Tersçapraz

Bu madde hiçbir kaynak içermemektedir. Lütfen güvenilir kaynaklar ekleyerek madde içeriğinin geliştirilmesine yardımcı olun. Kaynaksız içerik itiraz konusu olabilir ve kaldırılabilir. Kaynak ara: "Tersçapraz" – haber · gazete · kitap · akademik · JSTOR (Temmuz 2024) (Bu şablonun nasıl ve ne zaman kaldırılması gerektiğini öğrenin)

Bu madde veya bölüm transpoz adlı maddeye çok benzemektedir ve bu iki maddenin tek başlık altında birleştirilmesi önerilmektedir. Birleştirme işlemi yapıldıktan sonra sayfaya {{Geçmiş birleştir}} şablonunu ekleyiniz.

Doğrusal cebirde, bir A dizeyinin tersçaprazı (transpose) A^T şeklinde ifade edilir (diğer gösterimler A′, A^tr or A^t). Bir dizeyin tersçaprazı aşağıdaki şekillerde elde edilebilir:

• A dizeyinin ilkköşegene göre yansıması alınarak A^T elde edilir,
• A dizeyinin satırları A^T dizeyinin sütünları olarak yazınca elde edilir,
• veya A dizeyinin sütünları A^T dizeyinin satırları olarak yazılınca elde edilir.

A^T dizeyinin (i,j) ögesi A dizeyinin (j,i) ile gösterilen ögesine eşittir:

${\displaystyle [\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }]_{ij}=[\mathbf {A} ]_{ji}}$

Eğer A dizeyi m × n bir dizey ise A^T dizeyi n × m bir dizeydir. Bir sayılın (skaler) tersçaprazı yine o sayıldır.

• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}.}$

• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}.}$

• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}.\;}$

A, B dizeyleri ve c sayılı için aşağıdaki özellikler geçerlidir:

1. ${\displaystyle (\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} \quad \,}$

   Bir dizeyin tersçaprazının tersçaprazı kendisidir.

2. ${\displaystyle (\mathbf {A} +\mathbf {B} )^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }+\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\,}$

   Toplama işlemine göre yukardaki gibi dağıtılabilir.

3. ${\displaystyle \left(\mathbf {AB} \right)^{\mathrm {T} }=\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\,}$

   Dizey çarpımının tersçaprazı yukardaki gibidir; dizeylerin çarpımının sırası değişir ve iki dizeyinde tersçaprazı alınır. Dizey çarpımında sıra değişikliğine dikkat edilmesi gereklidir.

4. ${\displaystyle (c\mathbf {A} )^{\mathrm {T} }=c\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\,}$

   Sayıl ile dizey çarpımının tersçaprazı alınırken sayıl olduğu gibi bırakılır ve dizeyin tersçaprazı alınır. Sayılın tersçaprazı kendisine eşittir ve dizey ile sayıl çarpılırken çarpımın sırası önemli değildir.

5. ${\displaystyle \det(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })=\det(\mathbf {A} )\,}$

   Kare bir dizey için dizeyin dizey değerliği (determinantı) ile o dizeyin tersçaprazının dizey değerliği aynıdır.

6. İki yöneyin, a ve b, nokta çarpımı aşağıdaki gibi hesaplanabilir:

   ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b} ,}$

   bu çarpımda a_i bⁱ şeklinde Einstein gösterimi kullanılarak yazılabilir. Burada i alt imi ve i üst iminin aynı olması i üzerinden toplama yapılacağı manasına gelmektedir.
7. ${\displaystyle (\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })^{-1}=(\mathbf {A} ^{-1})^{\mathrm {T} }\,}$

   Tersi alınabilir bir dizeyin tersçaprazının da tersi alınabilir. Yukarıdaki A dizeyinin tersçaprazının tersi ile tersinin tersçaprazı birbirine eşittir. Herhangi bir dizeyin tersinin tersçaprazının tersi kendisine eşittir. A^−T şeklinde yazım yukardaki eşitlikteki sağ veya sol taraftaki terimlerden herhangi birini ifade etmek için kullanılır.

8. Eğer A kare bir dizey ise bu dizeyin özdeğerleri ile tersçaprazlarının özdeğerleri birbirine eşittir.