Equació de Helmholtz

La equació de Helmholtz , anomenada així per Hermann von Helmholtz ve donada per:

${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\phi =0}$

on ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ és el laplacià, ${\displaystyle k}$ és una constant (nombre d'ona), i ${\displaystyle \phi }$ un camp escalar, és aquest cas, el camp magnètic i elèctric.

Anem a mostrar com es dedueixen les equacions de Helmholtz a partir de les equacions de Maxwell. Per medis^[1] no conductors lliures de fonts caracteritzats per ${\displaystyle \epsilon }$ i ${\displaystyle \mu (\sigma =0)}$, les equacions de Maxwell es redueixen a:

A : ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-\mu {\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}}$

B : ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}=-\epsilon {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}}$

C : ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}=0}$

D : ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {H}}=0}$

Les equacions anteriors A , B , C i D són equacions diferencials de primer grau per als camps ${\displaystyle {\vec {E}}}$ i ${\displaystyle {\vec {H}}}$. Podem combinar per produir una equació de segon grau contenint únicament ${\displaystyle {\vec {E}}}$ o ${\displaystyle {\vec {H}}}$. Fem servir les equacions A i B i operant s'obté:

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-\mu {\frac {\partial ({\vec {\nabla }}\times {\vec {H}})}{\partial t}}=-\mu \cdot \epsilon {\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}}$

Però sabem que: ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}={\vec {\nabla }}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}})-{\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {E}}}$

i utilitzant l'equació C tenim que:

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {E}}}$

Per tant substituint els termes tenim finalment que:

${\displaystyle {\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {E}}-\mu \cdot \epsilon {\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}}$

La velocitat de fase ve donada per:

${\displaystyle v_{\mathrm {p} }={\frac {\omega }{k}}}$

el que significa que: ${\displaystyle v_{\mathrm {p} }={\frac {1}{\sqrt {\mu \epsilon }}}}$

i per tant, substituint, tenim:

${\displaystyle {\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {E}}-{\frac {1}{v_{\mathrm {p} }^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}=0}$

Anàlogament podem treure l'equació per ${\displaystyle {\vec {H}}}$:

${\displaystyle {\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {H}}-{\frac {1}{v_{\mathrm {p} }^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {H}}}{\partial t^{2}}}=0}$

Com podem apreciar, les dues equacions anteriors són les equacions d'ona vectorials homogènies . Descomponent aquestes dues equacions obtingudes en coordenades cartesianes podem descompondre'l en tres equacions d'ones escalars, homogènies i unidimensionals. Cada component del camp elèctric i magnètic ha de satisfer una equació la solució representa una ona. Per camps amb dependència harmònica amb el temps convenientment utilitzada fasors. D'aquesta manera del deduït previ, s'arriba a la conclusió:

${\displaystyle {\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {E_{\mathrm {s} }}}+{\frac {\omega ^{2}}{v_{\mathrm {p} }^{2}}}{\vec {E_{\mathrm {s} }}}=0}$

o

${\displaystyle {\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {E_{\mathrm {s} }}}+k^{2}{\vec {E_{\mathrm {s} }}}=0}$

Anàlogament trobem la següent equació per al camp electromagnètic:

${\displaystyle {\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {H_{\mathrm {s} }}}+k^{2}{\vec {H_{\mathrm {s} }}}=0}$

• Handbook of Mathematical functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables. New York: Dover Publications, 1964. ISBN 0-486-61272-4. 

• Riley, K. F.; Hobson, M. P.; Bence, S. J.. «Chapter 19». A: Mathematical methods for physics and engineering. New York: Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-89067-5. 

• Riley, K. F.. «Chapter 16». A: Mathematical Methods for Scientists and Engineers. Sausalito, California: University Science Books, 2002. ISBN 1-891389-24-6. 

• Saleh, Bahaa E. A.; Teich, Malvin Carl. «Chapter 3». A: Fundamentals of Photonics. New York: John Wiley & Sons, 1991, p. 80–107. ISBN 0-471-83965-5. 

• Sommerfeld, Arnold. «Chapter 16». A: Partial Differential Equations in Physics. New York: Academic Press, 1949. ISBN 0126546568. 

• Howe, M. S.. Acoustics of fluid-structure interactions. New York: Cambridge University Press, 1998. ISBN 0-521-63320-6. 

• David K. Cheng "Fonaments d'Electromagnetisme per enginyeria"
• Pozar D.M. "Microwave engineering"