N-мерная грань

В стереометрии грань — это плоская поверхность (плоская область, например — многоугольник или круг), которая образует часть границы твердого объекта;^[1] трехмерное тело, ограниченное исключительно гранями, есть многогранник.

В технических трактовках геометрии многогранников и политопов более высокой размерности этот термин также используется для обозначения элемента любой размерности более общего политопа (в любом количестве измерений).^[2]

В элементарной геометрии грань — это многоугольник^[a] на границе многогранника.^[2][3] Другие названия многоугольной грани включают сторону многогранника и евклидову плоскую плитку.

Например, любой из шести квадратов, ограничивающих куб, является гранью куба. Иногда «грань» также используется для обозначения двумерных особенностей четырёхмерного многогранника. В этом смысле тессеракт имеет 24 квадратных грани, каждая из которых разделяет два из 8 кубов, образующих тессеракт.

Стандартные примеры по символу Шлефли

Многогранник	Звездный многогранник	Евклидова мозаика	Гиперболическая мозаика	4-многогранник
{4,3}	{5/2,5}	{4,4}	{4,5}	{4,3,3}
Куб имеет 3 квадратных грани у каждой вершины.	Малый звездчатый додекаэдр имеет 5 пентаграммных граней у каждой вершины.	Квадратная мозаика на евклидовой плоскости имеет 4 квадратных грани на каждую вершину.	Квадратная мозаика пятого порядка имеет 5 квадратных граней на вершину.	Тессеракт имеет 3 квадратных грани у каждого ребра.

Поверхность любого выпуклого многогранника имеет эйлерову характеристику

${\displaystyle V-E+F=2,}$

где V — количество вершин, E — количество ребер, а F — количество граней. Это уравнение известно как формула многогранника Эйлера. Таким образом, количество граней на 2 больше, чем разность количества ребер и количества вершин. Например, у куба 12 ребер и 8 вершин, а значит, 6 граней.

В многомерной геометрии грани политопа являются элементами всех измерений.^[2][4][5]</ref> Грань размерности k называется k-мерной гранью. Например, многоугольные грани обычного многогранника являются 2-мерными гранями. В теории множеств набор граней многогранника включает в себя сам многогранник и пустое множество, где пустое множество для согласованности имеет «размерность» -1. Для любого политопа (n-мерного многогранника), −1 ≤ k ≤ n.

Например, в этом значении грани куба включают в себя сам куб(3-мерная грань), его (квадратные) грани, (линейные) ребра (1-мерные грани), (точечные) вершины (0-мерные грани) и пустое множество. Ниже приведены грани 4-мерного многогранника:

• 4-мерная грань - сам 4-мерный многогранник
• 3-мерные грани - 3-мерные ячейки (многогранники)
• 2-мерные грани — 2-мерные ребра (многоугольники)
• 1-мерные грани – 1-мерные ребра
• 0-мерные грани - 0-мерные вершины
• пустое множество, имеющее размерность −1

В некоторых областях математики, таких как комбинаторика многогранников, многогранник по определению выпуклый. Формально грань многогранника P есть пересечение P с любым замкнутым полупространством, граница которого не пересекается с внутренней частью P.^[6] Из этого определения следует, что множество граней многогранника включает в себя сам многогранник и пустое множество.^[7][8]

В других областях математики, таких как теории абстрактных многогранников и звездчатых многогранников, требование выпуклости ослаблено. Абстрактная теория по-прежнему требует, чтобы множество граней включало в себя сам политоп и пустое множество.

Ячейка — это многогранный элемент (трехмерная грань) 4-мерного многогранника или 3-мерной мозаики или фигуры более высокой размерности. Ячейки являются гранями для четырёхмерных политопов и трехмерных мазаик.

Стандартные примеры по символу Шлефли

четырёхмерные политопы		3-мерные мозаики
{4,3,3}	{5,3,3}	{4,3,4}	{5,3,4}
Тессеракт имеет 3 кубические ячейки на ребро.	120-ячейник имеет 3 додекаэдрические ячейки на ребро.	Кубическая мозаика заполняет евклидово 3-мерное пространство кубами с 4 ячейками на каждом ребре.	Додекаэдрические соты 4 порядка заполняют трехмерное гиперболическое пространство додекаэдрами, по 4 ячейки на ребро.

В многомерной геометрии Фасетами (также называемыми гипергранями)^[9] n-мерного политопа являются (n -1)-грани (грани размерности на единицу меньше, чем сам многогранник).^[10] Многогранник ограничен своими гранями.

Например:

• Фасетами отрезка являются его 0-мерные грани - вершины.
• Фасетами многоугольника являются его 1-мерные грани или ребра.
• Фасеты многогранника или мозаики плоскости являются их 2-мерные грани.
• Грани четырехмерного многогранника или трехмерной мозаики являются их 3-мерными гранями или ячейками.
• Гранями пятимерного многогранника или 4-мерной мозаики являются их 4-мерные грани.