Yörünge mekaniği

Bu maddenin içeriğinin Türkçeleştirilmesi veya Türkçe dilbilgisi ve kuralları doğrultusunda düzeltilmesi gerekmektedir. Bu maddedeki yazım ve noktalama yanlışları ya da anlatım bozuklukları giderilmelidir. (Yabancı sözcükler yerine Türkçe karşılıklarının kullanılması, karakter hatalarının düzeltilmesi, dilbilgisi hatalarının düzeltilmesi vs.) Düzenleme yapıldıktan sonra bu şablon kaldırılmalıdır.

Yörünge mekaniği
Yörünge mekaniği
Yörünge öğeleri Apsis Enberi açısı Dışmerkezlik Yörünge eğikliği Ortalama ayrıklık Yörünge düğümü Yarı büyük eksen Gerçek anomali
Dışmerkezliğe göre iki cisim problemi Dairesel yörünge Eliptik yörünge Transfer yörüngesi (Hohmann transfer yörüngesi Bi-elliptic transfer yörüngesi) Parabolik yörünge Hiperbolik yörünge Radyal yörünge Yörünge bozulması
Denklemler Dinamik sürtünme Kurtulma hızı Kepler denklemi Kepler'in gezegensel hareket yasaları Yörünge süresi Yörünge hızı Yüzey kütle çekimi Spesifik yörünge enerjisi Vis-viva denklemi
Gök mekaniği
Yerçekimi etkileri Çift merkezi Hill küresi Tedirginlik Etki alanı
N-cisim yörünge Lagrange noktası (Halo yörünge) Lissajous yörünge Lyapunov kararlılığı
Mühendislik ve verimlilik
Uçuş öncesi mühendisliği Kütle oranı Yük oranı İtici madde kütle oranı Tsiolkovsky roket denklemi
Verimlilik önlemleri Kütle çekimsel sapan Oberth etkisi
g t d

Yörünge mekaniği veya astrodinamik, roketler ve diğer uzay araçlarının hareketini ilgilendiren pratik problemlere, balistik ve gök mekaniğinin uygulamasıdır. Bu nesnelerin hareketi genellikle Newton'un hareket kanunları ve Newton'un evrensel çekim yasası ile hesaplanır. Bu, uzay görevi tasarımı ve denetimi altında olan bir çekirdek disiplindir. Gök mekaniği; daha genel olarak yıldız sistemleri, gezegenler, uydular ve kuyruklu yıldızlar gibi kütle çekimi etkisinde bulunan yörünge sistemleri için geçerlidir. Yörünge mekaniği; uzay araçlarının yörüngelerine ait yörünge manevraları, yörünge düzlemi değişiklikleri ve gezegenler arası transferler gibi kavramlara odaklanır ve itici manevralar sonuçlarını tahmin etmek için görev planlamacıları tarafından kullanılır. Genel görelilik teorisi, yörüngeleri hesaplamak için Newton yasalarından daha kesin bir teoridir ve doğru hesaplar yapmak ya da yüksek yerçekimini ihtiva eden durumlar söz konusu olduğunda (Güneşe yakın yörüngeler gibi) bazen gereklidir .

Yirminci yüzyılda uzay yolculuğunun yükselişine kadar, yörünge ve gök mekaniği arasında çok az fark vardı ve Sputnik döneminde bu alan uzay dinamiği olarak adlandırılırdı.^[1] Kepler problemi (konumun zamana göre belirlenmesi) gibi kimi problemleri çözmek için kullanılan kimi sorunları çözmek için kullanılan bazı temel teknikler bu nedenle her iki alanda da aynıdır. Ayrıca bu alanların tarihi neredeyse tamamen paylaşılır.

Johannes Kepler, 1605 yılında yayınladığı kurallarıyla gezegen yörüngelerini başarı ile açıklayan ilk kişidir. Isaac Newton, 1687 yayınladığı Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica kitabında gök hareketinin daha genel yasalarını açıklamıştır.

Aşağıdaki baş kurallar yine bu kurallarca tanımlanan klasik mekanik tarafından varsayılan durumlar için kullanışlıdır. Bu baş kurallar kimi yıldız (mesela Güneş) gibi küçük cisimlerin yörüngesini hesaplamak için kullanılabilir.

• Kepler'in gezegensel hareket yasaları:
  • Yörüngeler eliptiktir ve bu elipsin bir odağında daha ağır olan nesne bulunur. Bu durumun özel bir örneği merkezinde bir gezegen olan dairesel bir yörüngedir (daire özel bir elipstir).
  • Uydudan gezegene çizilen bir çizgi, yörüngesinin hangi kısmı ölçülürse ölçülsün; eşit zamanlarda eşit alanlar oluşturur.
  • Bir uydunun yörünge döneminin karesi, gezegenin ortalama uzaklığın küpü ile doğru orantılıdır.
  • Uydunun yörünge dönemi ve şekli, kuvvet uygulanmadan değişemez.
  • Düşük yörüngede olan bir uydu daha yüksek bir yörüngede olan uyduda gezegenin yüzeyine göre, güçlü kütle çekiminden dolayı daha hızlı bir şekilde hareket eder.
  • Uydunun yörüngede sadece bir noktasında bir itme tatbik edilir ise, yolundaki geri kalanı değişecek olsa da her bir takip eden yörüngede aynı noktaya geri döner.
  • Bir dairesel yörünge için; uydunun hareketine ters yönde uygulanan itki yörüngeyi eliptik şekline getirir, uydu alçalır ve en düşük yörünge noktasına itki noktasından 180 derece uzakta ulaşır, sonra tekrar yükselişe geçer. Uydunun hareket yönünde uygulanan itme 180 derece uzakta atış noktası arasında bir apoaps ile elips yörünge oluşturur.

Yörünge mekaniği kuralları sonuçları bazen sezgilere aykırıdır. Örneğin iki uzay aracı, aynı dairesel yörüngede ve kenetlenme eğiliminde ise çok yakın olmadıkları sürece sürüklenen uzay aracı daha hızlı gitmek için basitçe motorlarını ateşleyemez. Bu; yörüngesinin şeklini değiştirir, irtifa kazanmasına sebep olur ve takip edilen araca göre yavaşlamasına ve dolayısıyla daha sonra hedefi kaçırmasına sebep olur. Kenetlenmeden önceki uzay randevusu normalde sonuçta tamamlamak için saatler hatta günler gerektiren birden fazla yörünge dönemlerde birden tam hesaplanan motor atışlarını alır. Yörünge mekaniğinin standart varsayımlarca hesaplanamayan derecelerde gerçekte var olan yörüngeler hesaplanan yörüngeler ile farklık gösterecektir. Örneğin, basit atmosferik sürüklenme fenomeni Dünya yörüngesindeki nesnelerin yörüngesini hesaplamayı zorlaştıran bir faktördür. Bu baş kuralları birbirine yakın kütleli iki cisim, ikili yıldız sistemi gibi, kullanmak yanlıştır. Gök mekaniği daha geniş durumlarda uygulanabilir daha genel kuralları kullanır. Matematiksel Newton yasaları kullanılarak elde edilebilen Kepler'in gezegensel hareket yasaları, sadece sigara yerçekimi kuvvetleri yokluğunda, iki gravitating cisimlerin hareketini tanımlayan kesinlikle tutun; onlar da parabolik ve hiperbolik yörüngeleri açıklar. Yıldızlı gibi büyük nesnelerin yakın klasik mekanik ve genel görelilik arasındaki farklar da önem kazanmaktadır.

Astrodinamiğin temel kuralları Newton'un evrensel çekim yasası ve Newton'un hareket kanunlarıdır ve bu kanunlar için temel matematiksel araç ise diferansiyel kalkülüstür.

Atmosfer dışındaki her yol veya yörünge geri dönüştürülebilirdir yani uzay-zaman fonksiyonunda zaman ters çevrilir. Hızlar ters çevrilir ve ivmeler(roket itişinden kaynaklananlar da dahil olmak üzere). Yani bir roket hızı yönü boyunca ateşlenirse, çevrilen durumda hıza aksi istikamette olur. Tabii ki roket ile sağlana itmelerde tamamen çevrim olmaz, her iki türlü de aynı delta-v kullanılır ve kütle oranı aynı olacak şekilde uygulanır.

Astrodinamiğin standart varsayımları dışarıdan herhangi bir cisim ile girişim içermez, kütle diğer cisimleri için ihmal edilebilirdir ve güneş rüzgarları, atmosferik sürüklenme, gibi kuvvetlerde ihmal edilebilir olarak varsayılır. Tabii ki daha isabetli hesaplar işleri daha da basitleştiren bu varsayımlar olmadan elde edilebilir, fakat o zaman daha karmaşık bir hale bürünür. Ayrıca daha fazla isabetli hesap yapmak o kadar da değerli farklılıklar oluşturmaz.

Yörüngedeki cisim sadece merkezdeki çekici bir cismin etkisinde olduğu düşünüldüğü zaman Keplerin gezegensel hareket kanunları Newton'un hareket yasalarından türetilebilir. Bir motor etkisi veya itici bir kuvvet olduğunda Newton'un yasaları geçerliliğini korur faka Keplerin yasaları artık geçerli değildir. İtici etki durduğu zaman oluşan yörünge farklı olacaktır fakat Keplerin yasaları ile tekrar açıklanabilir. Açıklayıcı bu üç yasa şöyledir:

• Bütün gezegenlerin yörüngeleri odaklarından birinde güneş olan bir elipstir.
• Gezegen ile güneşi birleştiren bir doğru eş zaman aralığında eşit alanlar tarar.
• Yörünge periyodunun kareleri (^2) yarı-büyük eksenin 3. kuvveti ile doğru orantılıdır.

Kaçış hızı aşağıda görüldüğü üzere kolayca türetilebilir. Herhangi bir uzay aracının belirli bir enerjisi iki bileşenden, belirli potansiyel enerji ve belirli bir kinetik enerjiden oluşur. Kütlesi M olan bir gezegen ile ilişkili belirli potansiyel enerji aşağıdaki gibi verilir;

${\displaystyle \epsilon _{p}=-{\frac {GM}{r}}\,}$

Bu arada bir cismin özel kinetik enerjisi aşağıdaki gibi ifade edilir:

${\displaystyle \epsilon _{k}={\frac {v^{2}}{2}}\,}$

Daha sonra enerji korunacağından,

${\displaystyle \epsilon =\epsilon _{k}+\epsilon _{p}\!}$

Toplam özel yörünge enerjisi;

${\displaystyle \epsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r}}\,}$

Merkezdeki cismin merkezi ile uzaydaki araç arasındaki mesafeye, ${\displaystyle r}$, bağlı değildir. O halde nesne, sonsuz ${\displaystyle r}$ mesafesine sadece bu negatif olmazsa ulaşabilir ki bu da gösterir ki;

${\displaystyle v\geq {\sqrt {\frac {2GM}{r}}}}$

Dünya'dan kaçış hızı 11 km/s civarıdır fakat bu hız Güneşin çekim kuvvetinden dolayı sonsuz bir mesafeye ulaşabilmek için yetersizdir. Mesafesi Güneş–Dünya arası mesafe kadar Güneşten uzak bir mesafeye, ama Dünya'ya yakın değil, kaçmak için 42 km/s civarında hız gerekir. Fakat Dünya'dan ateşlenen bir uzay aracı için ancak Dünya'nın yörüngesinde hareket ederken (nedeniyle tahrik sistemi) daha da ivme hepsinin aynı yöne taşıyor ise, Dünya'dan başlatılan uzay aracı için, Dünya'nın yörüngesel hız için "kısmını kredi", olacak.

Yörüngeler konik kesitlerdir, yani açısı bilinen bir objenin mesafesi formüldeki kutupsal koordinatlara karşılık gelir, yani;

${\displaystyle r={\frac {p}{1+e\cos \theta }}}$

${\displaystyle \mu =G(m_{1}+m_{2})\,}$

${\displaystyle p=h^{2}/\mu \,}$

Burada μ ifadesi kütle çekim parametresi olarak ifade edilir ki bu da G.M yani kütle çekim sabiti çarpı kütledir, m₁ and m₂ buradaki kütleler sırası ile birinci ve ikinci cisimlerin kütleleridir ve h ifadesi de birinci nesnenin ikinciye göre özel açısal momentumunu verir. Ayrıca, "θ" parametresi gerçek anomali olarak, p semi-latus rectum olarak, "e" yörünge dış merkezliliği olarak ifade edilir be bu ifadelerin hepsi 6 bağımsız yörünge elemanından elde edilebilir.

Merkezi bir nesnenin yerçekiminin hakim olduğu tüm bağıl yörüngeler doğada elips şeklindedir. Bu durumların özel bir hali, sıfır dış merkezliliğe sahip bir elips olan çembersel bir yörüngedir. Kütlesi "M" olan bir objeden "r" uzaklığındaki çembersel yörüngeye sahip bir cismin "v" hızı şöyle bulunur

${\displaystyle \ v={\sqrt {{\frac {GM}{r}}\ }}}$

. burada ${\displaystyle G}$ kütle çekim sabitidir ki bu sabitte aşağıdaki değere eşittir

6.673 84 × 10⁻¹¹ m³/(kg·s²

Bu formülü doğru kullanmak için birimleri tutarlı olmalıdır; örneğin "M" kilogram ve "r" ifadesi de metreye eşit olmalıdır. Yani cevap saniyede metre olarak bulunmalıdır.

GM' ifadesi çoğunlukla standart kütle çekim parametresi olarak adlandırılır ki standart kütle çekim parametresi her gezegen veya güneş sistemindeki her uydu için farklıdır. Bir kez dairesel yörünge hızı bilinirse kaçış hızı yörünge hızının karekök 2 katı olarak bulunur

${\displaystyle \ v={\sqrt {2}}{\sqrt {{\frac {GM}{r}}\ }}={\sqrt {{\frac {2GM}{r}}\ }}.}$

Eğer 0<e<1 ise serbest yörüngelerin denkleminin paydası θ gerçek anomalisi ile değişiklik gösterir, fakat pozitif olarak kalır ve asla sıfıra eşit olmaz. Buna mukabil, göreli konum vektörü periapsis en küçük bir büyüklük olacak, r_p (ve aşağıdaki gibi verilen) şekilde sınırlı kalır

${\displaystyle r_{p}={\frac {p}{1+e}}}$

θ = 180 olduğu vakit r en yüksek değerine ulaşır. Bu noktaya ise apoapsis denir ve radyal koordinatları, r_a, şu şekilde gösterilir

${\displaystyle 2a=r_{p}+r_{a}}$

Aşağıda gösterilen 2a değeri periapsis ve apoapsis noktalarını birleştiren çizgi mesafesi bu iki nokta arasındaki mesafe olsun

${\displaystyle 2a=r_{p}+r_{a}}$

Yukarıdaki denklemleri yerine koyduğumuz zaman

${\displaystyle a={\frac {p}{1-e^{2}}}}$

a elipsin semimajor eksendir. P'yi yalnız bırakıp sonucu konik kesit eğrisi formülünde yazınca şu sonuca ulaşılır,

${\displaystyle r={\frac {a(1-e^{2})}{1+e\cos \theta }}}$

Standart varsayımlar altında Yörünge periyodu (${\displaystyle T\,\!}$ eliptik yörünge boyunca seyahat eden bir cisim için şu şekilde hesaplanabilir

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {a^{3} \over {\mu }}}}$

Burada:

• ${\displaystyle \mu \,}$ standart kütle çekim parametresine,
• ${\displaystyle a\,\!}$ yarı-büyük ekseninin uzunluğuna eşittir.

Sonuç:

• Yörünge periyodu yarıçapı yarı-büyük ekseninin uzunluğuna eşit olan bir çembersel yörünge için (${\displaystyle a\,\!}$) değerine eşittir.
• Belirli bir yarı-büyük yörünge süresi, dış merkezliliğe bağlı değildir (Ayrıca bakınız: Kepler'in üçüncü kanunu).

Standart varsayımlar altında eliptik bir yörünge izleyen bir cisim için yörünge hızı (${\displaystyle v\,}$) Vis-viva denklemi kullanılarak hesaplanır

${\displaystyle v={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}-{1 \over {a}}\right)}}}$

Burada:

• ${\displaystyle \mu \,}$, standart kütle çekim parametresini,
• ${\displaystyle r\,}$, yörüngedeki cisimlerin birbirleri arasındaki mesafeyi,
• ${\displaystyle a\,\!}$, yarı-büyük ekseninin uzunluğunu ifade eder.

Hiperbolik bir yörünge için hız denklemi ya + ${\displaystyle {1 \over {a}}}$, ifadesini ya da bu durumda "a" negatif olduğu varsayımı ile aynıdır.

Standart varsayımlar altında eliptik bir yörüngenin yörünge enerjisi, (${\displaystyle \epsilon \,}$), sıfıra eşittir ve bu yörüngede orbital enerji korunumu denklemi (Vis-viva denklemi) aşağıdaki şekilde olabilir

${\displaystyle {v^{2} \over {2}}-{\mu \over {r}}=-{\mu \over {2a}}=\epsilon <0}$

Burada:

• ${\displaystyle v\,}$ yörüngedeki cismin hızı,
• ${\displaystyle r\,}$ merkezdeki cisim ile yörüngedeki cisim arasındaki mesafe,
• ${\displaystyle a\,}$ yarı-büyük ekseni,
• ${\displaystyle \mu \,}$ standart kütle çekim parametresidir.

Sonuçlar:

• Büyük ekseni verilen bir yörünge için belirli bir yörünge enerjisi dış merkezlilikten bağımsızdır

Viral teoremi kullanarak şunları buluruz

• özgül potansiyel enerjinin zaman-ortalaması eşittir 2ε
• r⁻¹ nın zaman-ortalaması a⁻¹e eşittir
• spesifik kinetik enerjinin zaman-ortalaması -ε a eşittir.

Dış merkezlilik bire eşit ise yörünge denklemi şu şekilde olur

${\displaystyle r={{h^{2}} \over {\mu }}{{1} \over {1+\cos \theta }}}$

Burada:

• ${\displaystyle r\,}$ merkezdeki cismin kütle merkezi ile yörüngedeki cismin arasındaki radyal mesafe,
• ${\displaystyle h\,}$ yörüngedeki cismin spesifik açısal momentumu,
• ${\displaystyle \theta \,}$yörüngedeki cismin gerçek anomalisi,
• ${\displaystyle \mu \,}$ ise standart kütle çekim parametresidir.

Gerçek anomali, θ, 180° ye yaklaştıkça payda sıfıra yaklaşır ve bu nedenle "r" sıfıra yakınsar. Dolayısıyla, yörüngenin enerjisi ("e"=1) şu şekilde verilir:

${\displaystyle \epsilon ={v^{2} \over 2}-{\mu \over {r}}=0}$

Burada:

• ${\displaystyle v\,}$ yörüngedeki cismin hızıdır.

Diğer bir deyişle, parabolik bir yolun her noktasında hız

${\displaystyle v={\sqrt {2\mu \over {r}}}}$ olur.

Eğer e>1 ise yörünge formülü

${\displaystyle r={{h^{2}} \over {\mu }}{{1} \over {1+e\cos \theta }}}$

hiperbolik bir yörüngenin geometrisini tanımlar. Sistem, iki simetrik eğrilerden oluşur; yörüngedeki cisim bunlardan birini kaplar. Diğeri boş bir matematiksel görüntüdür. Açıkça, yukarıdaki denklemin paydası cosθ = -1/e olduğu zaman sıfıra gider. Bu değeri gerçek anomali olarak ifade ederiz.

θ_∞ = cos⁻¹(-1/e)

Radyal mesafe sonsuza yaklaştığı için gerçek anomali θ_∞ya yaklaşır. θ_∞ asimptotun gerçek anomalisi olarak bilinir. θ_∞ ifadesinin 90 ile 180 derece arasında olduğu görülebilir. sin²θ+cos²θ=1 trigonometrik eşitliğinden şu denkleme de ulaşılabilir:

sinθ_∞ = (e²-1)^1/2/e

Standart varsayımlar altında hiperbolik bir yörüngenin spesifik yörünge enerjisi (${\displaystyle \epsilon \,}$) sıfırdan büyüktür ve bu formda bir yörünge için yörüngesel enerji korunum denklemi şöyledir,

${\displaystyle \epsilon ={v^{2} \over 2}-{\mu \over {r}}={\mu \over {-2a}}}$

Burada:

• ${\displaystyle v\,}$ yörüngedeki cisminin yörünge hızı,
• ${\displaystyle r\,}$ merkezdeki cisim ile yörüngedeki cisim arasındaki radyal mesafe,
• ${\displaystyle a\,}$ negatif yarı-büyük ekseni ve,
• ${\displaystyle \mu \,}$ standart kütle çekim parametresidir.

Standart varsayımlar altında hiperbolik bir yörünge izleyen bir cisim hiperbolik aşırı hız (${\displaystyle v_{\infty }\,\!}$) adı verilen yörünge hızına ulaşır ve bu şu şekilde hesaplanır

${\displaystyle v_{\infty }={\sqrt {\mu \over {-a}}}\,\!}$

Burada:

• ${\displaystyle \mu \,\!}$ standart kütle çekim parametresi ve,
• ${\displaystyle a\,\!}$ yörünge'nin hiperbol'ünün negatif yarı-büyük eksenidir. Hiperbolik aşırı hız kavramı aşağıdaki ifade ile özel yörünge enerjisi veya bir diye adıyla karakteristik enerji ile ilişkilidir.

${\displaystyle 2\epsilon =C_{3}=v_{\infty }^{2}\,\!}$

Yörüngeleri hesaplamak için tarihsel denebilecek bir yaklaşımla Kepler denklemi'ni kullanmaktır: :${\displaystyle M=E-\epsilon \cdot \sin E}$.

Burada M ortalama ayrıklık, E dış merkezlik anomalisi ve ${\displaystyle \displaystyle \epsilon }$ dış merkezliliktir.

Kepler'in bu formülü ile ${\displaystyle \theta }$ from periapsisin, finding the time-of-flight to reach an angle (true anomaly) of ${\displaystyle \theta }$ from periapsis is broken into two steps:

1. Gerçek anomali ${\displaystyle \theta }$ kullanılarak ${\displaystyle E}$ hesaplamak
2. Dış merkezlilik anomalisi ${\displaystyle E}$ kullanılarak uçuş süresi ${\displaystyle t}$ni hesaplamak.

Belirli bir zamanda dış merkezlik anomalisini bulmak (problemin ters hali) daha zordur. Kepler denklemi ${\displaystyle E}$ aşkındır yani ${\displaystyle E}$ için cebirsel bir çözüm yoktur. Kepler denklemi ${\displaystyle E}$ için analitik olarak ter çevirme ile bulunabilir.

Kepler denklemi bütün reel ${\displaystyle \textstyle \epsilon }$ değerlerine göre çözümü şöyledir:

${\displaystyle E={\begin{cases}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{\frac {n}{3}}}{n!}}\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}\left({\frac {\theta }{\sqrt[{3}]{\theta -\sin(\theta )}}}^{n}\right)\right),&\epsilon =1\\\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{n}}{n!}}\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}\left({\frac {\theta }{\theta -\epsilon \cdot \sin(\theta )}}^{n}\right)\right),&\epsilon \neq 1\end{cases}}}$

Bu denklemi çözünce şuna ulaşılır:

${\displaystyle E={\begin{cases}\displaystyle x+{\frac {1}{60}}x^{3}+{\frac {1}{1400}}x^{5}+{\frac {1}{25200}}x^{7}+{\frac {43}{17248000}}x^{9}+{\frac {1213}{7207200000}}x^{11}+{\frac {151439}{12713500800000}}x^{13}\cdots \ |\ x=(6M)^{\frac {1}{3}},&\epsilon =1\\\\\displaystyle {\frac {1}{1-\epsilon }}M-{\frac {\epsilon }{(1-\epsilon )^{4}}}{\frac {M^{3}}{3!}}+{\frac {(9\epsilon ^{2}+\epsilon )}{(1-\epsilon )^{7}}}{\frac {M^{5}}{5!}}-{\frac {(225\epsilon ^{3}+54\epsilon ^{2}+\epsilon )}{(1-\epsilon )^{10}}}{\frac {M^{7}}{7!}}+{\frac {(11025\epsilon ^{4}+4131\epsilon ^{3}+243\epsilon ^{2}+\epsilon )}{(1-\epsilon )^{13}}}{\frac {M^{9}}{9!}}\cdots ,&\epsilon \neq 1\end{cases}}}$

Alternatif olarak, Kepler Denklemi sayısal olarak çözülebilir. Bunun için ilk olarak bir ${\displaystyle E}$ değeri tahmin edilir ve uçuş zamanı için kullanılır ardından ${\displaystyle E}$ değeri gerekli hassasiyete kadar istenen değere yakın bir uçuş-zamanı elde etmek için uyarlanır. Genellikle, Newton yöntemi yakınsamayı nispeten hızlı elde etmek için kullanılır.

Bu yaklaşımın ana zorluğu aşırı ekstrem eliptik yörüngeler için yakınsama aşırı zor ve uzun sürebilir. Paraboliğe yakın yörüngeler için dış merkezlilik ${\displaystyle \epsilon }$ neredeyse bire eşittir ve bu değeri ${\displaystyle e=1}$ formülünde ortalama ayrıklık için kullanınca, ${\displaystyle E-\sin E}$, kendimizi neredeyse birbirine eşit iki değeri birbirinden çıkarırken buluruz ev hesabın doğruluğu zarara uğrar. Çembersel şekle yakın yörüngeler için ilk etapta periapsis bulmak zordur (ve gerçekten çembersel yörüngeler hiç periapsis olmaz). Ayrıca, denklem eliptik bir yörünge varsayımı üzerinde elde edilmiştir yani parabolik veya hiperbolik yörüngeler için de geçerli değildir. Daha sonra Evrensel değişken bu sıkıntılar aşağıdaki evrensel değişken formülasyonunun gelişmesine yol açtı.

Basit prosedürler için, değişken elipsler için delta-v hesabı gibi, geleneksel yaklaşım oldukça etkilidir. Diğerleri, özellikle yakın dairesel ve hiperbolik yörüngeler için daha karmaşıktır.

Hohmann transfer yörüngesi gezegenler arası yörüngeler için yetersizdir çünkü gezegenin kendi kütlesini ihmal eder. Bir gezegenin çevresinde gezegenin yerçekimi uzay aracının hareketini domine eder ve çoğu durumda Hohmann delta-v değerini aşırı abartır yani ateşleme zamanında oldukça yanılır. Delta-v'nin birinci dereceden bir yaklaşımını almak için nispeten basit bir yol olan 'Yamalı Konik Yaklaşım' kullanılır. Yörüngeden geçen ve egemen olan cisim belirlenir ve sadece bu cismin o yörünge bölgesine etkisi modellenir. Örneğin Mars ile Dünya arası bir yörünge için Dünya'nın kütlesi sadece kütle çekiminin etki alanı boyunca hesaplanır. Uzay aracı bu yörünge için yeterli kaçış hızı ile gezegenler arası uzaya fırlatılmalıdır. Daha sonra, Mars'ın etki alanına yaklaşana kadar sadece Güneşin etkisi göz önünde bulundurulmalıdır. Bu aşama sırasında transfer yörünge modeli hesaplar için uygundur. Son olarak, yörüngenin Mars'ın kütlesince etki eden kısmında sadece Mars'ın etkisi göze alınmalıdır. Uzay aracı Mars'a hiperbolik bir yörünge ile yaklaşmalıdır ve son retrograd (geri, geriye) yönlü ateşleme aracın hızını Mars tarafından yakalanacak kadar düşürmelidir.

Etki alanı küresi'nin ${\displaystyle r_{SOI}}$ yarıçapı ile değişir:

${\displaystyle r_{SOI}=a_{p}\left({\frac {m_{p}}{m_{s}}}\right)^{2/5}}$

burada ${\displaystyle a_{p}}$ yörüngenin Güneş'e göre yarı-büyük ekseni; ${\displaystyle m_{p}}$ ve ${\displaystyle m_{s}}$ ise sırasıyla gezegenin ve Güneşin kütleleridir.

Bu basite indirgeme şekli kabaca gerekli yakıt miktarını ve uçuş zamanını hesaplamak için yeterlidir fakat genellikle uzay aracını varacağı noktaya rehberlik etmek için kullanmaya isabetsiz kalır. Yani, bunu yapmak için sayısal metot gerekir:

o 2-cisim sorununu çözmek için geleneksel yaklaşımlardaki hesaplama eksikliklerin giderilmesi, evrensel değişken formülasyonu sayesinde olmuştur. Çembersel, eliptik, parabolik ve hiperbolik yörünge durumlarında da işe yarar, diferansiyel denklemler de çözüme iyi derecede yakınsar. Ayrıca kökler teorisi ile birleşen problemler ile iyi bir şekilde genelleştirilebilir.

Evrensel değişken formülasyonu parametrelerin varyasyonu tekniği ile iyi çalışır, fakat bu durum şu ana kadar geçerlidir, Kepler'in 6 yörünge elamanı yerine başka bir yörünge elemanları kümesi kullanılır: Uydunun ilk konumu ve hız vektörü ${\displaystyle x_{0}}$ and ${\displaystyle v_{0}}$ (bilinen bir ${\displaystyle t=0}$ döneminde). İki cisim içeren simülasyonda bu elemanlar evrensel değişken formülasyonunda kullanılarak uydunun konumunu ve ileri bir durumdaki hızını belirlemek için yeterlidir. Aksine, uydunun yörüngedeki herhangi bir anda, konum ve hızını ölçebiliriz ve daha sonra evrensel değişken teorsis yaklaşımını kullanarak ilk konumunu ve epoch noktasındaki hızını hesaplayabiliriz. Tamamen mükemmel bir iki cisimli sistemde yörünge elemanları değişmez bir hal alır (tıpkı Kepler elemanlarının olacağı gibi)

Fakat, pertürbasyonlar yörünge öğelerinin zaman içinde değişmesine neden olur. Yani, pozisyon elemanını ${\displaystyle x_{0}(t)}$ şeklinde ve hız elemanını ${\displaystyle v_{0}(t)}$ şeklinde zamana bağlı olarak değiştiklerini göstererek yazarız. Düzensizliklerin etkisini hesaplamak için tekniği bulma ifadelerden biri olur. Ve bu gerçek yörüngeler basit modellerden küresel bir dünyaya göre farklı etkileri şunlardır:

• Ekvatoral çıkıntılar node(?) ve yerlerinde çıkarıma neden olur.
• Kütle çekim alanında Tesseral harmoniği^[2] ek karışıklık oluşturur
• Ay ve Güneşin kütle çekim karışıklığı yörüngeleri değiştirir.
• Atmosferik sürüklenme ek bir itki kullanılmaz ise yarı-büyük ekseni düşürür.

Çok büyük zaman aralıklarından sonra (yörüngede milyonlarca turdan sonra), çok küçük karışıklar bile dominant hale gelebilir ve yörüngedeki davranış kaotik olabilir. öte taraftan karışıklıklar (perturbations), zeki astrodinamikçiler tarafında yörünge bakım görevleri için düzenlenebilir, örneğin istasyon-bakımı, yer takibi bakım veya onarımı veya düşük irtifada seçili hedefleri kapsayacak şekilde yerberi aşamaları.

Bir uzay uçuşunda yörünge manevrası, itki kullanılarak aracın yörüngesinin değiştirilmesi olayıdır. Örneğin Dünyadan çok uzakta Güneş etrafında bir yörüngeye sahip bir uzay aracı için yörünge manevrası derin-uzay manevrası (DUM) olarak adlandırılır. Şablon:Kaynak needed (lead)

Transfer yörüngeleri genellikle eliptik olan ve bir yörüngeden diğer yörüngeye ulaşmak için kullanılan yörüngelerdir. Genellikle başında, sonunda ve bazen birkaç defada ortada bir ateşleme gerektirir.

• Hohmann transfer yörüngesi en düşük delta-v gerektirir.
• Bİr bi-elliptic transfer Hohmann transferden daha az enerji gerektirebilir fakat yörüngelerin oranı 11.94'e eşit veya büyük ise,^[3] ama Hohmann transferinin üzerinde bir sürede seyahat zamanı gerektirir.
• Daha hızlı transferler daha fazla delta-v pahasına hedef ve kaynak yörünge ile kesişen başka bir yörünge kullanabilir.
• Düşük itkili motor kullanmak (elektriksel itki gibi), ilk yörüngede en uygun transfer yörüngesi sürekli apogee hızın yönünde sokarak elde edilir son istenen dairesel yörüngeye supersynchronous... Fakat bu metot düşük itkiden dolayı daha fazla zaman alır.^[4]

Düzlemsel olmayan yörüngeler arasında transfer durumunda düzlem değişim itkisi yörünge düzlemlerinin kesişim noktasında yapılmalıdır. (the "node").

A Hohmann transfer from a low circular orbit to a higher circular orbit

A bi-elliptic transfer from a low circular starting orbit (dark blue), to a higher circular orbit (red)

Generic two-impulse elliptical transfer between two circular orbits

A general transfer from a low circular orbit to a higher circular orbit

An optimal sequence for transferring a satellite from a supersynchronous to a geosynchronous orbit using electric propulsion

Kütle çekim yardımının olduğu durumlarda, uzay aracı gezegenin etkisi ile savrulur ve farklı bir yönde ve fraklı bir hızda gezegenin etkisinden ayrılır. Bu yardım daha fazla yakıt taşımaktan daha fazla kullanışlıdır. Bu yardım ile yapılan manevra uzak mesafeler için herhangi bir fiziksel çarpışma olmamasına rağmen elastik çarpışma gibi düşünülebilir. Newton'un 3. hareket kanunundan (etki aynı güçte tepki yaratır) dolayı bir uzay aracı tarafından elde edilen momentum gezegen tarafından kayıp edilmiş olmalı ya da tam tersi. Fakat, gezegen uzay aracına göre çok çok daha fazla kütleye sahip olduğundan aracın gezegenin yörüngesine etkisi ihmal edilebilir düzeydedir. Oberth efekti kütle çekim yardımı operasyonunda düşünülebilir. Bu etki ateşleme sisteminin kullanımı bu yöntemle yüksek hızlarda daha iyi çalışır ve dolayısı ile değişimler gezegenin yörüngesine yakın iken daha etkilidir, yani bu durum delta-v'nin daha efektif kullanılmasıdır.

Şimdi rota aramak için bilgisayarları, Güneş sistemindeki gezegenlerin ve uyduların doğrusalsızlığından faydalanarak, kullanmak mümkün. Örneğin, Dünya'nın yükseklerinde olan ve Trojan noktalarından geçen bir yörüngeden Mars'a yörünge grafiklemek mümkündür.^{[kaynak belirtilmeli]}. Ortaklaşa Gezegenler arası taşıma ağı olarak adlandırılan bu sistemde belirsiz hatta kaotik yörüngeler hiç yakıt kullanmadan Lagrange noktasına ulaşabilirler (yörünge tutarak n uygulamada bazı düzeltmeler gerektirir).

Onlarla en büyük sorun, son derece yavaş olmaları ve yıllarca sürebilmeleri. Ayrıca ateşleme pencereleri çok fazla uzakta olabilir.

Fakat yine de Genesis gibi projelerde görevlendirildiler. Bu uzay aracı L₁ Dünya-Güneş noktasına ulaştı ve çok az propilen kullanarak geri döndü.