Àlgebra lineal numèrica

L'àlgebra lineal numèrica, de vegades anomenada àlgebra lineal aplicada, és l'estudi de com es poden utilitzar les operacions matricials per crear algorismes informàtics que proporcionen respostes aproximades a preguntes de matemàtiques contínues de manera eficient i precisa. És un subcamp de l'anàlisi numèrica i un tipus d'àlgebra lineal. Els ordinadors utilitzen l'aritmètica de coma flotant i no poden representar exactament dades irracionals, de manera que quan s'aplica un algorisme informàtic a una matriu de dades, de vegades pot augmentar la diferència entre un nombre emmagatzemat a l'ordinador i el nombre real del qual és una aproximació. L'àlgebra lineal numèrica utilitza propietats de vectors i matrius per desenvolupar algorismes informàtics que minimitzin l'error introduït per l'ordinador, i també s'ocupa de garantir que l'algoritme sigui el més eficient possible.^[1]

L'àlgebra lineal numèrica té com a objectiu resoldre problemes de matemàtiques contínues mitjançant ordinadors de precisió finita, de manera que les seves aplicacions a les ciències naturals i socials són tan vastes com les aplicacions de les matemàtiques contínues. Sovint és una part fonamental dels problemes d'enginyeria i ciència computacional, com ara el processament d'imatges i senyals, telecomunicacions, finances computacionals, simulacions de ciències dels materials, biologia estructural, mineria de dades, bioinformàtica i dinàmica de fluids. Els mètodes de matriu s'utilitzen especialment en mètodes de diferències finites, mètodes d'elements finits i modelització d'equacions diferencials. Observant les àmplies aplicacions de l'àlgebra lineal numèrica, Lloyd N. Trefethen i David Bau, III argumenten que és "tan fonamental per a les ciències matemàtiques com el càlcul i les equacions diferencials",:^[2] x tot i que és un camp relativament petit.^[3] Com que moltes propietats de matrius i vectors també s'apliquen a funcions i operadors, l'àlgebra lineal numèrica també es pot veure com un tipus d'anàlisi funcional que té un èmfasi particular en els algorismes pràctics.:^[2] ix 

Els problemes comuns en àlgebra lineal numèrica inclouen l'obtenció de descomposicions de matrius com la descomposició de valors singulars, la factorització QR, la factorització LU o la composició pròpia, que després es poden utilitzar per respondre problemes algebraics lineals comuns com resoldre sistemes lineals d'equacions, localitzar valors propis o optimització de mínims quadrats. La preocupació central de l'àlgebra lineal numèrica pel desenvolupament d'algorismes que no introdueixen errors quan s'apliquen a dades reals en un ordinador de precisió finita s'aconsegueix sovint mitjançant mètodes iteratius més que no pas directes.^[4]