BB84

BB84 — первый протокол квантового распределения ключей, который был предложен в 1984 году Чарльзом Беннетом и Жилем Брассаром. Протокол использует для кодирования информации четыре квантовых состояния двухуровневой системы, формирующие два сопряжённых базиса.^[1] Носителями информации являются 2-уровневые системы, называемые кубитами (квантовыми битами).

Стивен Визнер (англ. Stephen Wiesner), являясь студентом Колумбийского университета, в 1970 подал статью по теории кодирования в журнал IEEE Information Theory, но она не была опубликована, потому что изложенные в ней предположения казались фантастическими, а не научными.^[2] В статье была описана концепция использования квантовых состояний для защиты денежных банкнот.^[3] Впоследствии на основе принципов работы С. Визнера учёные Чарльз Беннет (англ. Charles Bennett) из фирмы IBM и Жиль Брассард (англ. Gilles Brassard) из Монреальского университета разработали способ кодирования и передачи сообщений. Ими был сделан доклад на тему «Квантовая криптография: Распределение ключа и подбрасывание монет» на конференции IEEE International Conference on Computers, Systems, and Signal Processing. Описанный в работе протокол впоследствии признан первым и базовым протоколом квантовой криптографии и был назван в честь его создателей.^[4]

Протокол использует 4 квантовых состояния, образующих 2 базиса, например поляризационные состояния света. Состояния внутри одного базиса ортогональны, но состояния из разных базисов — попарно неортогональны. Эта особенность протокола позволяет определить возможные попытки нелегитимного съёма информации.

Носителями информации в протоколе являются фотоны, поляризованные под углами 0°, 45°, 90°, 135°. С помощью измерения можно различить только 2 ортогональных состояния:

1. фотон поляризован вертикально или горизонтально (0° или 90°);
2. фотон поляризован диагонально (45° или 135°).

Достоверно отличить за одно измерение горизонтальный фотон от фотона, поляризованного под углом 135°, невозможно.^[5]

В протоколе BB84 кодирование состояний осуществляется следующим образом:^[6]

1. ${\displaystyle |0\rangle }$
   • ${\displaystyle |{\leftrightarrow }\rangle }$
   • ${\displaystyle |{\nearrow }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|{\updownarrow }\rangle +|{\leftrightarrow }\rangle {\big )}}$
2. ${\displaystyle |1\rangle }$
   • ${\displaystyle |{\updownarrow }\rangle }$
   • ${\displaystyle |{\nwarrow }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|{\updownarrow }\rangle -|{\leftrightarrow }\rangle {\big )}}$

Традиционно в работах по криптографии легитимных пользователей принято кратко обозначать как Алису и Боба, а перехватчика называть Евой. Таким образом, описание ситуации в криптографическом протоколе выглядит так: Алиса должна передать Бобу секретное сообщение, а Ева всеми доступными ей средствами старается его перехватить.^[7]

Этапы формирования ключей:^[8]

1. Алиса случайным образом выбирает один из базисов. Затем внутри базиса случайно выбирает одно из состояний, соответствующее 0 или 1, и посылает фотоны. Они могут посылаться все вместе или один за другим, но главное, чтобы Алиса и Боб смогли установить взаимно однозначное соответствие между посланным и принятым фотоном.
2. Боб случайно и независимо от Алисы выбирает для каждого поступающего фотона: прямолинейный или диагональный базис, и измеряет в нём значение фотона.
3. Для каждого переданного состояния Боб открыто сообщает, в каком базисе проводилось измерение кубита, но результаты измерений остаются в секрете.
4. Алиса сообщает Бобу по открытому общедоступному каналу связи, какие измерения были выбраны в соответствии с исходным базисом Алисы.
5. Пользователи оставляют только те случаи, в которых выбранные базисы совпали. Эти случаи переводят в биты (0 и 1), и составляют ключ.

В таком случае примерно 50 % данных выбрасывается. Оставшийся более короткий ключ называется «просеянным». В случае отсутствия подслушивания и шумов в канале связи Алиса и Боб будут теперь иметь полностью коррелированную строку случайных битов, которая будет в дальнейшем использоваться в схемах классической симметричной криптографии. Если же подслушивание имело место, то по величине ошибки в получившемся классическом канале связи Алиса и Боб могут оценить максимальное количество информации, доступное Еве. Существует оценка, что если ошибка в канале меньше приблизительно 11 %, то информация, доступная Еве, заведомо не превосходит взаимной информации между Алисой и Бобом, и секретная передача данных возможна.^[3]

Эффективный способ обнаружения и исправления ошибок заключается в перемешивании и разбиении последовательностей Алисы и Боба на блоки. Основная идея состоит в проверке чётности блоков: разбивают на блоки и проверяют на чётность в несколько итераций, уменьшая каждый размер именно тех блоков, чётность которых не совпала. Итерации производят, пока не обнаружат и не исправят ошибки. Наиболее мелкие блоки отбрасываются при обнаружении в них ошибки. В результате вероятность ошибки в полученной последовательности ничтожно мала.^[9]

Условные обозначения

Обозначение	Поляризация фотонов	Кодируемый бит
↔	Горизонтальная	1
↕	Вертикальная	0
↗	Под углом 45°	0
↖	Под углом 135°	1

Обозначение анализатора	Поляризация фотонов
+	Прямоугольный
x	Диагональный

Процесс распределения ключей можно проанализировать по шагам. Результат выполнения каждого пункта соответствует строке таблицы:

Последовательность фотонов Алисы	↕	↗	↗	↔	↖	↕	↕	↔	↔
Последовательность анализаторов Боба	+	x	+	+	x	x	x	+	x
Результаты измерений Боба	0	0	1	1	1	0	1	1	0
Анализаторы выбраны верно	да	да	нет	да	да	нет	нет	да	нет
Ключ	0	0		1	1			1

Если бы Ева перехватывала информацию при помощи оборудования, подобного оборудованию Боба, то примерно в 50 % случаев она выберет неверный анализатор, не сможет определить состояние полученного ею фотона, и отправит фотон Бобу в состоянии, выбранном наугад. При этом также в 25 % случаев результаты измерений Боба могут отличаться от результатов Алисы. Это довольно заметно и быстро можно обнаружить. Однако, если Ева перехватывает только 10 % информации, тогда уровень ошибок будет 2,5 %, что менее заметно.^[10]

Схематично практическая реализация^[11] представлена на рисунке.

Передатчик формирует одно из четырёх состояний поляризации. Функции ячейки Поккельса — импульсная вариация поляризации потока квантов передатчиком и анализ импульсов поляризации приёмником. Собственно передаваемые данные поступают в виде управляющих сигналов на эти ячейки. В качестве канала передачи данных может использоваться оптическое волокно. В качестве первичного источника света можно использовать лазер. На принимающей стороне после ячейки Поккельса ставится кальцитовая призма, которая расщепляет пучок на два фотодетектора, измеряющие две ортогональные составляющие поляризации.^[12]

Главная проблема формирования передаваемых импульсов квантов заключается в интенсивности.^[11][13] Например, если в импульсе 1000 квантов, то есть вероятность того, что 100 квантов перехватит злоумышленник. Анализируя, он может получить нужную ему информацию. В идеале число квантов в импульсе должно быть не более одного. Здесь любая попытка отвода части квантов злоумышленником приведёт к существенному росту числа ошибок у принимающей стороны. В этом случае принятые данные должны быть отброшены и попытка передачи повторена. Но, делая канал более устойчивым к перехвату, это вызывает проблему выдачи сигнала в отсутствии фотонов на входе приёмника. Для того, чтобы обеспечить надёжную передачу данных, логическому нулю и единице могут соответствовать определённые последовательности состояний, допускающие коррекцию одинарных и даже кратных ошибок.

Существует 2 класса атак, которые может использовать Ева, когда все передаваемые сигналы содержат строго один фотон:^[14]

• Некогерентные Ева перехватывает посылаемые Алисой фотоны, затем измеряет их состояния и отправляет затем новые фотоны Бобу в измеренных состояниях.
• Когерентные Ева любым возможным способом перепутывает пробу любой размерности с целой группой передаваемых одиночных фотонов.

Взаимная информация Алисы и Боба вычисляется по формуле^[15][Что обозначают параметры, входящие в формулы???!]

${\displaystyle I_{\text{AB}}(D)={\frac {1}{2}}\varphi (1-2D).}$

Когда Ева измеряет состояние пробы сразу после перепутывания с фотоном Алисы, взаимная информация Алисы и Евы равна

${\displaystyle I_{\text{AE}}(D)={\frac {1}{2}}+{\frac {\chi }{2}}\left({\frac {1}{2}}-{\sqrt {2D-4D^{2}}}\right)+{\frac {\chi }{2}}\left({\frac {1}{2}}+{\sqrt {2D-4D^{2}}}\right).}$

Для случая равновероятного использования двух базисов в протоколе ВВ84:

${\displaystyle I_{\text{AE}}(D)={\frac {1}{2}}\varphi \left(2{\sqrt {D(1-D)}}\right).}$

В настоящее время однофотонные источники не созданы и на практике используют слабокогерентные импульсы, излучаемые многофотонные источники.^[16] Вероятность того, что импульс содержит ${\displaystyle n}$ фотонов определяется распределением Пуассона:

${\displaystyle P_{n,{\text{loss}}}=e^{-\eta \mu }{\frac {(\eta \mu )^{n}}{n!}},}$

где ${\displaystyle \mu }$ — среднее число фотонов в импульсе, ${\displaystyle \eta }$ — коэффициент передачи канала.

Таким образом, становится возможной атака разделения числа фотонов. Если Ева обнаруживает в импульсе более одного фотона, она отводит один, остальные беспрепятственно доходят до Боба. Затем Ева выполняет перепутывание перехваченного фотона со своей пробой и ожидает объявления базисов. Следовательно, Ева получит точное значение переданного бита, не внося при этом никаких ошибок в просеянный ключ.^[17][18]

• Д. А. Кронберг, Ю. И. Ожигов, А. Ю. Черняковский. Глава 3. Протокол квантового распределения ключей BB84 // Квантовая криптография. — 5-e изд. — МАКС Пресс, 2011. — С. 61—77. — 111 с. — ISBN 589407455X. Архивная копия от 30 ноября 2016 на Wayback Machine.
• Нильсен М., Чанг И. Квантовые вычисления и квантовая информация. — М.: Мир, 2006. — 824 с.
• Килин С. Я., Хорошко Д. Б., Низовцев А. П. Квантовая криптография: идеи и практика. — 5-e изд. — Беларуская навука, 2007. — С. 157—161. — 391 с. — ISBN 978-985-08-0899-8.

• Bennett C. H., Brassard G. Quantum Cryptography: Public Key Distribution and Coin Tossing (англ.) // Proceedings of International Conference on Computers, Systems & Signal Processing, Dec. 9-12, 1984, Bangalore, India. — IEEE, 1984. — P. 175.
• Bennett C. H., Brassard G. Quantum Cryptography: Public Key Distribution and Coin Tossing (англ.) // ACM SIGACT News — New York City: ACM, SIGACT, 1987. — Vol. 18, Iss. 4. — P. 51—53. — ISSN 0163-5700; 1943-5827 — doi:10.1145/36068.36070
• Wiesner S. Conjugate Coding (англ.) // ACM SIGACT News — New York City: ACM, SIGACT, 1983. — Vol. 15, Iss. 1. — P. 78—88. — ISSN 0163-5700; 1943-5827 — doi:10.1145/1008908.1008920
• Е. Ю. Иванова, Е. А. Ларионцева. Введение в квантовую криптографию: основные понятия, подходы и алгоритмы. — Инженерный журнал: наука и инновации, 2013. — № 11. — P. 137—171.
• Румянцев К. Е., Голубчиков Д. М. Квантовая криптография: принципы, протоколы, системы. — 2008. — P. 10—17. Архивировано 30 ноября 2016 года.
• Н. Слепов. Квантовая криптография: проблемы и решения. — 2006. — С. 55—60.
• Янковская Ю. Ю., Марина А. А. Стойкость квантовых протоколов распределения ключей. — 2013. — С. 1—5.
• В. А. Эттель. Анализ стойкости квантовых протоколов распределения ключей. — 2013. — С. 1—6.