Atles (topologia)

Un atles és un conjunt de cartes (entorns de coordenades) que proveeixen d'estructura localment euclidiana a un espai topològic.

Cada carta cobreix un entorn de l'espai donant coordenades als punts dins d'aquest entorn. Un atles és un conjunt de cartes que, a més de cobrir l'espai del tot, en cas de superposició entre dues cartes, les coordenades proveïdes per una i altra estan relacionades simplement per una funció vectorial amb "bones propietats" (és un homeomorfisme fins i tot un difeomorfisme).

Els atles són l'eina que permet donar estructura diferenciable als espais topològics, i el substrat per a les nocions de la geometria diferencial de varietats.

Donat un espai topològic ${\displaystyle X}$, una carta (o també entorn coordenat) és un parell ${\displaystyle (U,\varphi )}$, on ${\displaystyle U}$ és un obert de ${\displaystyle X}$, i ${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$ un homeomorfisme entre ${\displaystyle U}$ i l'espai euclidià ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Aquest homeomorfisme proveeix de coordenades als punts de l'entorn ${\displaystyle U}$.

Un atles és un conjunt de cartes que cobreix la varietat al complet, i de tal manera que siguin compatibles entre si: si dues cartes donen coordenades diferents per a una regió de ${\displaystyle X}$, llavors la funció "canvi de coordenades "ha de ser bijectiva i contínua en els dos sentits. És a dir:

La definició anterior és estrictament per a un atles de classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}}$. Exigint que les funcions de transició ${\displaystyle \phi _{ij}}$ siguin difeomorfismes de classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$, obtindríem un atles de classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ (on ${\displaystyle k}$ és un enter positiu, ${\displaystyle \infty }$, o fins i tot ${\displaystyle \omega }$ per atles analítics).

La condició de compatibilitat entre cartes ens permet definir si dos atles de classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ són al seu torn compatibles : ho són si la seva unió conjuntista és un atles al seu torn, és a dir, si poden "ajuntar" en un sol atles.

Dues atles compatibles però diferents donen coordenades a l'espai X de maneres essencialment equivalents. Per definir l'estructura de varietat (ja sigui topològica o diferenciable) sense ambigüitats, es recorre a una classe d'equivalència d'atles compatibles entre si. Una altra manera és fer servir un atles maximal , que conté qualsevol atles compatible amb ell. A aquests atles maximals se'ls denomina també estructures diferenciables (de classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$).

• Varietat diferenciable
• Varietat topològica

• Wald, Robert. General Relativity (en anglès). The University of Chicago Press, 1984. ISBN 0-226-87033-2. 

Viccionari