Klein-Gordon denklemi

Klein-Gordon Denklemi, (bazı kaynaklarda Klein-Fock-Gordon Eşitliği olarak da ifade edilir) Schrödinger denkleminin bağıl/göreli (relativistik) olan versiyonudur ve atomaltı fizikte kendi ekseni etrafında dönmeyen parçacıkları tanımlamada kullanılır. Oskar Klein ve Walter Gordon tarafından bulunmuştur.

Serbest bir parçacık için Schrödinger denklemi aşağıdaki gibidir.

${\displaystyle {\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}+V\psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi }$

burada ${\displaystyle \mathbf {p} =-i\hbar \mathbf {\nabla } }$ momentum operatörü, ${\displaystyle \nabla }$ ise del operatörüdür.

Hamiltonyen işlemcisi (Ĥ);

${\displaystyle H={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}+V}$

Hamiltonyen işlemcisi, toplam enerjiyi karakterize eden ve içinde (kinetik enerjiyi + potansiyel enerjiyi) barındıran bir operatördür.

Schrödinger denklemi Einstein'ın Özel Görelilik Kuramı'nı hesaba katmadığı için özellikle atomaltı parçacık hesaplamalarında yetersiz kalır.

Özel Görelilik Kuramı'ndan enerjinin tanımını ihraç edip

${\displaystyle E={\sqrt {\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}}$

sonra, bu formüle kuantum mekanik momentum operatörünü eklediğimizde,

${\displaystyle {\sqrt {(-i\hbar \mathbf {\nabla } )^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}\psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi .}$

sonucunu alırız. Ancak bu eşitlik karekökten dolayı gayrilokal ve düzensiz bir yapıdadır ve bu yüzden Klein ve Gordon eşitliğin daha objektif bir versiyonunu tümdengelmişlerdir.

${\displaystyle (\Box ^{2}+\mu ^{2})\psi =0,}$

burada

${\displaystyle \mu ={\frac {mc}{\hbar }}\,}$

ve

${\displaystyle \Box ^{2}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\,}$ olur.

Bu yeni operatöre d'Alembert operatörü denir ve günümüzde skaler (sıfır rotasyonlu) parçacıklar için alan denklemi olarak kullanılmaktadır.

Serbest bir parçacığın Klein-Gordon denklemi aşağıdaki gibi yazılabilir.

${\displaystyle \mathbf {\nabla } ^{2}\psi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi ={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi }$

Yukarıdaki ifadenin göreli olmayan versiyonu ise bu şekilde ifade edilebilir:

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)=e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}}$

Ancak elbette bu durumda,

${\displaystyle -k^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}.}$

engeli oluşacaktır. Göreli olmayan parçacıklarda olduğu gibi, aynı ifadenin enerji ve momentum için olan versiyonları,

${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =\langle \psi |-i\hbar \mathbf {\nabla } |\psi \rangle =\hbar \mathbf {k} ,}$

ve

${\displaystyle \langle E\rangle =\langle \psi |i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle =\hbar \omega .}$

şeklinde formüle edilir. Bu noktada eşitliği k ve ω bilinmeyenleri için çözüp yukarıda değindiğimiz engel denklemine ihraç ettiğimizde m>0 kütleli parçacıkların enerji ve momentum değerleri arasındaki bağlantıyı formüle etmiş oluruz.

${\displaystyle \left.\right.\langle E\rangle ^{2}=m^{2}c^{4}+\langle \mathbf {p} \rangle ^{2}c^{2}.}$

Kütlesiz parçacıklar için, yukarıdaki denklemde m`i 0 olarak alabiliriz. Bu durumda kütlesiz parçacığın enerji ve momentumu arasında,

${\displaystyle \left.\right.\langle E\rangle =\langle |\mathbf {p} |\rangle c.}$

ilişkisine ulaşırız.

Klein-Gordon denklemi aşağıdaki aksiyom kullanılarak tümdengelinebilir.

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int \mathrm {d} ^{4}x\left({\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\phi ^{2}\right)}$

burada ${\displaystyle \phi }$ Klein-Gordon alanını, ${\displaystyle m}$ ise kütleyi ifade etmektedir.

• Dirac denklemi
• Kuantum alan kuramı
• Skalar alan
• Schrödinger denklemi
• Klein-Gordon denkleminin matematiksel argümanları bu sayfada tartışılmıştı: Dispersive PDE Wiki.

• "Lineer Klein-Gordon Denklemi" (PDF). EqWorld: Matematik Denklemleri Dünyası. Rusya. 24 Mayıs 2005 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. 
• "Gayri-Lineer Klein-Gordon Denklemi" (PDF). EqWorld: Matematik Denklemleri Dünyası. Rusya. 24 Mayıs 2005 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. 
• "Klein-Gordon denkleminin genellemesi" (PDF). ABD. 28 Eylül 2007 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi.