Equació d'estat (cosmologia)

En cosmologia, l'equació d'estat d'un fluid perfecte es caracteritza per un nombre sense dimensions ${\displaystyle w}$, igual a la proporció de la seva pressió ${\displaystyle p}$ i la seva densitat d'energia ${\displaystyle \rho }$:

${\displaystyle w\equiv {\frac {p}{\rho }}}$.

Està estretament relacionada amb l'equació d'estat de la termodinàmica i la llei del gas ideal.

L'equació d'estat del gas perfecte es pot escriure com

${\displaystyle p=\rho _{m}RT=\rho _{m}C^{2}}$

on ${\displaystyle \rho _{m}}$ és la densitat de massa, ${\displaystyle R}$ és la constant dels gasos, ${\displaystyle T}$ és la temperatura i ${\displaystyle C={\sqrt {RT}}}$ és una velocitat tèrmica característica de les molècules. Així

${\displaystyle w\equiv {\frac {p}{\rho }}={\frac {\rho _{m}C^{2}}{\rho _{m}c^{2}}}={\frac {C^{2}}{c^{2}}}\approx 0}$

on ${\displaystyle c}$ és la velocitat de la llum, ${\displaystyle \rho =\rho _{m}c^{2}}$ i ${\displaystyle C\ll c}$ per un gas «fred».

L'equació d'estat es pot utilitzar en les equacions de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW) per descriure l'evolució d'un univers isòtrop ple d'un fluid perfecte. Si ${\displaystyle a}$ és el factor d'escala, llavors

${\displaystyle \rho \propto a^{-3(1+w)}.}$

Si el fluid és la forma dominant de matèria en un univers pla, llavors

${\displaystyle a\propto t^{\frac {2}{3(1+w)}},}$

on ${\displaystyle t}$ és el temps propi.

En general, l'equació d’acceleració de Friedmann és

${\displaystyle 3{\frac {\ddot {a}}{a}}=\Lambda -4\pi G(\rho +3p)}$

on ${\displaystyle \Lambda }$ és la constant cosmològica, ${\displaystyle G}$ és la constant de Newton, i ${\displaystyle {\ddot {a}}}$ és la segona derivada del temps propi del factor d’escala.

Si definim (el que es podria anomenar «efectiva») la densitat d'energia i la pressió com

${\displaystyle \rho ^{\prime }\equiv \rho +{\frac {\Lambda }{8\pi G}}}$

${\displaystyle p^{\prime }\equiv p-{\frac {\Lambda }{8\pi G}}}$

i

${\displaystyle p^{\prime }=w^{\prime }\rho ^{\prime }}$

l'equació d'acceleració es pot escriure com

${\displaystyle {\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {4}{3}}\pi G\left(\rho ^{\prime }+3p^{\prime }\right)=-{\frac {4}{3}}\pi G(1+3w^{\prime })\rho ^{\prime }}$

L'equació d'estat per a una «matèria» ordinària no-relativista (per exemple, pols freda) és ${\displaystyle w=0}$, el que significa que la seva densitat d'energia disminueix a mesura que ${\displaystyle \rho \propto a^{-3}=V^{-1}}$, on ${\displaystyle V}$ és un volum. En un univers en expansió, l'energia total de la matèria no-relativista es manté constant, disminuint la seva densitat a mesura que augmenta el volum.

L'equació d’estat per a la «radiació» ultra-relativista (inclosos els neutrins, i en l’univers molt primerenc altres partícules que després es van convertir en no-relativistes) és ${\displaystyle w=1/3}$ el que significa que la seva densitat d'energia disminueix a mesura que ${\displaystyle \rho \propto a^{-4}}$. En un univers en expansió, la densitat d'energia de la radiació disminueix més ràpidament que l'expansió del volum, perquè la seva longitud d'ona es desplaça cap al vermell.

La inflació còsmica i l'expansió accelerada de l'univers es poden caracteritzar per l'equació d'estat de l'energia fosca. En el cas més senzill, l'equació d’estat de la constant cosmològica és ${\displaystyle w=-1}$. En aquest cas, l'expressió anterior per al factor d'escala no és vàlida i ${\displaystyle a\propto e^{Ht}}$, on la constant H és el paràmetre de Hubble. Més generalment, l'expansió de l'univers s'està accelerant per a qualsevol equació d'estat ${\displaystyle w<-1/3}$. De fet, s'ha observat l'acceleració de l'expansió de l’Univers.Segons les observacions, el valor de l'equació d'estat de la constant cosmològica és proper a ${\displaystyle -1}$.^[1]

La hipotètica energia fantasma tindria una equació d’estat ${\displaystyle w<-1}$, i provocaria un Big Rip. Utilitzant les dades existents, encara és impossible distingir entre fantasma ${\displaystyle w<-1}$ i no-fantasma ${\displaystyle w\geq -1}$.

En un univers en expansió, els fluids amb equacions d'estat més grans desapareixen més ràpidament que aquells amb equacions d'estat més petites. Aquest és l’origen del problema de la planor i el problema del monopol magnètic del big-bang: en la curvatura és ${\displaystyle w=-1/3}$ i en el monopol és ${\displaystyle w=0}$, de manera que, si eren a l’època del començament del big-bang, haurien de ser visibles encara avui. Aquests problemes es resolen amb la inflació còsmica que és ${\displaystyle w\approx -1}$. Mesurar l'equació d’estat de l'energia fosca és un dels esforços més grans de la cosmologia observacional. Mesurant amb precisió ${\displaystyle w}$, s'espera que la constant cosmològica es pugui distingir de la quinta essència, que és ${\displaystyle w\neq -1}$.

Un camp escalar ${\displaystyle \phi }$ es pot veure com una mena de fluid perfecte amb equació d'estat

${\displaystyle {w={\frac {{\frac {1}{2}}{\dot {\phi }}^{2}-V(\phi )}{{\frac {1}{2}}{\dot {\phi }}^{2}+V(\phi )}},}}$

on ${\displaystyle {\dot {\phi }}}$ és la derivada temporal de ${\displaystyle \phi }$ i ${\displaystyle V(\phi )}$ és l'energia potencial. Una camp escalar lliure ${\displaystyle (V=0)}$ és ${\displaystyle w=1}$, i un camp escalar amb energia cinètica que s’esvaeix equival a una constant cosmològica (${\displaystyle w=-1}$). Qualsevol equació d'estat entremig, però que no creui barrera coneguda com a línia de divisió fantasma (Phantom Divide Line, PDL)^[2] (${\displaystyle w=-1}$) és assolible, cosa que fa que els camps escalars siguin models útils per a molts fenòmens de la cosmologia.