Matriu densitat

La matriu densitat, o operador densitat és una entitat matemàtica introduïda per John von Neumann. Permet resumir en una sola matriu tot el conjunt possible dels estats quàntics d'un sistema físic donat a un instant donat, combinant així la mecànica quàntica i la física estadística.

Definició

[modifica]

El concepte de matriu densitat generalitza el de vector d'estat a sistemes barreja. Donat un vector d'estat que pertany a un espai de Hilbert , considerem el conjunt d'aplicacions lineals que hi actuen. Si és una base ortonormal de i , podem expressar com a una matriu amb elements .

A més, si considerem només les aplicacions lineals que projecten estats vàlids sobre estats vàlids, trobem que un operador ha de complir les següents propietats:

  1. Ha de ser hermític: .
  2. Ha de ser semidefinit positiu: .
  3. Ha de tenir traça unitària:

El conjunt que compleix aquestes propietats és el conjunt d'operadors densitat.

Estat pur

[modifica]

L'estat és pur si es pot descriure amb un sol vector en l'espai de Hilbert .

En aquest cas, l'operador densitat és simplement l'operador de projecció de sobre l'espai generat per , amb rang 1:

Estat mixt

[modifica]

Un estat és mixt quan no es correspon amb un únic vector d'estat. Sempre, però, es pot expressar com a una suma ponderada d'estats:

Cal remarcar que els poden estar expressats en qualsevol base, de manera que en general no és diagonal.

Classificació

[modifica]

Si considerem un estat general , emprant les propietats de l'operador densitat podem determinar que es pot diagonalitzar de manera que , on i són respectivament els autovalors i els autovectors de . A més, i , de manera que els valors propis es poden interpretar com a probabilitats. és una col·lectivitat d'estats descrits per on obtenim cadascun amb probabilitat .

D'això en podem concloure que els estats purs corresponen a un cas concret d'estats mixts, pels quals un dels pren valor unitat i la resta són zero.

Pel contrari, un estat serà mixt si més d'un és diferent a zero.

En termes del rang de , l'estat és pur si i mixt en la resta de casos.

Convexitat

[modifica]

El conjunt de matrius densitat és convex: .

El conjunt d'estats purs correspon als vèrtexs de , ja que per definició els estats purs no es poden expressar com a combinació convexa de dos altres estats.

Evolució amb el temps

[modifica]

L'evolució temporal del vector d'estat vé donada per l'equació de Schrödinger depenent del temps:

També es pot expressar en termes de la matriu densitat, obtenint llavors l'equació de Liouville-Von Neumann:

Quantificació del nivell de barreja

[modifica]

La puresa d'un estat es defineix com a:

Amb els autovalors de . Per a un estat pur, la puresa és 1, i per a un estat mixt, , on és la dimensió de l'espai de Hilbert.

Similarment, es pot definir l'entropia de von Neumann:

L'entropia d'un estat pur és nul·la, car no hi ha cap incertesa sobre l'estat del sistema. Es pot demostrar que, per a un estat mixt, .

La màxima puresa i mínima entropia corresponen als estats purs, mentre que la mínima puresa i màxima entropia s'assoleixen amb l'estat , amb la matriu identitat. Aquest darrer estat s'anomena estat màximament barrejat.