle \psi ''(x)} Пентагамма-функция ψ ‴ ( x ) {\displaystyle \psi '''(x)} Полига́мма-фу́нкция порядка m в математике определяется как (m +1)-я производная натурального логарифма гамма-функции ,
ψ ( m ) ( z ) = d m d z m ψ ( z ) = d m + 1 d z m + 1 ln Γ ( z ) , {\displaystyle \psi ^{(m)}(z)={\frac {{\rm {d}}^{m}}{{\rm {d}}z^{m}}}\psi (z)={\frac {{\rm {d}}^{m+1}}{{\rm {d}}z^{m+1}}}\ln \Gamma (z)\;,} где Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} — гамма-функция , а
ψ ( z ) = ψ ( 0 ) ( z ) = Γ ′ ( z ) Γ ( z ) {\displaystyle \psi (z)=\psi ^{(0)}(z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}} — дигамма-функция [1] , которую также можно определить через сумму следующего ряда:
ψ ( z ) = ψ ( 0 ) ( z ) = − γ + ∑ k = 0 ∞ ( 1 k + 1 − 1 k + z ) , {\displaystyle \psi (z)=\psi ^{(0)}(z)=-\gamma +\sum \limits _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{k+1}}-{\frac {1}{k+z}}\right)\;,} где γ {\displaystyle {\textstyle {\gamma }}} — постоянная Эйлера—Маскерони . Это представление справедливо для любого комплексного z ≠ 0 , − 1 , − 2 , − 3 , … {\displaystyle z\neq 0,\;-1,\;-2,\;-3,\ldots } (в указанных точках функция ψ ( z ) {\displaystyle {\textstyle {\psi (z)}}} имеет сингулярности первого порядка)[2] .
Полигамма-функцию также можно определить через сумму ряда
ψ ( m ) ( z ) = ( − 1 ) m + 1 m ! ∑ k = 0 ∞ 1 ( z + k ) m + 1 , m > 0 , {\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\sum \limits _{k=0}^{\infty }\displaystyle {\frac {1}{(z+k)^{m+1}}}\;,\qquad m>0\;,} который получается из представления для дигамма-функции дифференцированием по z [1] . Это представление также справедливо для любого комплексного z ≠ 0 , − 1 , − 2 , − 3 , … {\displaystyle z\neq 0,\;-1,\;-2,\;-3,\ldots } (в указанных точках функция ψ ( m ) ( z ) {\displaystyle {\textstyle {\psi ^{(m)}(z)}}} имеет сингулярности порядка (m +1)). Оно может быть записано через дзета-функцию Гурвица [1] ,
ψ ( m ) ( z ) = ( − 1 ) m + 1 m ! ζ ( m + 1 , z ) . {\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\zeta (m+1,z)\;.} В этом смысле дзета-функция Гурвица может быть использована для обобщения полигамма-функции на случай произвольного (нецелого) порядка m .
Отметим, что в литературе ψ ( m ) ( z ) {\displaystyle {\textstyle {\psi ^{(m)}(z)}}} иногда обозначается как ψ m ( z ) {\displaystyle {\textstyle {\psi _{m}(z)}}} или явным образом указываются штрихи для производных по z . Функция ψ ′ ( z ) = ψ ( 1 ) ( z ) {\displaystyle {\textstyle {\psi '(z)=\psi ^{(1)}(z)}}} называется тригамма-функцией , ψ ″ ( z ) = ψ ( 2 ) ( z ) {\displaystyle {\textstyle {\psi ''(z)=\psi ^{(2)}(z)}}} — тетрагамма-функцией, ψ ‴ ( z ) = ψ ( 3 ) ( z ) {\displaystyle {\textstyle {\psi '''(z)=\psi ^{(3)}(z)}}} — пентагамма-функцией, ψ ( 4 ) ( z ) {\displaystyle {\textstyle {\psi ^{(4)}(z)}}} — гексагамма-функцией, и т. д.
Полигамма-функция может быть представлена как
ψ ( m ) ( z ) = ( − 1 ) m + 1 ∫ 0 ∞ t m e − z t 1 − e − t d t {\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{m}e^{-zt}}{1-e^{-t}}}{\rm {d}}t} Это представление справедливо для Re z >0 и m > 0 . При m =0 (для дигамма-функции ) интегральное представление может быть записано в виде
ψ ( z ) = ψ ( 0 ) ( z ) = − γ + ∫ 0 ∞ e − t − e − z t 1 − e − t d t = − γ + ∫ 0 1 1 − t z − 1 1 − t d t , {\displaystyle \psi (z)=\psi ^{(0)}(z)=-\gamma +\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}-e^{-zt}}{1-e^{-t}}}{\rm {d}}t=-\gamma +\int _{0}^{1}{\frac {1-t^{z-1}}{1-t}}{\rm {d}}t\;,} где γ {\displaystyle {\textstyle {\gamma }}} — постоянная Эйлера—Маскерони .
При z → ∞ {\displaystyle z\to \infty \;} ( | arg z | < π {\displaystyle \;|\operatorname {arg} \;{z}|<\pi } ) справедливо следующее разложение с использованием чисел Бернулли :
ψ ( m ) ( z ) = ( − 1 ) m − 1 [ ( m − 1 ) ! z m + m ! 2 z m + 1 + ∑ k = 1 ∞ ( 2 k + m − 1 ) ! B 2 k ( 2 k ) ! z 2 k + m ] {\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m-1}\left[{\frac {(m-1)!}{z^{m}}}+{\frac {m!}{2z^{m+1}}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(2k+m-1)!\;B_{2k}}{(2k)!\;z^{2k+m}}}\right]} Разложение в ряд Тейлора вблизи аргумента, равного единице, имеет вид
ψ ( m ) ( z + 1 ) = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) m + k + 1 ( m + k ) ! ζ ( m + k + 1 ) z k k ! , {\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{m+k+1}(m+k)!\;\zeta (m+k+1)\;{\frac {z^{k}}{k!}}\;,} где ζ обозначает дзета-функцию Римана . Этот ряд сходится при |z | < 1, и он может быть получен из соответствующего ряда для дзета-функции Гурвица .
Значения полигамма-функции при целых и полуцелых значениях аргумента выражаются через дзета-функцию Римана ,
ψ ( m ) ( 1 ) = ( − 1 ) m + 1 m ! ζ ( m + 1 ) , m > 0 {\displaystyle \psi ^{(m)}(1)=(-1)^{m+1}m!\;\zeta (m+1)\;,\qquad m>0} ψ ( m ) ( 1 2 ) = ( − 1 ) m + 1 m ! ( 2 m + 1 − 1 ) ζ ( m + 1 ) , m > 0 , {\displaystyle \psi ^{(m)}({\tfrac {1}{2}})=(-1)^{m+1}m!\;(2^{m+1}-1)\;\zeta (m+1)\;,\qquad m>0\;,} а для дигамма-функции (при m =0) —
ψ ( 1 ) = ψ ( 0 ) ( 1 ) = − γ , {\displaystyle \psi (1)=\psi ^{(0)}(1)=-\gamma \;,} ψ ( 1 2 ) = ψ ( 0 ) ( 1 2 ) = − γ − 2 ln 2 , {\displaystyle \psi ({\tfrac {1}{2}})=\psi ^{(0)}({\tfrac {1}{2}})=-\gamma -2\ln {2}\;,} где γ {\displaystyle {\textstyle {\gamma }}} — постоянная Эйлера—Маскерони [1] .
Чтобы получить значения полигамма-функции при других целых (положительных) и полуцелых значениях аргумента, можно использовать рекуррентное соотношение, приведённое ниже.
Полигамма-функция удовлетворяет рекуррентному соотношению [1]
ψ ( m ) ( z + 1 ) = ψ ( m ) ( z ) + ( − 1 ) m m ! z m + 1 , {\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\psi ^{(m)}(z)+{\frac {(-1)^{m}\;m!}{z^{m+1}}}\;,} а также формуле дополнения[1]
ψ ( m ) ( 1 − z ) + ( − 1 ) m + 1 ψ ( m ) ( z ) = ( − 1 ) m π d m d z m cot ( π z ) . {\displaystyle \psi ^{(m)}(1-z)+(-1)^{m+1}\;\psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m}\pi {\frac {{\rm {d}}^{m}}{{\rm {d}}z^{m}}}\cot(\pi z)\;.} Для полигамма-функции кратного аргумента существует следующее свойство[1] :
ψ ( m ) ( k z ) = 1 k m + 1 ∑ n = 0 k − 1 ψ ( m ) ( z + n k ) , m > 0 {\displaystyle \psi ^{(m)}(kz)={\frac {1}{k^{m+1}}}\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(m)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right),\qquad m>0} а для дигамма-функции ( m = 0 {\displaystyle m=0} ) к правой части надо добавить lnk [1] ,
ψ ( k z ) = ln k + 1 k ∑ n = 0 k − 1 ψ ( z + n k ) . {\displaystyle \psi (kz)=\ln {k}+{\frac {1}{k}}\sum _{n=0}^{k-1}\psi \left(z+{\frac {n}{k}}\right).}