4-градие́нт (четыре-градиент , четырёхградиент , 4-на́бла ; обозначается D ∇ μ {\displaystyle \nabla _{\mu }} ∂ μ {\displaystyle \partial _{\mu }} специальной теории относительности — 4-векторный дифференциальный оператор в псевдоевклидовом пространстве Минковского , определяемый как[ 1]
∂ μ = ∇ μ = ( ∂ c ∂ t , ∇ → ) = ( ∂ c ∂ t , ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) , {\displaystyle \partial _{\mu }=\nabla _{\mu }=\left({\frac {\partial }{c\,\partial t}},\;{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial }{c\,\partial t}},\;{\frac {\partial }{\partial x}},\;{\frac {\partial }{\partial y}},\;{\frac {\partial }{\partial z}}\;\right),} где ∇ → = ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) {\displaystyle {\vec {\nabla }}=\left({\frac {\partial }{\partial x}},\;{\frac {\partial }{\partial y}},\;{\frac {\partial }{\partial z}}\;\right)} градиента . Следует отметить, что выше записаны ковариантные компоненты 4-векторного оператора. Контравариантные компоненты ∂ μ = ∇ μ = g μ ν ∇ ν = ( ∂ c ∂ t , − ∇ → ) , {\displaystyle \partial ^{\mu }=\nabla ^{\mu }=g^{\mu \nu }\nabla _{\nu }=\left({\frac {\partial }{c\,\partial t}},\;-{\vec {\nabla }}\right),} [ 1] g μ ν = d i a g ( 1 , − 1 , − 1 , − 1 ) {\displaystyle g^{\mu \nu }=\mathrm {diag} (1,-1,-1,-1)} метрический тензор ; используется соглашение Эйнштейна о суммировании по повторяющимся координатным индексам).
Если вычислить скалярное произведение D псевдо евклидово), то получится скалярный 4-мерный оператор Д’Аламбера :
◻ = D ⋅ D = g μ ν ∇ μ ∇ ν = ∂ ν ∂ ν = ∂ 2 c 2 ∂ t 2 − Δ = ∂ 2 c 2 ∂ t 2 − ∂ 2 ∂ x 2 − ∂ 2 ∂ y 2 − ∂ 2 ∂ z 2 , {\displaystyle \square =D\cdot D=g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }=\partial ^{\nu }\partial _{\nu }={\frac {\partial ^{2}}{c^{2}\partial t^{2}}}-\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{c^{2}\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\;,} где Δ — оператор Лапласа .
Ещё один способ обозначения 4-градиента — запятая перед координатным индексом. Так, если а
∂ μ a = a , μ . {\displaystyle \partial _{\mu }a=a_{\;,\mu }\;.} Скалярное произведение вектора 4-градиента (слева) на 4-вектор определяет 4-дивергенцию :
D ⋅ A = ∂ μ A μ = A , μ μ = ∂ A t c ∂ t + ∂ A x ∂ x + ∂ A y ∂ y + ∂ A z ∂ z = ∂ A t c ∂ t + ∇ A , {\displaystyle D\cdot A=\partial _{\mu }A^{\mu }=A_{\;,\mu }^{\mu }={\frac {\partial A_{t}}{c\;\partial t}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}={\frac {\partial A_{t}}{c\;\partial t}}+\nabla \mathbf {A} ,} где A μ = { A 0 , A 1 , A 2 , A 3 } = { A t , A } {\displaystyle A^{\mu }=\{A^{0},A^{1},A^{2},A^{3}\}=\{A_{t},\mathbf {A} \}} 4-вектора , а ∇ A {\displaystyle \nabla \mathbf {A} } дивергенция .
Символ D μ {\displaystyle D_{\mu }} ∇ μ {\displaystyle \nabla _{\mu }} ковариантная производная в криволинейных координатах :
D μ A ν = ∂ μ A ν + Γ α μ ν A α , {\displaystyle D_{\mu }A^{\nu }=\partial _{\mu }A^{\nu }+\Gamma _{\alpha \mu }^{\nu }A^{\alpha },} где Γ α μ ν {\displaystyle \Gamma _{\alpha \mu }^{\nu }} символы Кристоффеля . В декартовых координатах евклидового (псевдоевклидового) пространства символы Кристоффеля равны нулю, и ковариантная производная совпадает с 4-градиентом. Ковариантная производная скаляра совпадает с 4-градиентом независимо от криволинейности координат:
D μ a = ∂ μ a . {\displaystyle D_{\mu }a=\partial _{\mu }a.} S. Hildebrandt, «Analysis II» (Calculus II), ISBN 3-540-43970-6 , 2003. L. C. Evans, «Partial differential equations», A.M.Society, Grad. Studies Vol. 19, 1988. J. D. Jackson, «Classical Electrodynamics» Chapter 11, Wiley ISBN 0-471-30932-X . 
