Vegeu derivada per informació més general.
La derivada és una funció matemàtica, més precisament una funció de funcions, ja que pren com a argument d'entrada una funció i retorna una altra funció, generalment diferent.
Exemples a partir de la definició de derivada basada en un límit[modifica]
Funció constant[modifica]
Sigui c un nombre real.
Es considera la funció constant f de valor c:
![{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\forall h\in \mathbb {R^{*}} ,{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {c-c}{h}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66dae93631edf13ceaf354545170fb80663fbcd6)
per tant
.
Així la derivada d'una funció constant és la funció nul·la.
Funció potència enèsima[modifica]
Sigui la funció f:
definida sobre
On els coeficients
venen donats pel triangle de Tartaglia (
i
). Els
s'anul·len, i se simplifica per
.
Per tant:
Nota: funciona per a tot n i permet trobar les derivades de les funcions inversa i arrel enèsima. Tanmateix si n < 2 llavors la funció no és derivable en 0.
Es considera la funció f definida sobre
per
![{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,f(x)=x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fb1453d1478cd6380058a074a994271ea3c7c38)
![{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\forall h\in \mathbb {R} ^{*},{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {(x+h)^{2}-x^{2}}{h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af41c3568b71d2f8166a973b6bdf5f805ab282bb)
![{\displaystyle ={\frac {(x+h-x)(x+h+x)}{h}}={\frac {h(2x+h)}{h}}=2x+h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4bf10fc8d7947a87b218aa08423a64ac3b3ef84)
per tant
![{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}(2x+h)=2x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04acec816bcac95d68d9f7df81ba87a5ad3c962b)
la derivada de f és per tant la funció f' definida per
.
Es considera la funció f=√x
![{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} _{+}^{*},\forall h\in \mathbb {R} ^{*},h>-x,\quad {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {{\sqrt {x+h}}-{\sqrt {x}}}{h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/957d184b14f8bf532b8c845cfb7d7757b89c366c)
![{\displaystyle ={\frac {({\sqrt {x+h}}-{\sqrt {x}})({\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}})}{h({\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02cf48af5fafcd97b819934452141178cd30663c)
![{\displaystyle ={\frac {x+h-x}{h({\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}})}}={\frac {1}{{\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a6ca38605bf8b3f3908e0f4b402c243fd9aa7f4)
per tant
![{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} _{+}^{*},f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {1}{{\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}}}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eb6a7899aa6d791fff91b8e39f3b3eabbe12604)
D'altra banda,
![{\displaystyle \forall h\in \mathbb {R} _{+}^{*},{\frac {f(h)-f(0)}{h}}={\frac {\sqrt {h}}{h}}={\frac {1}{\sqrt {h}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aa935e9988a1ed86461cc4d6bf549395c39298e)
per tant f no és derivable en 0 i la seva gràfica admet en 0 una semi tangent vertical.
Exemples a partir de les fórmules de derivació[modifica]
Heus aquí una sèrie d'exemples de derivades calculades a partir de les fórmules establertes pel mètode amb el límit.
Es consideren les funcions següents i tot seguit es presenta el procés de càlcul de les seves derivades:
1.
2.
3.
Derivació: 1.
2.
3.
Es consideren les funcions següents i tot seguit es presenta el procés de càlcul de les seves derivades:
1.
2.
3.
Derivades:
1.
2.
3.
Funció potència real[modifica]
Sia la funció y :
![{\displaystyle y(x)=ax^{b}\qquad a\not =0,b\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8b55c7d169fdc97089acb2f8835011f32f381fa)
Llavors, la derivada n-èsima de y ve donada, sobre intervals convenients, per :
![{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\qquad :\qquad y^{(n)}(x)=a\prod _{k=0}^{n-1}(b-k)\cdot x^{b-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79323fbab5b284f5d0ce74234e0ec284632332d9)
Viccionari