Геометрия
Тази статия е за клона на математиката. За труда на Рене Декарт вижте Геометрия (Рене Декарт).
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/13/Teorema_de_desargues.svg/250px-Teorema_de_desargues.svg.png)
Геометрията (от старогръцки: γεωμετρία; от γῆ-, „земя“, и μέτρον, „измерване“) е клон на математиката, един от най-ранните, наред с аритметиката. Той изучава свойствата на пространството, свързани с разстояние, форма, размер и относително положение на обектите в него.[1]
До XIX век геометрията остава почти изцяло ограничена до създадената през Античността Евклидова система, базирана на фундаментални концепции, като точка, права, равнина, разстояние, ъгъл, повърхнина и крива.[2]
Няколко открития през XIX век разширяват драматично обхвата на геометрията. Едно от първите сред тях е Гаусовата превъзходна теорема, според която гаусовата кривина на дадена повърхнина е независима от вместването ѝ в определено евклидово пространство. От това следва, че повърхнините могат да бъдат изследвани сами по себе си, въз основа на което са развити теорията на многообразията и римановата геометрия. По-късно през XIX век се установява, че без да се стига до вътрешни противоречия може да се развият геометрии, нарушаващи аксиомата за успоредните прави – неевклидови геометрии. Не след дълго те намират практическо приложение в области на физиката, като общата теория на относителността.
През следващите десетилетия обхватът на геометрията продължава да се разширява и в нея се разграничават множество подобласти, въз основа на използваната методология – диференциална геометрия, алгебрична геометрия, изчислителна геометрия, алгебрична топология, дискретна геометрия и т.н. – или на игнорираните свойства на евклидовите пространства – проективна геометрия (отчита само разположението на точките, но не и разстоянията и успоредността), афинна геометрия (пренебрегва ъглите и разстоянията), крайна геометрия (пренебрегва непрекъснатостта) и други.
Първоначално създадена като модел на физичния свят, геометрията има приложения в почти всички природни науки, както и в изобразителното изкуство, архитектурата и други дейности, свързани с графиката.[3] Геометрията намира приложение и в области на математиката, които на пръв поглед нямат нищо общо с нея. Например, методите на алгебричната геометрия са в основата на доказателството на Андрю Уайлс на последната теорема на Ферма, задача, първоначално поставена в контекста на елементарната аритметика и останала неразрешена в продължение на столетия.
История[редактиране | редактиране на кода]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8d/P._Oxy._I_29.jpg/250px-P._Oxy._I_29.jpg)
Най-старите свидетелства за наченки на геометрия са от древните Месопотамия и Египет от II хилядолетие пр. Хр.[4][5] Ранната геометрия е набор от емпирично установени отношения между дължини, ъгли, площи и обеми, изведени, заради практичните нужди на земемерството, строителството, астрономията и различни занаяти. Най-ранните текстове, посветени на геометрията, са египетските Папирус на Ахмес (ок. 2000 – 1800 пр. Хр.) и Московски математически папирус (ок. 1890 пр. Хр.) и вавилонски глинени таблички, като „Плимптън 322“ (ок. 1900 пр. Хр.). Например, Московският папирус включва формула за изчисляване на обема на пресечена пирамида.[6] По-късни глинени таблички (350 – 50 пр. Хр.) показват, че вавилонските астрономи използват геометрията на трапеца за изчисляване на движението на Юпитер в пространството време-скорост, изпреварвайки с 14 столетия Оксфордските калкулатори и тяхната теорема за средната скорост.[7] В Нубия също създават своя оригинална геометрична система, включваща ранни варианти на слънчеви часовници.[8][9]
През VII век пр. Хр. гръцкият математик Талес използва геометрия, за решаването на задачи като изчисляването на височината на пирамиди и разстоянието на кораби от брега. На него се приписва първата употреба на дедуктивни разсъждения в геометрията при извеждането на четири следствия от теоремата на Талес.[10]Питагорейската школа оставя първото известно доказателство на питагоровата теорема,[11] макар самата теорема да е известна дълго преди това.[12][13] През IV век пр. Хр. Евдокс от Книд създава метода на изчерпването, с който се изчисляват площи и обеми на криволинейни фигури,[14] както и теория на съотношенията, която избягва проблема с несъизмеримите величини и става основа на значителен напредък в по-късната геометрия.
Към 300 година пр. Хр. александрийският учен Евклид прави революция в геометрията. Неговите „Елементи“, често определяни като най-успешният и най-влиятелен учебник в историята,[15] въвежда аксиоматичния метод на строги доказателства и става първият пример на формат, използван в математиката и в наши дни – на дефиниции, аксиоми, теореми и доказателства. Макар голяма част от съдържанието на „Елементи“ да е известна от по-рано, Евклид го подрежда в единна съгласувана логична рамка.[16] „Елементи“ остават добре известни сред образованите хора на Запад до средата на XX век, а съдържанието им понякога се използва в преподаването на геометрия и в наши дни.[17] През III век пр. Хр. Архимед използва метода на изчерпването за изчисляване на площта под парабола и изчислява с голяма точност стойността на съотношението π.[18] Той изследва също архимедовата спирала и извежда формули за обема на ротационни повърхнини.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d4/Woman_teaching_geometry.jpg/190px-Woman_teaching_geometry.jpg)
Индийските математици също работят в областта на геометрията. „Шатапатха Брахмана“ (III век пр. Хр.) съдържа правила за ритуални геометрични построения, подобни на тези в още по-старите Шулбасутри.[19] Шулбасутрите включват най-старото известно словесно описание на питагоровата теорема, макар че още преди тях тя вече е известна на древните вавилонци.[20] В Бахшалийския ръкопис (датиран различно между III-IV век и IX-X век) са включени няколко геометрична задачи, включително за обем на неправилни тела.[21] Арябхата (VI век) описва начини за изчисляване на площи и обеми. Брахмагупта (VII век) извежда известната си теорема за диагоналите на вписан четириъгълник и формула за лицето му (обобщение на хероновата формула и разглежда свойствата на триъгълниците с рационални страни и площи.[22]
Средновековната ислямска математика също допринася за развитието на геометрията, особено на алгебричната геометрия.[23][24] Ал-Махани (IX век) предлага идеята за редуциране на геометрични задачи, като тази за удвояването на куба, до алгебрични.[25] По същото време Сабит ибн Кура се занимава с аритметични действия, приложени върху отношенията на геометрични величини, допринасяйки за появата на аналитичната геометрия.[26] Омар Хаям предлага геометрични решения на кубични уравнения с използване на пресичащи се конични сечения, подход, използван и преди това от автори като Менехм, Архимед и Ибн ал-Хайтам, но той ги обобщава, така че да обхвящат всички кубични уравнения с положителни корени.[27] Теоремите на Ибн ал-Хайтам, Омар Хаям и Насир ад-Дин ат-Туси за четириъгълниците са ранни резултати на хиперболичната геометрия и предизвикват интереса на по-късни европейски геометри, като Витело, Леви бен Гершом, Джон Уолис и Джовани Джироламо Сакери, към въпроса за възможността на неевклидовите геометрии.[28]
Началото на XVII век донася две нови насоки на напредък в геометрията. Първата е създаването на аналитичната геометрия, основана на координати и уравнения, от Рене Декарт и Пиер дьо Ферма.[29] Тя се оказва необходимото предусловие за развитието на математическия анализ и прецизното количествено изучаване на физиката.[30] Второто направление в развитието на геометрията през този период е систематичното разработване на проективната геометрия от Жирар Дезарг.[31] Проективната геометрия изследва свойствата на фигурите, които остават непроменени от проекциите, особено във връзка с перспективата в изобразителното изкуство.[32]
През XIX век развитието на две други области променят из основи посоката на развитие на геометрията.[33] Това са откриването на неевклидовите геометрии от Николай Лобачевски, Янош Бояй и Карл Фридрих Гаус и формулирането на симетрията като централна концепция в Ерлангенската програма на Феликс Клайн, която обобщава евклидовата и неевклидовите геометрии. Двама от водещите геометри на епохата са Бернхард Риман, който работи главно с методите на анализа и въвежда римановата повърхнина, и Анри Поанкаре, създателят на алгебричната топология и геометричната теория на динамичните системи. В резултат на тези фундаментални промени в разбирането за геометрията, концепцията за пространство се разширява, превръщайки се в основа на теории в различни области – от комплексния анализ до класическата механика.[34]
Основни концепции[редактиране | редактиране на кода]
Аксиоми[редактиране | редактиране на кода]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ed/Parallel_postulate_en.svg/220px-Parallel_postulate_en.svg.png)
В своите „Елементи“ Евклид възприема абстрактен подход към геометрията,[35] който и днес играе централна роля в математиката.[36] Той въвежда няколко предварително приети твърдения – аксиоми, – изразяващи основни или самоочевидни свойства на геометричните обекти,[37] от които чрез разсъждения извежда цяла система от други свойства и зависимости.[38]
Петте аксиоми на евклидовата система са:
- Възможно е да се построи права от всяка точка до всяка друга точка
- Възможно е всяка отсечка да се удължи без прекъсване и в двете посоки
- Възможно е да се построи окръжност с произволен център и произволен радиус
- Вярно е, че всички прави ъгли са равни един на друг
- Вярно е, че ако права пресича две прави с вътрешни ъгли от едната ѝ страна, по-малки от два прави ъгъла, двете прави се пресичат от тази страна на първата права (аксиома за успоредните прави)
През XIX век развитието на геометрията показва, че непротиворечиви геометрични системи – наричани неевклидови геометрии – могат да бъде изведени и без използването на аксиомата за успоредните прави.[39] Това откритие предизвиква нов интерес към въпроса за необходимите аксиоми в геометрията, като Давид Хилберт изгражда нова аксиоматична система като основа на съвременната геометрия.[40]
Обекти[редактиране | редактиране на кода]
Дължина, площ и обем[редактиране | редактиране на кода]
Еднаквост и подобие[редактиране | редактиране на кода]
Размерност[редактиране | редактиране на кода]
Симетрия[редактиране | редактиране на кода]
Области[редактиране | редактиране на кода]
Евклидова геометрия[редактиране | редактиране на кода]
Евклидовата геометрия е математическа система, разработена в Египет от древногръцкия математик Евклид от Александрия през III век пр.н.е. Неговото съчинение „Елементи“ е завършен труд върху геометрията, който става една от най-известните и влиятелни книги в математиката и историята на човечеството като цяло. Евклид въвежда малък на брой аксиоми – 22, и на тяхна основа доказва много други твърдения (теореми). Той пръв показва как тези твърдения могат да се обобщят в една дедуктивна логическа математична система. „Елементите“ на Евклид започват с равнинна геометрия и съдържат първите примери за математически доказателства. Те също така включват и пространствена геометрия в тримерно пространство, наричана още стереометрия. Евклидовата геометрия е разширена и за някои крайни измерения. Аксиомите на Евклид са съвсем очевидни и лесно доказуеми в практиката, не е трудно човек да се убеди във верността им, затова те остават единствените в продължение на 2000 години.
Стереометрията е дял от евклидовата геометрия, който изучава главно геометрични фигури в тримерното пространство. Тя изследва свойствата на фигурите, които не се изменят при движения в пространството и измерва обемите на различни тела като цилиндър, конус, пресечен конус, сфера, призма и други. В стереометрията основният подход, както и в планиметрията и дескриптивната геометрия е синтетичният подход. Името стереометрия се среща още в съчиненията на древногръцкия философ Аристотел, живял през IV в. пр.н.е. и възниква във връзка с практичните нужди на хората – измерване на лица и обеми, строеж на жилища и обществени сгради, отбранителни съоръжения и други. Пирамидата, призмата, конусът и цилиндърът не са изследвани преди времето на Платон.
Изследванията на египетските пирамиди, построени около 4000 г. пр.н.е., показват, че при изграждането им египтяните са разполагали със значителни познания по стереометрия.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0c/Pentagon-construction.svg/220px-Pentagon-construction.svg.png)
Построенията с линийка и пергел са класически геометрични задачи за построение на търсена отсечка само с помощта на два чертожни инструмента, а именно линийка и пергел. Линийката служи за построяване на прави линии, а пергела за окръжности. Те не могат да бъдат заменени от триъгълник или транспортир. Аналитично погледнато, задачата за построение с линийка и пергел има за цел да изрази търсената отсечка посредством рационални математически операции и образуване на квадратен корен. Тези построения се изучават в България в 5 клас. Тези построения използват евклидовата геометрия.
Диференциална геометрия[редактиране | редактиране на кода]
Диференциалната геометрия е дял от геометрията, в който геометричните обекти се изучават с методите на математическия анализ и по-специално диференциалното смятане и теорията на диференциалните уравнения. Основен принос за обособяването на диференциалната геометрия като отделен дял от геометрията има Карл Фридрих Гаус.
При изследвания на пространства и многообразия в диференциалната геометрия се въвеждат координати по подобие на въвеждането на координати в аналитичната геометрия. В тези пространства се влагат други геометрични обекти – например криви и повърхнини, които се задават чрез уравнения и достатъчен брой пъти диференцируеми функции.
Неевклидови геометрии[редактиране | редактиране на кода]
Неевклидовата геометрия е общ термин, обединяващ хиперболичната и елиптичната геометрия или всяка друга геометрия, която не е евклидова. Макар да е обобщено понятие, под него обикновено се подразбира сферична геометрия и геометрия на Лобачевски. Основната разлика между евклидовата и неевклидовата геометрия е естеството на успоредните прави. В евклидовата геометрия, ако са дадени права l и точка A, нележаща на l, то през A може да се прекара само една права, успоредна на l. В хиперболичната геометрия съществуват безброй много прави през A, успоредни на l, а в елиптичната геометрия не съществуват паралелни прави.
Друг начин да се опишат разликите между тези геометрии е ако човек си представи две прави в една двумерна повърхност, които са перпендикулярни на трета права. В евклидовата и хиперболичната геометрия тези две прави са успоредни. В евклидовата геометрия обаче тези две прави остават на еднакво разстояние една от друга, докато в хиперболичната геометрия те се отдалечават една от друга, увеличавайки разстоянието помежду си с отдалечаването от точката на пресичане с общия перпендикуляр. В елиптичната геометрия линиите се приближават една към друга и на края се пресичат – следователно в елиптичната геометрия не съществуват успоредни линии.
Топология[редактиране | редактиране на кода]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bf/Omnitruncated_120-cell_net.png/220px-Omnitruncated_120-cell_net.png)
Топологията е раздел на геометрията и се занимава с явленията на непрекъснатост. Тя изследва начините по които фигурите се деформират, без да променят основните си елементи. Първите сериозни трудове по топология могат да бъдат открити в работите на немските математици А. Мьобиус и Листинг от средата на 19 век. Листинг пръв въвежда термина топология около 1847 година. За баща на топологията се смята Анри Поанкаре, който според Мьобиус дава на топологията отправна точка с основополагащите си трудове от края на XIX век. Топологията се дели условно на алгебрична и обща.
Интересни открития в областта са Мьобиусовият лист и Клайновата бутилка. Мьобиусовият лист е лента, която има само една страна и един ръб. Получава се чрез полуусукване на обикновена лента. Клайновата бутилка има същото свойство, но е обемна фигура.
Алгебрична и аналитична геометрия[редактиране | редактиране на кода]
Аналитичната геометрия е дял от математиката, която с помощта на алгебрични средства изследва геометричните обекти въз основа на въведени координати и координатни системи. Тя дава възможността на геометричните обекти (|точки, прави, криви, равнини, повърхнини) да се съпоставят числа, които ги отличават едни от други.
Основите на тази математическа дисциплина са поставени от Рене Декарт (1596 – 1650) и Пиер дьо Ферма (1601 – 1665), а детайлното ѝ развитие е дело на Леонард Ойлер (1707 – 1783). Терминът „аналитична“ е въведен от Исак Нютон (1643 – 1727) в негов труд от 1671 г., издаден посмъртно през 1736 г. Аналитичната геометрия служи за основа за нови клонове на математиката, като например диференциалната геометрия, в която е внесен инструментариумът на математическия анализ и алгебричната геометрия, където се прилага теорията на алгебричните системи.
Други области[редактиране | редактиране на кода]
Бележки[редактиране | редактиране на кода]
- ↑ De Risi 2015, с. 1.
- ↑ Tabak 2014, с. xiv.
- ↑ Meyer 2006.
- ↑ Friberg 1981, с. 277 – 318.
- ↑ Neugebauer 1969, с. 71 – 96.
- ↑ Boyer 1991, с. 19.
- ↑ Ossendrijver 2016, с. 482 – 484.
- ↑ Depuydt 1998, с. 171 – 180.
- ↑ Slayman 1998.
- ↑ Boyer 1991, с. 43.
- ↑ Eves 1990.
- ↑ Von Fritz 1945.
- ↑ Choike 1980.
- ↑ Boyer 1991, с. 92.
- ↑ Boyer 1991, с. 119.
- ↑ Boyer 1991, с. 104.
- ↑ Eves 1990, с. 141.
- ↑ O'Connor 1996.
- ↑ Staal 1999, с. 105 – 127.
- ↑ Hayashi 2005, с. 363.
- ↑ Hayashi 2005, с. 371.
- ↑ Hayashi 2005, с. 121 – 122.
- ↑ Rashed 1994, с. 35.
- ↑ Boyer 1991, с. 241 – 242.
- ↑ O'Connor 1999a.
- ↑ O'Connor 1999b.
- ↑ O'Connor 1999c.
- ↑ Rosenfeld 1996, с. 470.
- ↑ Boyer 2012.
- ↑ Edwards 2012, с. 95.
- ↑ Field 2012, с. 43.
- ↑ Wylie 2011.
- ↑ Gray 2011.
- ↑ Bayro-Corrochano 2018, с. 4.
- ↑ Katz 2000, с. 45.
- ↑ Berlinski 2014.
- ↑ Hartshorne 2013, с. 29.
- ↑ Herbst 2017, с. 20.
- ↑ Yaglom 2012, с. 6.
- ↑ Holme 2010, с. 254.
- Цитирани източници
- Bayro-Corrochano, Eduardo. Geometric Algebra Applications Vol. I: Computer Vision, Graphics and Neurocomputing. Springer, 2018. ISBN 978-3-319-74830-6. (на английски)
- Berlinski, David. The King of Infinite Space: Euclid and His Elements. Basic Books, 2014. ISBN 978-0-465-03863-3. (на английски)
- Boyer, Carl B. A History of Mathematics. Second edition, revised by Uta C. Merzbach. New York, Wiley, 1991. ISBN 978-0-471-54397-8. (на английски)
- Boyer, Carl B. History of Analytic Geometry. Courier Corporation, 2012. ISBN 978-0-486-15451-0. (на английски)
- Choike, James R. The Pentagram and the Discovery of an Irrational Number // The Two-Year College Mathematics Journal. 1980. (на английски)
- De Risi, Vincenzo. Mathematizing Space: The Objects of Geometry from Antiquity to the Early Modern Age. Birkhäuser, 2015. ISBN 978-3-319-12102-4. (на английски)
- Depuydt, Leo. Gnomons at Meroë and Early Trigonometry // The Journal of Egyptian Archaeology 84. 1 January 1998. DOI:10.2307/3822211. p. 171 – 180. (на английски)
- Edwards, C. H. The Historical Development of the Calculus. Springer Science & Business Media, 2012. ISBN 978-1-4612-6230-5. (на английски)
- Eves, Howard. An Introduction to the History of Mathematics. Saunders, 1990. ISBN 0-03-029558-0. (на английски)
- Field, Judith V et al. The Geometrical Work of Girard Desargues. Springer Science & Business Media, 2012. ISBN 978-1-4613-8692-6. (на английски)
- Friberg, J. Methods and traditions of Babylonian mathematics. Plimpton 322, Pythagorean triples, and the Babylonian triangle parameter equations // Historia Mathematica 8. 1981. p. 277 – 318. (на английски)
- Gray, Jeremy. Worlds Out of Nothing: A Course in the History of Geometry in the 19th Century. Springer Science & Business Media, 2011. ISBN 978-0-85729-060-1. (на английски)
- Hartshorne, Robin. Geometry: Euclid and Beyond. Springer Science & Business Media, 2013. ISBN 978-0-387-22676-7. (на английски)
- Hayashi, Takao. Indian Mathematics // Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences. Т. 1. Baltimore, MD, The Johns Hopkins University Press, 2003. ISBN 978-0-8018-7396-6. (на английски)
- Hayashi, Takao. Indian Mathematics // The Blackwell Companion to Hinduism. Oxford, Basil Blackwell, 2005. ISBN 978-1-4051-3251-0. (на английски)
- Herbst, Pat et al. The Learning and Teaching of Geometry in Secondary Schools: A Modeling Perspective. Taylor & Francis, 2017. ISBN 978-1-351-97353-3. (на английски)
- Holme, Audun. Geometry: Our Cultural Heritage. Springer Science & Business Media, 2010. ISBN 978-3-642-14441-7. (на английски)
- Katz, Victor J. Using History to Teach Mathematics: An International Perspective. Cambridge University Press, 2000. ISBN 978-0-88385-163-0. (на английски)
- Meyer, Walter A. Geometry and Its Applications. Elsevier, 2006. ISBN 978-0-08-047803-6. (на английски)
- Neugebauer, Otto. Chap. IV Egyptian Mathematics and Astronomy // The Exact Sciences in Antiquity. 2. Dover Publications, 1969. ISBN 978-0-486-22332-2. (на английски)
- O'Connor, J. J. et al. A history of calculus // www-groups.dcs.st-and.ac.uk. University of St Andrews, February 1996. Архивиран от оригинала на 15 July 2007. Посетен на 2007-08-07. (на английски)
- O'Connor, J J et al. Abu Abd Allah Muhammad ibn Isa Al-Mahani // mathshistory.st-andrews.ac.uk. University of St Andrews, Scotland, 1999a. Посетен на 2022-05-06. (на английски)
- O'Connor, J J et al. Al-Sabi Thabit ibn Qurra al-Harrani // mathshistory.st-andrews.ac.uk. University of St Andrews, Scotland, 1999b. Посетен на 2022-05-06. (на английски)
- O'Connor, J J et al. Omar Khayyam // mathshistory.st-andrews.ac.uk. University of St Andrews, Scotland, 1999c. Посетен на 2022-05-06. (на английски)
- Ossendrijver, Mathieu. Ancient Babylonian astronomers calculated Jupiter's position from the area under a time-velocity graph // Science 351 (6272). 29 January 2016. DOI:10.1126/science.aad8085. p. 482 – 484. (на английски)
- Rashed, Roshdi. The development of Arabic mathematics: between arithmetic and algebra. London, 1994. (на английски)
- Rosenfeld, Boris A. et al. Geometry // Rashed, Roshdi (ed.). Encyclopedia of the History of Arabic Science. Т. 2. London / New York, Routledge, 1996. p. 447 – 494. (на английски)
- Slayman, Andrew. Neolithic Skywatchers // archaeology.org. Archaeology Magazine Archive, 27 May 1998. Архивиран от оригинала на 2011-06-05. Посетен на 2011 – 0417. (на английски)
- Staal, Frits. Greek and Vedic Geometry // Journal of Indian Philosophy 27 (1 – 2). 1999. DOI:10.1023/A:1004364417713. p. 105 – 127. (на английски)
- Tabak, John. Geometry: the language of space and form. Infobase Publishing, 2014. ISBN 978-0-8160-4953-0. (на английски)
- Von Fritz, Kurt. The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum // The Annals of Mathematics. 1945. (на английски)
- Wylie, C. R. Introduction to Projective Geometry. Courier Corporation, 2011. ISBN 978-0-486-14170-1. (на английски)
- Yaglom, I. M. A Simple Non-Euclidean Geometry and Its Physical Basis: An Elementary Account of Galilean Geometry and the Galilean Principle of Relativity. Springer Science & Business Media, 2012. ISBN 978-1-4612-6135-3. (на английски)
|