Теорема Ли

Теорема Ли — теорема о представлених разрешимых алгебр Ли.

Пусть ${\displaystyle \pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$ есть конечномерное представление разрешимой алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль. Тогда ${\displaystyle \pi ({\mathfrak {g}})}$ имеет инвариантный флаг подпространств ${\displaystyle V=V_{0}\supset V_{1}\supset \cdots \supset V_{n}=0,\operatorname {codim} V_{i}=i}$; то есть ${\displaystyle \pi (X)V_{i}\subset V_{i}}$ для каждого ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ и i.

• Другими словами, теорема утверждает, что можно выбрать базис в ${\displaystyle V}$ такой, что все линейные преобразования ${\displaystyle \pi ({\mathfrak {g}})}$ задаются верхнетреугольными матрицaми.
  • Это утверждение обобщает результат Фробениуса, о том что коммутирующие матрицы допускают одновременную триангулизацию.

• Теорема не выполняется для алгебраически замкнутых полей ненулевой характеристики. Однако утверждение теорем становится верным если размерность ${\displaystyle V}$ меньше характеристики поля.

• Теорема применима к присоединенному представлению ${\displaystyle \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}$ (конечномерной) разрешимой алгебры ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Таким образом, можно выбрать базис в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, по отношению которого ${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})}$ состоит из верхних треугольных матриц.
  • Из этого следует, что для любых ${\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}}$, ${\displaystyle \operatorname {ad} ([x,y])=[\operatorname {ad} (x),\operatorname {ad} (y)]}$ имеет нулевую диагональ; значит ${\displaystyle \operatorname {ad} ([x,y])}$ нильпотентен. По теореме Энгеля, это означает, что ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$ является нильпотентной алгеброй Ли; обратное утверждение очевидно верно. То есть, конечномерная алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ над полем характеристики ноль разрешима, тогда и только тогда, когда производная алгебра ${\displaystyle D{\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$ нильпотентна.

• Теорема Энгеля — аналогичная теорема о нильпотентных алгебрах Ли.
• Теорема Ли — Колчина — аналогичная теорема о разрешимой алгебраических группах.