Формула Брахмагупты

Фо́рмула Брахмагу́пты — обобщение формулы Герона, выражает площадь вписанного в окружность четырёхугольника как функцию длин его сторон.

Если вписанный четырёхугольник имеет длины сторон ${\displaystyle a,b,c,d}$ и полупериметр ${\displaystyle p={\frac {a+b+c+d}{2}}}$, то его площадь ${\displaystyle S}$ выражается формулой:

${\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}.}$

Доказательство

Площадь вписанного в окружность четырехугольника равна сумме площадей ${\displaystyle \triangle ABD}$ и ${\displaystyle \triangle BDC}$

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab\sin A+{\frac {1}{2}}cd\sin C.}$

Так как ${\displaystyle ABCD}$ является вписанным четырехугольником, то ${\displaystyle \angle DAB=180^{\circ }-\angle DCB.}$ Следовательно, ${\displaystyle \sin A=\sin C}$:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab\sin A+{\frac {1}{2}}cd\sin A}$

${\displaystyle S^{2}={\frac {1}{4}}\sin ^{2}A(ab+cd)^{2}}$

${\displaystyle 4S^{2}=(1-\cos ^{2}A)(ab+cd)^{2}}$

${\displaystyle 4S^{2}=(ab+cd)^{2}-\cos ^{2}A(ab+cd)^{2}.}$

Записав теорему косинусов для стороны ${\displaystyle CB}$ в ${\displaystyle \triangle ACB}$ и ${\displaystyle \triangle BDC,}$ получаем:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos A=c^{2}+d^{2}-2cd\cos C.}$

Используем ${\displaystyle \cos C=-\cos A}$ (${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle C}$ противолежащие), а затем выносим за скобки ${\displaystyle 2\cos A}$:

${\displaystyle 2\cos A(ab+cd)=a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}.}$

Подставим полученное в полученную ранее формулу площади:

${\displaystyle 4S^{2}=(ab+cd)^{2}-{\frac {1}{4}}(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}}$

${\displaystyle 16S^{2}=4(ab+cd)^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2},}$

Применим формулу ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)}$:

${\displaystyle (2(ab+cd)+a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})(2(ab+cd)-a^{2}-b^{2}+c^{2}+d^{2})}$

${\displaystyle =((a+b)^{2}-(c-d)^{2})((c+d)^{2}-(a-b)^{2})}$

${\displaystyle =(a+b+c-d)(a+b+d-c)(a+c+d-b)(b+c+d-a).}$

Так как полупериметр ${\displaystyle p={\frac {a+b+c+d}{2}},}$

${\displaystyle 16S^{2}=16(p-a)(p-b)(p-c)(p-d).}$

Извлекая квадратный корень, получаем:

${\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}.}$

• Формула Брахмагупты обобщает формулу Герона для площади треугольника: достаточно считать, что длина одной из сторон равна нулю (например, ${\displaystyle d=0}$).
• На случай произвольных четырёхугольников формула Брахмагупты может быть обобщена следующим образом:

  ${\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos ^{2}\theta }},}$

где ${\displaystyle \theta }$ есть полусумма противоположных углов четырёхугольника. (Какую именно пару противоположных углов взять, роли не играет, так как если полусумма одной пары противоположных углов равна ${\displaystyle \theta }$, то полусумма двух других углов будет ${\displaystyle 180^{\circ }-\theta }$, и ${\displaystyle \cos ^{2}(180^{\circ }-\theta )=\cos ^{2}\theta .}$)

Иногда эту более общую формулу записывают так:

${\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-\textstyle {1 \over 4}(ac+bd+uv)(ac+bd-uv)}}}$

где ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ — длины диагоналей четырёхугольника.

• Если четырёхугольник описанный, тогда ${\displaystyle p=a+c=b+d}$, и обобщённая формула Брахмагупты даёт

  ${\displaystyle S={\sqrt {abcd}}\sin \theta }$.

В частности, для вписанно-описанных четырёхугольников

${\displaystyle S={\sqrt {abcd}}}$.

• Роббинс^[англ.] доказал, что для любого вписанного многоугольника с ${\displaystyle n}$ сторонами величина ${\displaystyle (4S)^{2}}$ является корнем некоторого многочлена ${\displaystyle P}$, коэффициенты которого в свою очередь являются многочленами от длин сторон. Он нашёл эти многочлены для ${\displaystyle n=5}$ и ${\displaystyle n=6}$. Другими авторами установлено, что многочлен ${\displaystyle P}$ можно выбрать так, чтобы его старший коэффициент был равен единице, а степень ${\displaystyle N=N(n)}$ была равна ${\displaystyle \Delta _{k}}$, если ${\displaystyle n=2k+1}$ и ${\displaystyle 2\Delta _{k}}$, если ${\displaystyle n=2k+2}$. Здесь

  ${\displaystyle \Delta _{k}={\frac {2k+1}{2}}{\binom {2k}{k}}-2^{2k-1}=\sum _{j=0}^{k-1}(k-j){\binom {2k+1}{j}},}$

где ${\displaystyle {\tbinom {k}{j}}={\tfrac {k!}{j!(k-j)!}}}$ — биномиальные коэффициенты. Для многоугольников с небольшим числом сторон имеем ${\displaystyle \Delta _{1}=1}$, ${\displaystyle \Delta _{2}=7}$, ${\displaystyle \Delta _{3}=38}$, ${\displaystyle \Delta _{4}=187,\dots }$ (последовательность A000531 в OEIS) и ${\displaystyle N(4)=2}$, ${\displaystyle N(5)=7}$, ${\displaystyle N(6)=14}$, ${\displaystyle N(7)=38,\dots }$ (последовательность A107373 в OEIS).

• Если в формуле Брахмагупты выразить полупериметр через полусумму всех сторон данного четырехугольника, возвести обе части в квадрат, умножить на -16, раскрыть скобки и привести подобные, то она примет вид:

${\displaystyle -16S^{2}=a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}-2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}d^{2}+c^{2}d^{2})-8abcd}$

• Правая часть совпадает с разложением определителя, приведенного ниже, если его умножить на -1. Поэтому можно написать, что^[1]

${\displaystyle 16S^{2}=-{\begin{vmatrix}a&b&c&-d\\b&a&-d&c\\c&-d&a&b\\-d&c&b&a\end{vmatrix}}}$

• Есть модификация формулы Брахмагупты для геометрии Лобачевского ^[2]

• Брахмагупта
• Теорема Брахмагупты
• Формула Герона

• А. Ю. Давидов. Элементарная геометрия в объеме гимназического курса. — 1863.
• В. В. Прасолов. Формула Брахмагупты // Математика в школе. — 1991. — № 5.
• Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).

• В. В. Варфоломеев. Вписанные многоугольники и полиномы Герона // Мат. сборник.. — 2003. — Т. 194, № 3. — С. 3—24.
• Стариков В. Н. Заметки по геометрии // Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки: сборник научных трудов / Гл. ред. Романова И. В.. — Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. — Вып. 1. — С. 37-39.
• M. Fedorchuk, I. Pak. Rigidity and polynomial invariants of convex polytopes (англ.) // :en:Duke Mathematical Journal|Duke Math. J. : journal. — 2005. — Vol. 129, no. 2. — P. 371—404. — doi:10.1215/S0012-7094-05-12926-X.