Ряд Тейлора

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Частный случай разложения в ряд Тейлора в нулевой точке называется рядом Маклорена.

Ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Брука Тейлора^[1] — его использовали ещё в XIV веке в Индии^[2], а также в XVII веке Грегори и Ньютон.

Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.

Обобщением понятия ряда Тейлора в функциональном анализе является ряд Фантапье.

Определение

1. Многочленом Тейлора функции $f(x)$ вещественной переменной $x$ , дифференцируемой $k$ раз в точке $a$ , называется конечная сумма

\sum _{n=0}^{k}{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f^{(2)}(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\ldots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}

,

используемая в приближённых вычислениях, как обобщение следствия теоремы Лагранжа о среднем значении дифференцируемой функции:

при

x-a=h\to 0

верно

f(x)=f(a+h)=f(a)+f'(a)\cdot h+O(h^{2})\approx f(a)+f'(a)\cdot h=f(a)+f'(a)\cdot (x-a)

.

При записи суммы использованы обозначение $f^{(0)}(x)=f(x)$ и соглашение о произведении по пустому множеству: $0!=1$ , $(x-a)^{0}=1$ .

2. Рядом Тейлора в точке $a$ функции $f(x)$ вещественной переменной $x$ , бесконечно дифференцируемой в окрестности точки $a$ , называется формальный степенной ряд

f(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}=\sum _{n=0}^{+\infty }\varphi _{n}(x;a)

с общим членом

\varphi _{n}(x;a)={\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\cdot (x-a)^{n}

, зависящим от параметра

a

.

Другими словами, рядом Тейлора функции $f(x)$ в точке $a$ называется ряд разложения функции по положительным степеням двучлена $(x-a)$ :

f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\ldots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+\ldots \,

.^[3]

Как указано ниже в примерах, наличия бесконечной дифференцируемости функции $f(x)$ в окрестности точки $a$ не достаточно, чтобы ряд Тейлора сходился к самой функции где-либо, кроме самой точки $a$ .

3. Рядом Тейлора в точке $a$ функции $f(z)$ комплексной переменной $z$ , удовлетворяющей в некоторой окрестности $U\subseteq \mathbb {C}$ точки $a$ условиям Коши — Римана, называется степенной ряд

f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(z-a)^{n}

.

В отличие от вещественного случая, из условий следует, что найдётся такое значение радиуса $R>0$ , что в $D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\}\subseteq U$ ряд сходится к функции $f(z)$ .

4. В случае $a=0$ ряд

f(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}

называется рядом Маклорена.

Аналитическая функция

1. Функция $f(x)$ вещественной переменной $x$ называется аналитической в точке $x=a$ , если существуют такой радиус $R>0$ и такие коэффициенты $c_{k}=c_{k}(a)=c_{k}(a;f)\,$ , $k=0,1,2,\dots \,$ , что $f(x)$ может быть представлена в виде сходящегося на интервале $(a-R;a+R)$ степенного ряда: $\sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{c_{k}}{{(x-a)}^{k}}}\,$ , то есть $\forall x\in (a-R;a+R)$ $\Rightarrow$ $\lim _{n\to +\infty }\,\sum \limits _{k=0}^{n}{{c_{k}}{{(x-a)}^{k}}}=f(x)$ .

Функция называется аналитической на промежутке (на множестве), если она является аналитической в каждой точке этого промежутка (множества).

2. Степенной ряд $\sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{c_{k}}{{(z-a)}^{k}}}$ на любом компактном подмножестве $K$ области сходимости $D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\}$ допускает почленное дифференцирование любое количество раз.

Если в $k$ -ю производную функции $\sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{c_{k}}{{(z-a)}^{k}}}$ подставить $z=a$ , то получится ${c_{k}}\cdot k!$ .

Таким образом, для аналитической в точке $a$ функции $f(z)$ для некоторого $R>0$ всюду в $D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\}$ является верным представление $f(z)=\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(z-a)^{k}$ .

Следствие. Функция $f(x)$ вещественной переменной $x$ является аналитической в точке $a$ тогда и только тогда, когда она равна своему ряду Тейлора с параметром $a$ на некотором открытом интервале, содержащем точку $a$ .

3. Вопрос: будет ли для произвольной бесконечно дифференцируемой в точке $a$ функции $f(x)$ вещественного переменного $x$ её ряд Тейлора $\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}$ сходиться к $f(x)$ всюду на каком-нибудь интервале $(a-R;a+R)$ , то есть представима ли $f(x)$ этим рядом?

Ответ: нет. Существуют бесконечно дифференцируемые функции вещественной переменной, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности $a$ .

Примеры. Функции вещественной переменной $f_{2}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{array}}\right.\,$ , $f_{+}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{x}}}},&x>0\\0,&x\leq 0\end{array}}\right.\,$ , $f_{\rm {v}}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{|x|}}}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{array}}\right.\,$ являются бесконечно дифференцируемыми в точке $x=0$ , причём все эти производные равны нулю.

Следовательно, ряды Тейлора всех этих функций с параметром $a=0$ тождественно равны нулю. Однако, для любого $R>0$ в окрестности $(-R;+R)$ точки $a=0$ найдутся точки, в которых функции отличны от $0$ . Таким образом, эти функции не являются в точке $a=0$ аналитическими.

Доказательство

Доказательство проведём для функции $f(x)=f_{2}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{array}}\right.\,$ , предложенной Огюстеном Луи Коши.

Функция $\exp \left(-{\frac {1}{z^{2}}}\right)$ , является аналитической функцией комплексной переменной для всех $z\in {\overline {\mathbb {C} }}\setminus \{0\}$ .

Для $z\neq 0$ очевидно, что ${\frac {d}{dz}}\exp \left(-{\frac {1}{z^{2}}}\right)=\exp \left(-{\frac {1}{z^{2}}}\right)\cdot \left({\frac {2}{z^{3}}}\right)$ .

Функция $f(x)$ для $x\in \mathbb {R}$ — это «исправленная» функция $\exp \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)$ , $x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$ , дополненная пределами слева $\lim _{x\to 0,x<0}\exp \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)=0$ и справа $\lim _{x\to 0,x>0}\exp \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)=0$ в точке $x=0$ .

Найдём производную функции $f(x)$ в точке $x=0$ . По определению: $f'(0)=\lim _{\Delta x\to 0,\Delta x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}}=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {f(h)-0}{h}}={\frac {0}{0}}=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {f'(h)}{h'}}=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {2f(h)}{{h}^{3}}}$ .

Поскольку для $x\in (0;1)$ выполняется $0<e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}<e^{-{\frac {1}{x}}}$ , то докажем, что для произвольного $\alpha >0$ верно $\lim _{x\to 0,x>0}{\frac {e^{-{\frac {1}{x}}}}{x^{\alpha }}}=0$ .

Применение правила Лопиталя непосредственно к частям

\lim _{x\to 0,x>0}e^{-{\frac {1}{x}}}=\lim _{x\to 0,x>0}x^{\alpha }=0

не приводит к результату.

Выполним замену переменной: ${\frac {1}{x}}=t$ :

$\lim _{x\to 0,x>0}{\frac {e^{-{\frac {1}{x}}}}{x^{\alpha }}}=\lim _{t\to +\infty }{\frac {t^{\alpha }}{e^{t}}}={\frac {+\infty }{+\infty }}=\lim _{t\to +\infty }{\frac {\alpha t^{\alpha -1}}{e^{t}}}$ .

Пусть $k=\lceil \alpha \rceil$ . Применяя правило Лопиталя $k$ раз, в числителе получим либо (при $\alpha =k$ ) константу $k!$ , либо (при $\alpha <k$ ) бесконечно малую $\alpha (\alpha -1)\ldots (\alpha -k+1)t^{\alpha -k}$ :

\lim _{t\to +\infty }{\frac {t^{\alpha }}{e^{t}}}={\frac {+\infty }{+\infty }}=\ldots =\lim _{t\to +\infty }{\frac {\alpha (\alpha -1)\ldots (\alpha -k+1)t^{\alpha -k}}{e^{t}}}=0

.

Таким образом,

f'(0)=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {2f(h)}{{h}^{3}}}=0

.

Найдём (для $x\neq 0$ ) несколько начальных производных функции $f(x)$ :

f'(x)={\frac {2f(x)}{x^{3}}}

f''(x)=\left({\frac {2f(x)}{x^{3}}}\right)'=2\left({f'(x){\frac {1}{x^{3}}}+f(x)\left({\frac {1}{x^{3}}}\right)'}\right)=2\left({{\frac {2f(x)}{x^{3}}}{\frac {1}{x^{3}}}+f(x)\left({\frac {1}{x^{3}}}\right)'}\right)=2f(x)\left({{\frac {2}{x^{6}}}-{\frac {3}{x^{4}}}}\right)

f'''(x)=\left({2f(x)\left({{\frac {2}{x^{6}}}-{\frac {3}{x^{4}}}}\right)}\right)'=4f(x)\left({{\frac {2}{x^{9}}}-{\frac {3}{x^{7}}}+{\frac {6}{x^{5}}}-{\frac {6}{x^{7}}}}\right)

И так далее. Во всех случаях, очевидно, получается произведение $f(x)$ на сумму целых отрицательных степеней $x$ . Конечная сумма бесконечно малых является бесконечно малой. Таким образом, $\lim _{x\to 0,x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}f^{(k)}(x)=0$ .

Вычисляя последовательно по определению (как выше) производные $f(x)$ в точке $x=0$ , обнаруживаем, что все производные в точке $x=0$ равны нулю.

Примером гладкой функции, не являющейся аналитической ни в одной точке своей области определения, служит функция Фабиуса.

Область сходимости ряда Тейлора

Ряд Тейлора, являясь степенным рядом, имеет в качестве области сходимости круг (с центром в точке $a$ ) для случая комплексной переменной и интервал (с центром в точке $a$ ) — для случая вещественной переменной.

1. Например, функция $f(x)={\frac {1}{1-x}}$ может быть разложена в ряд Тейлора следующим образом: ${\frac {1}{1-x}}=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{x^{k}}$ (это известная формула суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии). Однако если функция ${\frac {1}{1-x}}$ определена для всех действительных чисел, кроме точки $x=1$ , то ряд $\sum \limits _{k=0}^{\infty }{x^{k}}$ сходится только при условии $|x|<1$ .

2. Радиус сходимости ряда Тейлора можно определить, например, по формуле Даламбера:

R=\lim _{k\to \infty }\left|{\dfrac {\dfrac {{f^{(k)}}(a)}{k!}}{\dfrac {{f^{(k+1)}}(a)}{(k+1)!}}}\right|=\lim _{k\to \infty }\left|{{\frac {{f^{(k)}}(a)}{{f^{(k+1)}}(a)}}(k+1)}\right|

.

3. Рассмотрим для примера экспоненциальную функцию $e^{x}$ . Поскольку любая производная экспоненциальной функции равна самой функции в любой точке, то радиус сходимости экспоненциальной функции равен $R=\lim _{k\to \infty }\left|{{\frac {e^{a}}{e^{a}}}(k+1)}\right|=\lim _{k\to \infty }(k+1)=\infty$ . Значит, ряд Тейлора экспоненциальной функции сходится на всей оси $x$ для любого параметра $a$ .

4. От параметра — точки разложения $a$ ряда Тейлора — зависит область его сходимости.

Например, разложим в общем случае (для произвольного $a$ ) в ряд Тейлора функцию $f(x)={\frac {1}{1-x}}$ : $f(x)={\frac {1}{1-x}}={\frac {1}{1-a}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{{\left({\frac {x-a}{1-a}}\right)}^{k}}$ .

Можно доказать с помощью формулы суммы геометрической прогрессии, что данный ряд, как функция аргумента $x$ , при любых значениях $a$ (кроме $a=1$ ) имеет один и тот же вид.

Действительно,

{\frac {1}{1-a}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{{\left({\frac {x-a}{1-a}}\right)}^{k}}={\frac {1}{1-a}}\cdot {\frac {1}{1-\left({\dfrac {x-a}{1-a}}\right)}}={\frac {1}{1-x}}

.

Область сходимости ряда может быть задана неравенством $\left|{\frac {x-a}{1-a}}\right|<1$ . И теперь эта область зависит от $a$ . Например, для $a=0$ ряд сходится при $x\in (-1;1)$ . Для $a=0{,}5$ ряд сходится при $x\in (0;1)$ .

Формула Тейлора

Предположим, что функция $f(x)$ имеет все производные до $n+1$ -го порядка включительно в некотором промежутке, содержащем точку $x=a$ . Найдем многочлен ${P_{n}}(x)$ степени не выше $n$ , значение которого в точке $x=a$ равняется значению функции $f(x)$ в этой точке, а значения его производных до $n$ -го порядка включительно в точке $x=a$ равняются значениям соответствующих производных от функции $f(x)$ в этой точке.

Достаточно легко доказать, что такой многочлен имеет вид ${P_{n}}(x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{{\frac {{f^{(k)}}(a)}{k!}}{{(x-a)}^{k}}}$ , то есть это $n$ -я частичная сумма ряда Тейлора функции $f(x)$ . Разница между функцией $f(x)$ и многочленом ${P_{n}}(x)$ называется остаточным членом и обозначается ${R_{n}}(x)=f(x)-{P_{n}}(x)$ . Формула $f(x)={P_{n}}(x)+{R_{n}}(x)$ называется формулой Тейлора^[4]. Остаточный член дифференцируем $n+1$ раз в рассматриваемой окрестности точки $a$ . Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема:

Если функция $f(x)$ имеет $n+1$ производную на отрезке с концами $a$ и $x$ , то для произвольного положительного числа $p$ найдётся точка $\xi$ , лежащая между $a$ и $x$ , такая, что

f(x)=\sum _{k=0}^{n}{f^{(k)}(a) \over k!}(x-a)^{k}+\left({x-a \over x-\xi }\right)^{p}{(x-\xi )^{n+1} \over n!p}f^{(n+1)}(\xi ).

Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).

Различные формы остаточного члена

В форме Лагранжа:

R_{n}(x)={(x-a)^{n+1} \over (n+1)!}f^{(n+1)}[a+\theta (x-a)]\qquad p=n+1;\qquad 0<\theta <1

В форме Коши:

R_{n}(x)={(x-a)^{n+1}(1-\theta )^{n} \over n!}f^{(n+1)}[a+\theta (x-a)]\qquad p=1;\qquad 0<\theta <1

В интегральной форме:

R_{n}(x)={1 \over n!}\int \limits _{a}^{x}(x-t)^{n}f^{(n+1)}(t)\,dt

Вывод

Методом интегрирования по частям получим

{\begin{array}{l}{R_{n}}(x)={\frac {1}{n!}}\int \limits _{a}^{x}{{{(x-t)}^{n}}{f^{(n+1)}}(t)dt}={\frac {1}{n!}}\int \limits _{a}^{x}{{{(x-t)}^{n}}d{f^{(n)}}(t)}={\frac {1}{n!}}\left.{\left({{{(x-t)}^{n}}{f^{(n)}}(t)}\right)}\right|_{a}^{x}-{\frac {1}{n!}}\int \limits _{a}^{x}{{f^{(n)}}(t)d}{(x-t)^{n}}=\\={\frac {1}{(n-1)!}}\int \limits _{a}^{x}{{{(x-t)}^{n-1}}{f^{(n)}}(t)d}t-{\frac {{{(x-a)}^{n}}{f^{(n)}}(a)}{n!}}=...=\int \limits _{a}^{x}{f'(t)d}t-\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {{f^{(k)}}(a){{(x-a)}^{k}}}{k!}}=f(x)-\sum \limits _{k=0}^{n}{\frac {{f^{(k)}}(a){{(x-a)}^{k}}}{k!}}\end{array}}

откуда

f(x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\frac {{f^{(k)}}(a){{(x-a)}^{k}}}{k!}}+{R_{n}}(x)

Ослабим предположения:

Пусть функция $f(x)$ имеет $n-1$ производную в некоторой окрестности точки $a$ и $n$ -ю производную в самой точке $a$ , тогда:

В асимптотической форме (форме Пеано, локальной форме):

R_{n}(x)=o[(x-a)^{n}]

Вывод

Поскольку

{R_{n}}(a)={R_{n}}(a)'={R_{n}}(a)''=...={R_{n}}{(a)^{(n)}}=0

, то предел отношения

{\frac {{R_{n}}(x)}{{(x-a)}^{n}}}

при

x

, стремящемся к

a

, может быть найден по правилу Лопиталя:

\lim _{x\to a}{\frac {{R_{n}}(x)}{{(x-a)}^{n}}}=\lim _{x\to a}{\frac {{R_{n}}(x)'}{\left({{(x-a)}^{n}}\right)'}}=\lim _{x\to a}{\frac {{R_{n}}(x)''}{\left({{(x-a)}^{n}}\right)''}}=...=\lim _{x\to a}{\frac {{R_{n}}{{(x)}^{(n)}}}{{\left({{(x-a)}^{n}}\right)}^{(n)}}}={\frac {{R_{n}}{{(a)}^{(n)}}}{n!}}=0

Поскольку исходный предел равен нулю, это значит, что остаточный член

R_{n}(x)

является бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем

(x-a)^{n}

, при

x\to a

. А это и есть определение о-малого.

Критерий аналитичности функции

Предположим, что некоторую функцию $f(x)$ нужно разложить в ряд Тейлора в некоторой точке $x=a$ . Для этого предварительно нужно убедиться, что функция является аналитической (то есть буквально разложимой) в этой точке. В противном случае получится не разложение функции в ряд Тейлора, а просто ряд Тейлора, который не равен своей функции. Причем, как можно убедиться на примере функции Коши, и функция может быть сколько угодно раз дифференцируемой в точке $a$ , и её ряд Тейлора с параметром $a$ может быть сходящимся, но при этом ряд Тейлора может быть не равен своей функции.

Во-первых, необходимым условием аналитичности функции является сходимость ряда Тейлора в некоторой непрерывной области. Действительно, если ряд Тейлора сходится всего в одной точке, то это точка $x=a$ , потому что в ней ряд Тейлора сходится всегда. Но тогда ряд Тейлора равен функции $f(x)$ только в этой единственной точке, а значит, данная функция не будет аналитической.

Во-вторых, по формуле Тейлора в ряд Тейлора с остаточным членом может быть разложена любая (а не только аналитическая) функция, бесконечно дифференцируемая в окрестности, содержащей точку $a$ . Пусть ряд Тейлора с параметром $a$ такой функции сходится в этой окрестности. Если существует предел каждой из двух последовательностей, то предел суммы этих последовательностей равен сумме их пределов. Тогда для всех $x$ из окрестности $a$ по формуле Тейлора можно записать $\lim _{n\to \infty }R_{n}(x)=\lim _{n\to \infty }(f(x)-P_{n}(x))=f(x)-\lim _{n\to \infty }P_{n}(x)$ , где $\lim _{n\to \infty }P_{n}(x)$ — ряд Тейлора.

Очевидно, что функция $f(x)$ является аналитической в точке $a$ тогда и только тогда, если в указанной окрестности точки $a$ существует непрерывная область $X$ такая, что для всех $x\in X$ остаточный член её разложения по формуле Тейлора стремится к нулю с ростом $n$ : $\lim _{n\to \infty }R_{n}(x)=0$ .

В качестве примера рассмотрим экспоненциальную функцию $e^{x}$ . Её ряд Тейлора сходится на всей оси $x$ для любых параметров $a$ . Докажем теперь, что эта функция является аналитической во всех точках $a$ .

Остаточный член разложения этой функции в форме Лагранжа имеет вид ${R_{n}}(x)={\frac {{(x-a)}^{n+1}}{(n+1)!}}{e^{\xi _{n}}}$ , где $\xi _{n}$ — некоторое число, заключенное между $x$ и $a$ (не произвольное, но и не известное). Тогда, очевидно,

\lim _{n\to \infty }{R_{n}}(x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {{(x-a)}^{n+1}}{(n+1)!}}{e^{\xi _{n}}}\leq M\cdot \lim _{n\to \infty }{\frac {{(x-a)}^{n+1}}{(n+1)!}}=0

Здесь используется, что на фиксированном промежутке экспонента ограничена некоторым числом $M$

Причем, как видно, предел остаточного члена равен нулю для любых $x$ и $a$ .

Ряды Маклорена некоторых функций

Экспонента: $\displaystyle \mathrm {e} ^{x}=1+{\dfrac {x}{1!}}+{\dfrac {x^{2}}{2!}}+{\dfrac {x^{3}}{3!}}+\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {x^{n}}{n!}},x\in \mathbb {C} .$
Натуральный логарифм («ряд Меркатора»): $\displaystyle \ln(1+x)=x-{\dfrac {x^{2}}{2}}+{\dfrac {x^{3}}{3}}-\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}x^{n+1}}{(n+1)}}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n-1}x^{n}}{n}}$ для всех $-1<x\leq 1.$
Биномиальное разложение: $\displaystyle (1+x)^{\alpha }=1+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n},$ $\displaystyle (1+x)^{\alpha }=1+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n},$ для всех $\left|x\right|<1$ $\left|x\right|<1$ и всех комплексных $\alpha ,$ $\alpha ,$ где $\displaystyle {\binom {\alpha }{n}}=\prod \limits _{k=1}^{n}{\dfrac {\alpha -k+1}{k}}={\dfrac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}$ $\displaystyle {\binom {\alpha }{n}}=\prod \limits _{k=1}^{n}{\dfrac {\alpha -k+1}{k}}={\dfrac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}$ — обобщённые биномиальные коэффициенты.
- Квадратный корень^[6]: $\displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+{\tfrac {1}{2}}x-{\tfrac {1\cdot 1}{2\cdot 4}}x^{2}+{\tfrac {1\cdot 1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}}x^{3}-{\tfrac {1\cdot 1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}}x^{4}+{\tfrac {1\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot 10}}x^{5}-\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n+1}(2n)!}{2^{2n}(2n-1)(n!)^{2}}}x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}(2n+1)!!}{(2n)!!(2n+1)(2n-1)}}x^{n}$ для всех $|x|\leq 1.$
- Обратный квадратный корень^[6]: $\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+x}}}=1-{\tfrac {1}{2}}x+{\tfrac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}x^{2}-{\tfrac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}x^{3}+{\tfrac {1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}}x^{4}-{\tfrac {1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot 10}}x^{5}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n+1)!!}{(2n)!!(2n+1)}}x^{n}$ для всех $-1<x\leq 1.$
- Геометрические ряды^[англ.]^*:
  - ${\dfrac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }x^{n}$ для всех $|x|<1.$
  - ${\dfrac {1}{(1-x)^{2}}}=1+2x+3x^{2}+4x^{3}+\cdots =\sum \limits _{n=1}^{\infty }nx^{n-1}$ для всех $|x|<1.$
  - ${\dfrac {1}{(1-x)^{3}}}=1+3x+6x^{2}+10x^{3}+\cdots =\sum \limits _{n=2}^{\infty }{\frac {(n-1)n}{2}}x^{n-2}$ для всех $|x|<1.$
  - Конечный геометрический ряд: $\displaystyle {\dfrac {1-x^{m+1}}{1-x}}=\sum \limits _{n=0}^{m}x^{n}$ для всех $x\not =1,\ m\in \mathbb {N} _{0}.$
Тригонометрические функции^[6]^[7]:
- Синус: $\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}},\quad x\in \mathbb {C} .$
- Косинус: $\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)^{n}}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}},\quad x\in \mathbb {C} .$
- Тангенс: $\displaystyle \operatorname {tg} \ x=x+{\tfrac {1}{3}}x^{3}+{\tfrac {2}{15}}x^{5}+{\tfrac {17}{315}}x^{7}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}$ для всех $\left|x\right|<{\dfrac {\pi }{2}},$ где $B_{2n}$ — числа Бернулли.
- Котангенс: $\displaystyle \operatorname {ctg} \ x=x^{-1}-{\tfrac {1}{3}}x-{\tfrac {1}{45}}x^{3}-{\tfrac {2}{945}}x^{5}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}$ для всех $0<|x|<\pi ,$ где $B_{2n}$ — числа Бернулли.
- Секанс: $\displaystyle \sec x=1+{\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {5}{24}}x^{4}+{\tfrac {61}{720}}x^{6}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}$ для всех $\left|x\right|<{\dfrac {\pi }{2}},$ где $E_{2n}$ — числа Эйлера.
- Косеканс: $\displaystyle \operatorname {cosec} x=x^{-1}+{\tfrac {1}{6}}x+{\tfrac {7}{360}}x^{3}+{\tfrac {31}{15120}}x^{5}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}2\left(2^{2n-1}-1\right)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}$ для всех $0<|x|<\pi ,$ где $B_{2n}$ — числа Бернулли.
Обратные тригонометрические функции^[6]^[8]:
- Арксинус: $\arcsin x=x+{\tfrac {1}{2\cdot 3}}x^{3}+{\tfrac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5}}x^{5}+{\tfrac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7}}x^{7}+\cdots \ =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n+1)!!}{(2n)!!}}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}$ для всех $\left|x\right|\leq 1$ ^[9].
- Арккосинус: $\arccos x={\pi \over 2}-\arcsin x={\pi \over 2}-x-{\tfrac {1}{2\cdot 3}}x^{3}-{\tfrac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5}}x^{5}-{\tfrac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7}}x^{7}-\cdots ={\pi \over 2}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n+1)!!}{(2n)!!}}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)^{2}}}={\pi \over 2}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}$ для всех $\left|x\right|\leq 1.$
- Арктангенс: $\operatorname {arctg} x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \ =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}x^{2n-1}$ для всех $\left|x\right|\leq 1.$
- Арккотангенс: $\operatorname {arcctg} x={\pi \over 2}-\operatorname {arctg} x={\pi \over 2}-x+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}-\cdots ={\pi \over 2}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}x^{2n-1}$ для всех $\left|x\right|\leq 1.$
Гиперболические функции^[6]^[10]:
- Гиперболический синус: $\operatorname {sh} x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}},\quad x\in \mathbb {C} .$
- Гиперболический косинус: $\operatorname {ch} x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}},\quad x\in \mathbb {C} .$
- Гиперболический тангенс: $\operatorname {th} x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}$ для всех $\left|x\right|<{\dfrac {\pi }{2}}.$
- Гиперболический котангенс: $\operatorname {cth} x=x^{-1}+{\tfrac {1}{3}}x-{\tfrac {1}{45}}x^{3}+{\tfrac {2}{945}}x^{5}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}$ для всех $0<|x|<\pi .$
- Гиперболический секанс: $\operatorname {sech} x=1-{\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {5}{24}}x^{4}-{\tfrac {61}{720}}x^{6}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}$ для всех $\left|x\right|<{\dfrac {\pi }{2}}.$
- Гиперболический косеканс: $\operatorname {cosech} x=x^{-1}-{\tfrac {1}{6}}x+{\tfrac {7}{360}}x^{3}-{\tfrac {31}{15120}}x^{5}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}$ для всех $0<|x|<\pi .$
Обратные гиперболические функции^[6]^[11]:
- Гиперболический арксинус: $\operatorname {arsh} x=x-{\tfrac {1}{2\cdot 3}}x^{3}+{\tfrac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5}}x^{5}-{\tfrac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7}}x^{7}+\cdots \ =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n+1)!!}{(2n)!!}}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}$ для всех $\left|x\right|\leq 1.$
- Гиперболический арктангенс: $\operatorname {arth} x=x+{\tfrac {1}{3}}x^{3}+{\tfrac {1}{5}}x^{5}+{\tfrac {1}{7}}x^{7}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}$ для всех $\left|x\right|<1.$
W-функция Ламберта: $W_{0}(x)=x-x^{2}+{\dfrac {3x^{3}}{2}}-{\dfrac {8x^{4}}{3}}+{\dfrac {125x^{5}}{24}}-\cdots =\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\dfrac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n},|x|\leq 1/e.$

Формула Тейлора для функции двух переменных

Пусть функция $f(x,y)$ имеет непрерывные производные до $(n+1)$ -го порядка включительно в некоторой окрестности точки $(x_{0},y_{0})$ . Введём дифференциальный оператор

\mathrm {T} =(x-x_{0}){\dfrac {\partial }{\partial x}}+(y-y_{0}){\dfrac {\partial }{\partial y}}

.

Тогда разложение (формула Тейлора) функции $f(x,y)$ по степеням $(x-x_{0})^{p}(y-y_{0})^{q}$ для $p+q\leq n$ в окрестности точки $(x_{0},y_{0})$ будет иметь вид

f(x,y)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\dfrac {\mathrm {T} ^{k}f(x_{0},y_{0})}{k!}}+R_{n}(x,y),

где $R_{n}(x,y)$ — остаточный член в форме Лагранжа:

R_{n}(x,y)={\dfrac {\mathrm {T} ^{(n+1)}f(\xi ,\zeta )}{(n+1)!}},\ \xi \in [x_{0},x],\ \zeta \in [y_{0},y]

Следует иметь в виду, что операторы ${\dfrac {\partial }{\partial x}}$ и ${\dfrac {\partial }{\partial y}}$ в $\mathrm {T} ^{k}$ действуют только на функцию $f(x,y)$ , но не на $(x-x_{0})$ и/или $(y-y_{0})$ .

Аналогичным образом формула строится для функций любого числа переменных, меняется только число слагаемых в операторе $\mathrm {T}$ .

В случае функции одной переменной $\mathrm {T} =(x-x_{0}){\dfrac {d}{dx}}\,$ .

Формула Тейлора многих переменных

Для получения формулы Тейлора функции $n$ переменных $f(x_{1},x_{2},...x_{n})$ , которая в некоторой окрестности точки $(a_{1},a_{2},...,a_{n})$ имеет непрерывные производные до $(m+1)$ -го порядка включительно, введём дифференциальный оператор

\mathrm {T} =(x_{1}-a_{1}){\dfrac {\partial }{\partial x_{1}}}+(x_{2}-a_{2}){\dfrac {\partial }{\partial x_{2}}}+...+(x_{n}-a_{n}){\dfrac {\partial }{\partial x_{n}}}.

Тогда разложение (формула Тейлора) функции по степеням $(x_{i}-a_{i})^{k_{i}}$ в окрестности точки $(a_{1},a_{2},...,a_{n})$ имеет вид

f(x_{1},x_{2},...x_{n})=\sum \limits _{k=0}^{m}{\dfrac {\mathrm {T} ^{k}f(a_{1},a_{2},...,a_{n})}{k!}}+R_{m}(x_{1},x_{2},...x_{n}),

где $R_{m}(x_{1},x_{2},...x_{n})$ — остаточный член порядка $(m+1)$ .

Для функции $n$ переменных, бесконечно дифференцируемой в некоторой окрестности точки $(a_{1},a_{2},...,a_{n})$ , ряд Тейлора имеет вид:

$f(x_{1},x_{2},...x_{n})=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\sum \limits _{i_{1}=1}^{n}\sum \limits _{i_{2}=1}^{n}...\sum \limits _{i_{k}=1}^{n}{\frac {\partial ^{k}f(a_{1},a_{2},...,a_{n})}{\partial x_{i_{1}}\partial x_{i_{2}}...\partial x_{i_{k}}}}(x_{i_{1}}-a_{1})(x_{i_{2}}-a_{2})...(x_{i_{n}}-a_{n})$ .

В другой форме ряд Тейлора можно записать таким образом:

$f(x_{1},x_{2},...x_{n})=\sum \limits _{k=0}^{\infty }\overbrace {\sum \limits _{k_{1}=0}\sum \limits _{k_{2}=0}...\sum \limits _{k_{n}=0}} ^{k_{1}+k_{2}+...+k_{n}=k}{\dfrac {1}{k_{1}!k_{2}!...k_{n}!}}{\dfrac {\partial ^{k}f(a_{1},a_{2},...,a_{n})}{\partial x_{1}^{k_{1}}\partial x_{2}^{k_{2}}...\partial x_{n}^{k_{n}}}}(x_{1}-a_{1})^{k_{1}}(x_{2}-a_{2})^{k_{2}}...(x_{n}-a_{n})^{k_{n}}$

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]