Список интегралов от рациональных функций Ниже приведён список интегралов (первообразных функций) от рациональных функций. ∫ ( a x + b ) n d x = { ( a x + b ) n + 1 a ( n + 1 ) , n ≠ − 1 1 a ln | a x + b | , n = − 1 {\displaystyle \int (ax+b)^{n}dx={\begin{cases}{\frac {(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}},&n\neq -1\\{\frac {1}{a}}\ln \left|ax+b\right|,&n=-1\end{cases}}} ∫ x ( a x + b ) n d x = { a ( n + 1 ) x − b a 2 ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( a x + b ) n + 1 , n ∉ { − 1 , − 2 } x a − b a 2 ln | a x + b | , n = − 1 b a 2 ( a x + b ) + 1 a 2 ln | a x + b | , n = − 2 {\displaystyle \int x(ax+b)^{n}dx={\begin{cases}{\frac {a(n+1)x-b}{a^{2}(n+1)(n+2)}}(ax+b)^{n+1},&n\not \in \{-1,-2\}\\{\frac {x}{a}}-{\frac {b}{a^{2}}}\ln \left|ax+b\right|,&n=-1\\{\frac {b}{a^{2}(ax+b)}}+{\frac {1}{a^{2}}}\ln \left|ax+b\right|,&n=-2\end{cases}}} ∫ x ( a x + b ) n d x = a ( 1 − n ) x − b a 2 ( n − 1 ) ( n − 2 ) ( a x + b ) n − 1 , n ∉ { 1 , 2 } {\displaystyle \int {\frac {x}{(ax+b)^{n}}}dx={\frac {a(1-n)x-b}{a^{2}(n-1)(n-2)(ax+b)^{n-1}}},\quad n\not \in \{1,2\}} ∫ d x x 2 n + 1 = ∑ k = 1 2 n − 1 { 1 2 n − 1 [ sin ( ( 2 k − 1 ) π 2 n ) arctg [ ( x − cos ( ( 2 k − 1 ) π 2 n ) ) cosec ( ( 2 k − 1 ) π 2 n ) ] ] − {\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2^{n}}+1}}=\sum _{k=1}^{2^{n-1}}\left\{{\frac {1}{2^{n-1}}}\left[\sin \left({\frac {(2k-1)\pi }{2^{n}}}\right)\operatorname {arctg} \left[\left(x-\cos \left({\frac {(2k-1)\pi }{2^{n}}}\right)\right)\operatorname {cosec} \left({\frac {(2k-1)\pi }{2^{n}}}\right)\right]\right]-\right.} − 1 2 n [ cos ( ( 2 k − 1 ) π 2 n ) ln | x 2 − 2 x cos ( ( 2 k − 1 ) π 2 n ) + 1 | ] } + C {\displaystyle \quad \left.-\,{\frac {1}{2^{n}}}\left[\cos \left({\frac {(2k-1)\pi }{2^{n}}}\right)\ln \left|x^{2}-2x\cos \left({\frac {(2k-1)\pi }{2^{n}}}\right)+1\right|\right]\right\}+C} ∫ x 2 a x + b d x = 1 a 3 ( ( a x + b ) 2 2 − 2 b ( a x + b ) + b 2 ln | a x + b | ) {\displaystyle \int {\frac {x^{2}}{ax+b}}dx={\frac {1}{a^{3}}}\left({\frac {(ax+b)^{2}}{2}}-2b(ax+b)+b^{2}\ln \left|ax+b\right|\right)} ∫ x 2 ( a x + b ) 2 d x = 1 a 3 ( a x + b − 2 b ln | a x + b | − b 2 a x + b ) {\displaystyle \int {\frac {x^{2}}{(ax+b)^{2}}}dx={\frac {1}{a^{3}}}\left(ax+b-2b\ln \left|ax+b\right|-{\frac {b^{2}}{ax+b}}\right)} ∫ x 2 ( a x + b ) 3 d x = 1 a 3 ( ln | a x + b | + 2 b a x + b − b 2 2 ( a x + b ) 2 ) {\displaystyle \int {\frac {x^{2}}{(ax+b)^{3}}}dx={\frac {1}{a^{3}}}\left(\ln \left|ax+b\right|+{\frac {2b}{ax+b}}-{\frac {b^{2}}{2(ax+b)^{2}}}\right)} ∫ x 2 ( a x + b ) n d x = 1 a 3 ( − 1 ( n − 3 ) ( a x + b ) n − 3 + 2 b ( n − 2 ) ( a x + b ) n − 2 − b 2 ( n − 1 ) ( a x + b ) n − 1 ) , {\displaystyle \int {\frac {x^{2}}{(ax+b)^{n}}}dx={\frac {1}{a^{3}}}\left(-{\frac {1}{(n-3)(ax+b)^{n-3}}}+{\frac {2b}{(n-2)(ax+b)^{n-2}}}-{\frac {b^{2}}{(n-1)(ax+b)^{n-1}}}\right),} для n ∉ { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle n\not \in \{1,2,3\}} ∫ d x x ( a x + b ) = − 1 b ln | a x + b x | {\displaystyle \int {\frac {dx}{x(ax+b)}}=-{\frac {1}{b}}\ln \left|{\frac {ax+b}{x}}\right|} ∫ d x x 2 ( a x + b ) = − 1 b x + a b 2 ln | a x + b x | {\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}(ax+b)}}=-{\frac {1}{bx}}+{\frac {a}{b^{2}}}\ln \left|{\frac {ax+b}{x}}\right|} ∫ d x x 2 ( a x + b ) 2 = − a ( 1 b 2 ( a x + b ) + 1 a b 2 x − 2 b 3 ln | a x + b x | ) {\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}(ax+b)^{2}}}=-a\left({\frac {1}{b^{2}(ax+b)}}+{\frac {1}{ab^{2}x}}-{\frac {2}{b^{3}}}\ln \left|{\frac {ax+b}{x}}\right|\right)} ∫ d x a 2 x 2 + b 2 = 1 a b arctg a x b {\displaystyle \int {\frac {dx}{a^{2}x^{2}+b^{2}}}={\frac {1}{ab}}\operatorname {arctg} {\frac {ax}{b}}} ∫ d x ( x 2 + a 2 ) 2 = x 2 a 2 ( x 2 + a 2 ) + 1 2 a 3 arctg x a {\displaystyle \int {\frac {dx}{(x^{2}+a^{2})^{2}}}={\frac {x}{2a^{2}(x^{2}+a^{2})}}+{\frac {1}{2a^{3}}}\operatorname {arctg} {\frac {x}{a}}} ∫ d x ( x 2 + a 2 ) 3 = x 4 a 2 ( x 2 + a 2 ) 2 + 3 x 8 a 4 ( x 2 + a 2 ) + 3 8 a 5 arctg x a {\displaystyle \int {\frac {dx}{(x^{2}+a^{2})^{3}}}={\frac {x}{4a^{2}(x^{2}+a^{2})^{2}}}+{\frac {3x}{8a^{4}(x^{2}+a^{2})}}+{\frac {3}{8a^{5}}}\operatorname {arctg} {\frac {x}{a}}} ∫ d x x 2 − a 2 = − 1 a arth x a = 1 2 a ln a − x a + x , {\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}=-{\frac {1}{a}}\,\operatorname {arth} {\frac {x}{a}}={\frac {1}{2a}}\ln {\frac {a-x}{a+x}},} для | x | < | a | {\displaystyle |x|<|a|} ∫ d x x 2 − a 2 = − 1 a arcth x a = 1 2 a ln x − a x + a , {\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}=-{\frac {1}{a}}\,\operatorname {arcth} {\frac {x}{a}}={\frac {1}{2a}}\ln {\frac {x-a}{x+a}},} для | x | > | a | {\displaystyle |x|>|a|} ∫ d x a x 2 + b x + c = 2 4 a c − b 2 arctg 2 a x + b 4 a c − b 2 , {\displaystyle \int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}={\frac {2}{\sqrt {4ac-b^{2}}}}\operatorname {arctg} {\frac {2ax+b}{\sqrt {4ac-b^{2}}}},} для 4 a c − b 2 > 0 {\displaystyle 4ac-b^{2}>0} ∫ d x a x 2 + b x + c = − 2 b 2 − 4 a c arth 2 a x + b b 2 − 4 a c = 1 b 2 − 4 a c ln | 2 a x + b − b 2 − 4 a c 2 a x + b + b 2 − 4 a c | , {\displaystyle \int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}=-{\frac {2}{\sqrt {b^{2}-4ac}}}\,\operatorname {arth} {\frac {2ax+b}{\sqrt {b^{2}-4ac}}}={\frac {1}{\sqrt {b^{2}-4ac}}}\ln \left|{\frac {2ax+b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2ax+b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}}\right|,} для 4 a c − b 2 < 0 {\displaystyle 4ac-b^{2}<0} ∫ d x a x 2 + b x + c = − 2 2 a x + b (for 4 a c − b 2 = 0 ) {\displaystyle \int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}=-{\frac {2}{2ax+b}}\qquad {\mbox{(for }}4ac-b^{2}=0{\mbox{)}}} ∫ x a x 2 + b x + c d x = 1 2 a ln | a x 2 + b x + c | − b 2 a ∫ d x a x 2 + b x + c {\displaystyle \int {\frac {x}{ax^{2}+bx+c}}dx={\frac {1}{2a}}\ln \left|ax^{2}+bx+c\right|-{\frac {b}{2a}}\int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}} ∫ m x + n a x 2 + b x + c d x = m 2 a ln | a x 2 + b x + c | + 2 a n − b m a 4 a c − b 2 arctg 2 a x + b 4 a c − b 2 , {\displaystyle \int {\frac {mx+n}{ax^{2}+bx+c}}dx={\frac {m}{2a}}\ln \left|ax^{2}+bx+c\right|+{\frac {2an-bm}{a{\sqrt {4ac-b^{2}}}}}\operatorname {arctg} {\frac {2ax+b}{\sqrt {4ac-b^{2}}}},} для 4 a c − b 2 > 0 {\displaystyle 4ac-b^{2}>0} ∫ m x + n a x 2 + b x + c d x = m 2 a ln | a x 2 + b x + c | − 2 a n − b m a b 2 − 4 a c arth 2 a x + b b 2 − 4 a c , {\displaystyle \int {\frac {mx+n}{ax^{2}+bx+c}}dx={\frac {m}{2a}}\ln \left|ax^{2}+bx+c\right|-{\frac {2an-bm}{a{\sqrt {b^{2}-4ac}}}}\,\operatorname {arth} {\frac {2ax+b}{\sqrt {b^{2}-4ac}}},} для 4 a c − b 2 < 0 {\displaystyle 4ac-b^{2}<0} ∫ m x + n a x 2 + b x + c d x = m 2 a ln | a x 2 + b x + c | − 2 a n − b m a ( 2 a x + b ) , {\displaystyle \int {\frac {mx+n}{ax^{2}+bx+c}}dx={\frac {m}{2a}}\ln \left|ax^{2}+bx+c\right|-{\frac {2an-bm}{a(2ax+b)}},} для 4 a c − b 2 = 0 {\displaystyle 4ac-b^{2}=0} ∫ d x ( a x 2 + b x + c ) n = 2 a x + b ( n − 1 ) ( 4 a c − b 2 ) ( a x 2 + b x + c ) n − 1 + ( 2 n − 3 ) 2 a ( n − 1 ) ( 4 a c − b 2 ) ∫ d x ( a x 2 + b x + c ) n − 1 {\displaystyle \int {\frac {dx}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}}={\frac {2ax+b}{(n-1)(4ac-b^{2})(ax^{2}+bx+c)^{n-1}}}+{\frac {(2n-3)2a}{(n-1)(4ac-b^{2})}}\int {\frac {dx}{(ax^{2}+bx+c)^{n-1}}}} ∫ x ( a x 2 + b x + c ) n d x = b x + 2 c ( n − 1 ) ( 4 a c − b 2 ) ( a x 2 + b x + c ) n − 1 − b ( 2 n − 3 ) ( n − 1 ) ( 4 a c − b 2 ) ∫ d x ( a x 2 + b x + c ) n − 1 {\displaystyle \int {\frac {x}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}}dx={\frac {bx+2c}{(n-1)(4ac-b^{2})(ax^{2}+bx+c)^{n-1}}}-{\frac {b(2n-3)}{(n-1)(4ac-b^{2})}}\int {\frac {dx}{(ax^{2}+bx+c)^{n-1}}}} ∫ d x x ( a x 2 + b x + c ) = 1 2 c ln | x 2 a x 2 + b x + c | − b 2 c ∫ d x a x 2 + b x + c {\displaystyle \int {\frac {dx}{x(ax^{2}+bx+c)}}={\frac {1}{2c}}\ln \left|{\frac {x^{2}}{ax^{2}+bx+c}}\right|-{\frac {b}{2c}}\int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}} Библиография[править код] Книги Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (рус.). — 4-е изд. — М.: Наука, 1963. Двайт Г. Б. Таблицы интегралов (рус.). — СПб.: Издательство и типография АО ВНИИГ им. Б. В. Веденеева, 1995. — 176 с. — ISBN 5-85529-029-8. Zwillinger D. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae (англ.). — 31st ed. — 2002. — ISBN 1-58488-291-3. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган; пер. с англ. под ред. В. А. Диткина и Л. Н. Карамзиной. — М.: Наука, 1979. — 832 с. — 50 000 экз. Корн Г. А., Корн Т. М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974. — 832 с. Таблицы интегралов Интегралы на EqWorld S.O.S. Mathematics: Tables and Formulas Вычисление интегралов The Integrator (на Wolfram Research) Империя Чисел Методы вычисления неопределённых интегралов Списки интегралов по типам функций Элементарные рациональные иррациональные тригонометрические обратные гиперболические обратные экспоненциальные логарифмические функции
![{\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2^{n}}+1}}=\sum _{k=1}^{2^{n-1}}\left\{{\frac {1}{2^{n-1}}}\left[\sin \left({\frac {(2k-1)\pi }{2^{n}}}\right)\operatorname {arctg} \left[\left(x-\cos \left({\frac {(2k-1)\pi }{2^{n}}}\right)\right)\operatorname {cosec} \left({\frac {(2k-1)\pi }{2^{n}}}\right)\right]\right]-\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/916c4fa2e5c78fd84809bd7b36cb2753749d5916)
![{\displaystyle \quad \left.-\,{\frac {1}{2^{n}}}\left[\cos \left({\frac {(2k-1)\pi }{2^{n}}}\right)\ln \left|x^{2}-2x\cos \left({\frac {(2k-1)\pi }{2^{n}}}\right)+1\right|\right]\right\}+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5deae9573a4f239b1104c54818eb01d22dc67eed)
для 
для 
для 
для 
для 
для 
для 
для 
