Эвольвента окружности

Эвольвентой окружности является траектория любой точки прямой линии, перекатываемой по окружности без скольжения. По эвольвенте обрабатывают профиль зубьев зубчатых колёс. Эвольвенту окружности можно получить, сматывая натянутую нить с цилиндрической поверхности. Конец этой нити будет описывать эвольвенту.

Параметрические уравнения эвольвенты окружности следующие^[1]:

${\displaystyle x=r(\cos \varphi +\varphi \sin \varphi \,\!),}$

${\displaystyle y=r(\sin \varphi -\varphi \cos \varphi \,\!),}$

на комплексной плоскости уравнения упрощаются^[2]:

${\displaystyle z=r(1-i\varphi )e^{i\varphi },}$

где ${\displaystyle r}$ — радиус окружности; ${\displaystyle \varphi }$ — угол поворота радиуса окружности (полярный угол точки касания прямой и окружности).

Натуральное уравнение эвольвенты окружности, то есть зависимость кривизны от длины дуги, имеет вид: ${\displaystyle k(s)={\frac {1}{\sqrt {2rs}}}.}$

Имеется окружность диаметра ${\displaystyle d}$ с центром в точке ${\displaystyle O}$. Данную окружность делим на двенадцать равных частей. В точках 2, 3, 4, … проводим касательные к окружности, направленные в одну сторону. Точки эвольвенты находим исходя из того, что при развёртывании окружности точка ${\displaystyle B^{2}}$ должна отстоять от точки 2 на расстоянии, равном длине дуги между точками 1 и 2, а точка ${\displaystyle B^{3}}$ должна отстоять от точки 3 на расстоянии, равном длине дуги между точками 1 и 3 (две длины предыдущей дуги), и т. д.

Точное положение точек эвольвенты получим, откладывая по касательным длины соответствующих дуг. Длину дуги между точками 1 и 2 определяем по формуле ${\displaystyle a={\frac {\pi d}{m}},}$ где ${\displaystyle d}$ — диаметр окружности, ${\displaystyle m}$ — число частей, на которое разделена окружность.

Получив ряд точек эвольвенты, соединяем их плавной линией.

В данном случае окружность диаметра ${\displaystyle d}$ является эволютой к этой эвольвенте.

• Эвольвента
• Эвольвентное зацепление
• Зубчатая передача

• Богданов В. Н., Малежик И. Ф., Верхола А. П. и др. Справочное руководство по черчению. — М.: Машиностроение, 1989. — С. 438-480. — 864 с. — ISBN 5-217-00403-7.
• Zwikker C.^[англ.] The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications^[англ.]The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications. New York: Dover Publications, Inc., 1963. 299 p. ISBN 0486610780. ISBN 9780486610788.

В статье есть список источников, но не хватает сносок. Без сносок сложно определить, из какого источника взято каждое отдельное утверждение. Вы можете улучшить статью, проставив сноски на источники, подтверждающие информацию. Сведения без сносок могут быть удалены. (27 января 2013)