De Moivre formülü

Matematikte de Moivre formülü, 18. yüzyıl Fransız matematikçisi Abraham de Moivre anısına isimlendirilmiş ve herhangi bir karmaşık sayı (özellikle herhangi bir gerçel sayı x ve herhangi bir tam sayı n) için şu ifadenin geçerli olduğunu önerir:

${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{n}=\cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right).\,}$

Bu formülün önemi (burada önünde i sanal birim ifade ile verilmiş olan) karmaşık sayılar ile trigonometri arasındaki bağlantıyı açıklamasındadır.

Bu formülde "cos x + i sin x" bazen "cis x" olarak kısaltılabilir.

Formülün sol tarafi binom teoremi kullanarak açılıp gerçel kısmına ve sanal kısmına yeni şekil verilirse, cos(nx) ve sin(nx) için yalnızca sin(x) ve cos(x) kullanan uygulamalı matematikde çok önemli ifadeler elde edilir.

Bu formülün diğer bir uygulaması ise De Moivre sayısı adı verilen birimin köklerini (yani 1in köklerini) karmaşık sayılar (yani zⁿ = 1 ise zkarmaşık sayıları) ile ifade edilmesini sağlamasıdır

Tarihi olarak başka şekilde ispat edilmekle beraber, de Moivre'in formülü Euler formülünü kullanarak hemen şöyle ispat edilebilir:

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\,}$

ve üstel yasaya göre

${\displaystyle \left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}.\,}$

O halde Euler formülü ile,

${\displaystyle e^{i(nx)}=\cos(nx)+i\sin(nx)\,}$. olur.

Üç değişik hal ele alınabilir:

Eğer n > 0 ise, matematiksel tümevarım ile şöyle ilerleyebiliriz.

Eğer n = 1 ise, sonuç açıkça geçerlidir. Hipotezimiz için, sonucun bir tam sayı olan k için geçerli olduğunu varsayalım. Yani varsayımımız şu olsun:

${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{k}=\cos \left(kx\right)+i\sin \left(kx\right).\,}$

Şimdi n = k + 1 halini ele alalım:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\left(\cos x+i\sin x\right)^{k+1}&=\left(\cos x+i\sin x\right)^{k}\left(\cos x+i\sin x\right)\\&=\left[\cos \left(kx\right)+i\sin \left(kx\right)\right]\left(\cos x+i\sin x\right)&&\qquad {\mbox{enduksiyon hipotezine gore}}\\&=\cos \left(kx\right)\cos x-\sin \left(kx\right)\sin x+i\left[\cos \left(kx\right)\sin x+\sin \left(kx\right)\cos x\right]\\&=\cos \left[\left(k+1\right)x\right]+i\sin \left[\left(k+1\right)x\right]&&\qquad {\mbox{ trigonometrik ozdesliklere gore}}\end{alignedat}}}$

Bundan, eğer sonucun, n = k için geçerli olması halinde, n = k + 1 için de geçerli olduğu anlamına varılır. Öyle ise, matematik endüksiyon prensipine göre, tüm pozitif tam sayılar için (yani n≥1 için) bu sonuç geçerli olur.

Eğer n = 0 ise, ${\displaystyle \cos(0x)+i\sin(0x)=1+i0=1}$ olduğu için ve konvansiyonel olarak ${\displaystyle z^{0}=1}$ olarak verildiği için, bu formül geçerlidir.

Eğer n < 0 ise, n = -m olduğu zaman bir pozitif tam sayı m ele alsın. O halde

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}&=\left(\cos x+i\sin x\right)^{-m}\\&={\frac {1}{\left(\cos x+i\sin x\right)^{m}}}\\&={\frac {1}{\left(\cos mx+i\sin mx\right)}}\\&=\cos \left(mx\right)-i\sin \left(mx\right)\\&=\cos \left(-mx\right)+i\sin \left(-mx\right)\\&=\cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right).\end{aligned}}}$

Böylelikle, teorem nin tüm tam sayı değerleri için geçerlidir.

Karmaşık sayıların eşitliğini gösterdiği için bu denklemin hem gerçel kısımları hem de sanal kısımları ayrı ayrı birbirine eşit olmalıdır. Eğer x (ve bundan dolayı ${\displaystyle \cos x}$ ve ${\displaystyle \sin x}$) gerçel sayılar ise, o zaman bu kısımların özdeşlikleri (taraf değiştirilerek) şöyle yazılabilir:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(nx)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(\cos x)^{k}\,(\sin x)^{n-k}\,\sin {\frac {(n-k)\pi }{2}}\\\cos(nx)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(\cos x)^{k}\,(\sin x)^{n-k}\,\cos {\frac {(n-k)\pi }{2}}\end{aligned}}}$

Bu denklemler xin karmaşık değerleri için geçerlidir. Buna neden, her iki tarafın da x in holomorf fonksiyonları olması ve gerçel eksende birbiriyle çakışan bu şekildeki iki fonksiyonun karmaşık düzeyde de mutlaka birbiriyle çakışması gereğidir.

Bu denklemlerin örnek ifadeleri olarak ${\displaystyle n=2}$ ve ${\displaystyle n=3}$ için şu sonuçlar çıkarılır:

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos 2x&=\left(\cos x\right)^{2}+\left(\left(\cos x\right)^{2}-1\right)&&=2\left(\cos x\right)^{2}-1\\\sin 2x&=2\left(\sin x\right)\left(\cos x\right)\\\cos 3x&=\left(\cos x\right)^{3}+3\cos x\left(\left(\cos x\right)^{2}-1\right)&&=4\left(\cos x\right)^{3}-3\cos x\\\sin 3x&=3\left(\cos x\right)^{2}\left(\sin x\right)-\left(\sin x\right)^{3}&&=3\sin x-4\left(\sin x\right)^{3}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle \cos(nx)}$ için formülün sağ tarafı gerçekte ${\displaystyle \cos x}$ değerli Çebişev polinomu olan ${\displaystyle T_{n}}$ ifadesinin n(cosx) değeridir.

Bu formül yukarıda verilen hallerden daha geniş hallerde de geçerlidir. Eğer z ve w karmaşık sayılarsa, o halde

${\displaystyle \left(\cos z+i\sin z\right)^{w}}$

bir çokludeğerli fonksiyon olur ve

${\displaystyle \cos(wz)+i\sin(wz)\,}$

ise bir çokludeğerli fonksiyon olmaz. Böylece

${\displaystyle \cos(wz)+i\sin(wz)\,}$ ifadesi sunun bir parcasidir ${\displaystyle \left(\cos z+i\sin z\right)^{w}\,}$.

Bu formül bir karmaşık sayı için ninci kökleri bulmak için kullanılabilir. Eğer ${\displaystyle z}$ bir karmaşık sayı ise bu polar koordinatlı olarak şu şekilde yazılabilir:

${\displaystyle z=r\left(\cos x+i\sin x\right)\,}$

O halde

${\displaystyle z^{{}^{\frac {1}{n}}}=\left[r\left(\cos x+i\sin x\right)\right]^{{}^{\frac {1}{n}}}=r^{{}^{\frac {1}{n}}}\left[\cos \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)\right]}$

olur. Burada ${\displaystyle k}$ tam sayıdır. ${\displaystyle z}$ için ${\displaystyle n}$ tane değişik kök bulmak için ${\displaystyle k}$ nin ${\displaystyle 0}$ den ${\displaystyle n-1}$e aralığını incelemek gerekir.

• Birimin kökü
• Abraham de Moivre

• Abramowitzm,M. ve Stegun,I.A. (1964) Handbook of Mathematical Functions, New York, Dover Publications, say. 74 (ISBN 0-486-61272-4) (İngilizce)
• De Moivre's Theorem for Trig Identities8 Aralık 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. haz.: Michael Croucher, Wolfram Gösterim Projesi (İngilizce)