اختبار المشتقة الثانية

في علم التفاضل، يعد اختبار المشتقة الثانية معيار ذا أهمية لمعرفة نوع النقطة الساكنة للدالة (عظمى، صغرى أم انقلاب) عند النقطة المعنية.^[1] ينص الفحص على أنه: إذا كانت الدالة f قابلة للاشتقاق مرتين عند نقطة ساكنة xبمعنى أنه ${\displaystyle \ f^{\prime }(x)=0}$, فإن:

• إذا كانت ${\displaystyle \ f^{\prime \prime }(x)<0}$ فإن ${\displaystyle \ f}$ لها نهاية عظمى محلية عند ${\displaystyle \ x}$.
• إذا كانت ${\displaystyle \ f^{\prime \prime }(x)>0}$ فإن ${\displaystyle \ f}$ لها نهاية صغرى محلية ${\displaystyle \ x}$.
• إذا كانت ${\displaystyle \ f^{\prime \prime }(x)=0}$,لاينص اختبار المشتقة الثانية على شيء عن النقطة ${\displaystyle \ x}$, يمكن أن تكون نقطة انقلاب.

في الحالة الأخيرة، بالرغم من أن الدالة قد يكون لها قيمة عظمى محلية أو صغرى محلية عند x, لأن الدالة «مسطحة» بما يكفي (أي أن ${\displaystyle \ f^{\prime \prime }(x)=0}$) القيم العظمى والصغرىتظل غير محسوسة بالاشتقاق الثاني. في حالة كهذه يفضل اختبار المشتقة الثالثة. النقطة عند ${\displaystyle \ f^{\prime \prime }(x)=0}$ تكون نقطة انقلاب إذا تغير تقعرها من أي من الجانبين. عل سبيل المثال, (0,0) هي نقطة انقلاب على ${\displaystyle \ f(x)=x^{3}}$ لأن ${\displaystyle \ f^{\prime \prime }(0)=0}$, و${\displaystyle \ f^{\prime \prime }(-1)<0}$ و${\displaystyle \ f^{\prime \prime }(1)>0}$.

لنفرض أن ${\displaystyle f''(x)>0}$ (إثبات أن ${\displaystyle f''(x)<0}$ متصلة). حينئذ

${\displaystyle 0<f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-0}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)}{h}}.}$

بالتالي، من أجلh صغيرة بما يكفي نحصل على

${\displaystyle {\frac {f'(x+h)}{h}}>0}$

ما يعني أن

${\displaystyle f'(x+h)<0}$ إذا كانت h < 0, و

${\displaystyle f'(x+h)>0}$ إذا كانت h > 0.

الآن، من اختبار المشتقة الأولى نعلم أن ${\displaystyle f}$ لها نقطة محلية صغرى عند ${\displaystyle x}$.

• الاشتقاق
• النقاط العظمى والصغرى
• نقطة انقلاب