Симметризация Штайнера
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1c/Steiner_Symmetrization.jpg/220px-Steiner_Symmetrization.jpg)
Симметризация Штайнера — построение определённого типа, сопоставляющее произвольной фигуре фигуру с зеркальной симметрией. Это построение применяется при решении изопериметрической задачи, предложенном Якобом Штайнером в 1838.
На основе симметризации Штайнера были построены и другие симметризации, которые используются в схожих задачах.
Определение
[править | править код]Пусть есть гиперплоскость и — данная фигура в .
Введём ортогональную систему координат, в которой описывается уравнением . Для каждой точки пусть обозначает длину пересечения перпендикуляра, проведённого к через , с множеством . Далее проведём через отрезок длины с серединой в , перпендикулярный к . Объединение таких отрезков есть симметризация Штайнера относительно .
Свойства
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3b/%D0%A1%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B9_%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B2_%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B8_%D0%A8%D1%82%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D0%B5%D1%80%D0%B0.svg/220px-%D0%A1%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B9_%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B2_%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B8_%D0%A8%D1%82%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D0%B5%D1%80%D0%B0.svg.png)
- Объём совпадает с объёмом .
- Площадь поверхности не превосходит площади поверхности .
- Если выпуклое тело, то равенство площадей поверхностей и достигается только в случае, если зеркально симметрична относительно гиперплоскости, параллельной плоскости симметризации.
- В общем случае равенство может достигаться не только для зеркально симметричных , например, равенство достигается для плоских фигур, составленных из двух прямоугольников с основаниями, параллельными прямой симметризации.
- Если выпукла, то же верно и для .
- Симметризация Штайнера не увеличивает расстояние по Хаусдорфу между фигурами, то есть
- где и — произвольные фигуры, и — их симметризации относительно одной и той же гиперплоскости, а — метрика Хаусдорфа.
- Если , то .
Вариации и обобщения
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fd/Circular_symmetrization.png/220px-Circular_symmetrization.png)
- Симметризация Пойа (круговая).
- Осевая симметризация — аналогична симметризации Штайнера, но даёт фигуру, инвариантную относительно поворотов вокруг данной прямой.
Литература
[править | править код]- Бляшке. Круг и шар. — М.: Наука, 1967.