Nombre primer més gran

El nombre primer més gran conegut (A Octubre 2024) és 2136,279,841 − 1, un número que té 41.024.320 dígits quan s’escriu a la base 10. Es va trobar a través d'un ordinador voluntari per Luke Durant de la Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) el 2024.[1]

Un gràfic del nombre de dígits més grans coneguts per any, des de l'ordinador electrònic. L'escala vertical és logarítmica

Un nombre primer és un nombre enter positiu, excloent 1, sense divisors altres que 1 i ell mateix. Euclides va registrar una prova que no hi existeix el nombre primer més gran, molts matemàtics i aficionats continuen buscant grans nombres primers.

Molts dels primers més grans coneguts són els primers de Mersenne, nombres que són un menys que una potència de dos. A 2020, els vuit primers més grans coneguts són els primers de Mersenne.[2] Els últims disset primers registres van ser primers de Mersenne.[3][4] La representació binària de qualsevol primer de Mersenne es compon de tots els 1, ja que la forma binària de 2 k - 1 és simplement k 1.[5]

La implementació de la transformada ràpida de Fourier de la prova de primalitat de Lucas-Lehmer per als nombres de Mersenne és ràpida en comparació amb altres proves de primalitat conegudes per a altres tipus de nombres.

Registre actual

[modifica]
Aquest article o aquest apartat conté informació obsoleta o li falta informació recent.
Podeu col·laborar actualitzant-lo o afegint-hi la informació que manca. «Des del 12 d'octubre de 2024 és 2^136279841 − 1»

Actualment, el rècord el té el nombre 282,589,933 − 1 amb 24.862.048 dígits, trobats per GIMPS el desembre de 2018.[6] El seu valor és:

148894445742041325547806458472397916603026273992795324185271289425213239361064475310309971132180337174752834401423587560 ...

(24,861,808 dígits omesos)...

062107557947958297531595208807192693676521782184472526640076912114355308311969487633766457823695074037951210325217902591

Premis

[modifica]

El Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) ofereix actualment un premi de descobriment de 3.000 dòlars EUA per als participants que descarreguen i executen el seu programari gratuït i l'ordinador dels quals trobe un nou primer Mersenne amb menys de 100 milions de dígits.

Hi ha diversos premis que ofereix la Electronic Frontier Foundation per a nous records.[7] GIMPS també coordina els seus esforços de cerca de primers de 100 milions de dígits o més i dividirà el premi de 150.000 dòlars de la Electronic Frontier Foundation amb un participant guanyador.

El rècord va superar el milió de dígits el 1999, obtenint un premi de 50.000 dòlars dels EUA.[8] El 2008, el rècord va superar els deu milions de dígits, obtenint un premi de 100.000 dòlars i un premi Cooperative Computing Award de la Electronic Frontier Foundation.[7] Time el va anomenar el 29è invent principal del 2008.[9] Tant els premis de 50.000 dòlars nord-americans com els 100.000 dòlars nord-americans van ser guanyats per la participació a GIMPS. S’ofereixen premis addicionals per al primer nombre primer que es troba amb almenys cent milions de dígits i el primer amb almenys mil milions de dígits.

Història dels nombres primers més grans coneguts

[modifica]

La taula següent mostra la progressió del nombre primer més gran conegut en ordre ascendent.[3] Ací Mn = 2n − 1 és el nombre de Mersenne amb exponent n. El nombre que va tindre el rècord per més temps va ser M19 = 524,287, que va ser el primer més gran conegut durant 144 anys. No es coneixen registres abans del 1456.

Nombre Expansió deciman

(només < M5000) 		Dígits Any Descobridor
M13 8,191 4 1456 Anònim
M17 131,071 6 1588 Pietro Cataldi
M19 524,287 6 1588 Pietro Cataldi
6,700,417 7 1732 Leonhard Euler?

Euler no va publicar explícitament la primalitat de 6.700.417, però les tècniques que havia utilitzat per factoritzar 232 + 1 significaven que ja havia fet la major part del treball necessari per demostrar-ho, i alguns experts creuen que en sabia.[10]
M31 2,147,483,647 10 1772 Leonhard Euler
67,280,421,310,721 14 1855 Thomas Clausen
M127 170,141,183,460,469,231,731,687,303,715,884,105,727 39 1876 Édouard Lucas
20,988,936,657,440,586,486,151,264,256,610,222,593,863,921 44 1951 Aimé Ferrier amb una calculadora mecànica; el registre més gran no establert per ordinador.
180×(M127)²+1 5210644015679228794060694325390955853335898483908056458352

183851018372555735221

79 1951 J. C. P. Miller & D. J. Wheeler[11]

Amb l'ordinador EDSAC
M521 6864797660130609714981900799081393217269435300143305409394

4634591855431833976560521225596406614545549772963113914808

58037121987999716643812574028291115057151

157 1952
M607 53113799281676709868958820655246862732959311772703192319944

4138200403559860852242739162502265229285668889329486246501

01534657933765270723940951997876658735194383127083539321903

1728127

183 1952
M1279 10407932194664399081925240327364085538615262247266704805319

112350403608059673360298012239441732324184842421613954281007

79138356624832346490813990660567732076292412950938922034577

318334966158355047295942054768981121169367714754847886696250

138443826029173234888531116082853841658502825560466622483189

091880184706822220314052102669843548873295802887805086973618

6900714720710555703168729087

386 1952
M2203 14759799152141802350848986227373817363120661453331697751477712

164785702978780789493774073370493892893827485075314964804772

8126483876025919181446336533026954049696120111343015690239609

398909022625932693502528140961498349938822283144859860183431

853623092377264139020949023183644689960821079548296376309423

6630945410832793769905399982457186322944729636418890623372171

723742105636440368218459649632948538696905872650486914434637

4575072804418236768135178520993486608471725794084223166780976

7022401199028017047489448742692474210882353680848507250224051

9452587542875349976558572670229633962575212637477897785501552

646522609988869914013540483809865681250419497686697771007

664 1952
M2281 446087557183758429571151706402101809886208632412859901111991219963404685792

82047336911254526900398902615324593112431670239575870569367936479090349746

114707106525419335393812497822630794731241079887486904007027932842881031175

484410809487825249486676096958699812898264587759602897917153696250306842

961733170218475032458300917183210491605015762888660637214550170222592512522

40768296054271735739648129952505694124807207384768552936816667128448311908

776206067866638621902401185707368319018864792258104147140789353865624979681

787291276295949244119609613867139462798992750069549171397587960612238033935

373810346664944029510520590479686932553886479304409251041868170096401717641

33172418132836351

687 1952
M3217 25911708601320262777624676792244153094181888755312542730397492316187401926658

63620862012095168004834065506952417331941774416895092388070174103777095975120

423130666240829163535179523111861548622656045476911275958487756105687579311910

17711408826252153849035830401185072116424747461823031471398340229288074545677

907941037288235820705892351068433882986888616658650280927692080339605869308

79050040950370987590211901837199162099400256893511313654882973911265679730324

19865172501164127035097054277734779723498216764434466683831193225400996489940

5179024162405651905448369080961606162574304236172186333941585242643120873726

6591962061753535748892894599629195183082621860853400937932839420261866586142

50325145077309627423537682293864940712770084607712421182308080413929808705750

47138252645714483793711250320818261265666490842516994539518877896136502484057

3937859459944433523118828012366040626246860921215034993758478229223714433962

8858485938215738821232393687046160677362909315071

969 1957
M4423 2855425422282796139015635661021640083261642386447028891992474566022844003906

00653875954571505539843239754513915896150297878399377056071435169747221107988

7911982009884775313392142827720160590099045866862549890848157354224804090223

44297588352526004383890632616124076317387416881148592486188361873904175783145

6960169195743907655982801885990355784485910776836771755204340742877265780062

66759615970759521327828555662781678385691581844436444812511562428136742490459

363212810180276096088111401003377570363545725120924073646921576797146199387619

29656030268026179011813292501232304644443862230887792460937377301248168167242

44936744744885377701557830068808526481615130671448147902883666640622572746652

757871273746492310963750011709018907862633246195787957314256938050730561196775

8033808433338198750090296883193591309526982131114132239335649017848872898228

81562826008138312961436638459454311440437538215428712777456064478585641592133

2844358020642271469491309176271644704168967807009677359042980890961675045292

725800084350034483162829708990272864998199438764723457427626372969484830475

09171741861811306885187927486226122933413689280566343844666463265724761672756

60839105650528975713899320211121495795311427946254553305387067821067601768750

97786610046001460213840844802122505368905479374200309572209673295475072171811

5531871310231057902608580607

1,332 1961
M9689 2,917 1963
M9941 2,993 1963
M11213 3,376 1963
M19937 6,002 1971 Bryant Tuckerman
M21701 6,533 1978 Laura A. Nickel and Landon Curt Noll[12]
M23209 6,987 1979 Landon Curt Noll
M44497 13,395 1979 David Slowinski and Harry L. Nelson
M86243 25,962 1982 David Slowinski
M132049 39,751 1983 David Slowinski
M216091 65,050 1985 David Slowinski
391581×2216193−1 65,087 1989 A group, "Amdahl Six": John Brown, Landon Curt Noll, B. K. Parady, Gene Ward Smith, Joel F. Smith, Sergio E. Zarantonello.[13][14]

El nombre primer més gran no Mersenne que va ser el primer més gran conegut quan es va descobrir.
M756839 227,832 1992 David Slowinski and Paul Gage
M859433 258,716 1994 David Slowinski and Paul Gage
M1257787 378,632 1996 David Slowinski and Paul Gage
M1398269 420,921 1996 GIMPS, Joel Armengaud
M2976221 895,932 1997 GIMPS, Gordon Spence
M3021377 909,526 1998 GIMPS, Roland Clarkson
M6972593 2,098,960 1999 GIMPS, Nayan Hajratwala
M13466917 4,053,946 2001 GIMPS, Michael Cameron
M20996011 6,320,430 2003 GIMPS, Michael Shafer
M24036583 7,235,733 2004 GIMPS, Josh Findley
M25964951 7,816,230 2005 GIMPS, Martin Nowak
M30402457 9,152,052 2005 GIMPS, Curtis Cooper i Steven Boone professors de la Universitat Central de Missouri
M32582657 9,808,358 2006 GIMPS, Curtis Cooper i Steven Boone
M43112609 12,978,189 2008 GIMPS, Edson Smith
M57885161 17,425,170 2013 GIMPS, Curtis Cooper
M74207281 22,338,618 2016 GIMPS, Curtis Cooper
M77232917 23,249,425 2017 GIMPS, Jonathan Pace
M82589933 24,862,048 2018 GIMPS, Patrick Laroche

GIMPS va trobar els quinze últims registres (tots ells primers de Mersenne) en ordinadors normals operats per participants de tot el món.

Els vint nombres primers més grans coneguts

[modifica]

Chris K. Caldwell manté una llista dels 5.000 primers coneguts més grans,[15][16] dels quals els vint més grans es mostren a continuació.

Rang Número Descobert Dígits Ref
1 2 82589933 - 1 07/12/2018 24.862.048 [6]
2 2 77232917 - 1 26/12/2017 23.249.425 [17]
3 2 74207281 - 1 07/01/2016 22.338.618 [18]
4 2 57885161 - 1 25-01-2013 17.425.170 [19]
5 2 43112609 - 1 23-08-2008 12.978.189 [20]
6 2 42643801 - 1 04/06/2009 12.837.064 [21]
7 2 37156667 - 1 06-09-2008 11.185.272
8 2 32582657 - 1 04-09-2006 9.808.358 [22]
9 10223 × 2 31172165 + 1 31-10-2016 9.383.761 [23]
10 2 30402457 - 1 15/12/2005 9.152.052 [24]
11 2 25964951 - 1 18-02-2005 7.816.230 [25]
12 2 24036583 - 1 15/05/2004 7.235.733 [26]
13 2 20996011 - 1 17/11/2003 6.320.430 [27]
14 1059094 1048576 + 1 31-10-2018 6.317.602 [28]
15 919444 1048576 + 1 29-08-2017 6.253.210 [29]
16 168451 × 2 19375200 + 1 17-09-2017 5.832.522 [30]
17 123447 1048576 - 123447 524288 + 1 23-02-2017 5.338.805 [31]
18 7 × 6 6772401 + 1 09-09-2019 5.269.954 [32]
19 8508301 × 2 17016603 - 1 21-03-2018 5.122.515 [33]
20 6962 × 31 2863120 - 1 29-02-2020 4.269.952 [34]

Referències

[modifica]
  1. ↑ «GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 2136,279,841-1». Mersenne Research, Inc., 21-10-2024. [Consulta: 21 octubre 2024].
  2. ↑ Caldwell, Chris. «The largest known primes - Database Search Output». Prime Pages. [Consulta: 3 juny 2018].
  3. ↑ 3,0 3,1 Caldwell, Chris. «The Largest Known Prime by Year: A Brief History». Prime Pages. [Consulta: 20 gener 2016].
  4. ↑ The last non-Mersenne to be the largest known prime, was 391,581 ⋅ 2216,193 − 1; see also The Largest Known Prime by Year: A Brief History by Caldwell.
  5. ↑ «Perfect Numbers». Penn State University. Arxivat de l'original el 3 d’agost 2020. [Consulta: 6 octubre 2019].
  6. ↑ 6,0 6,1 «GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 282,589,933-1». Mersenne Research, Inc., 21-12-2018. [Consulta: 21 desembre 2018].
  7. ↑ 7,0 7,1 «Record 12-Million-Digit Prime Number Nets $100,000 Prize». Electronic Frontier Foundation. Electronic Frontier Foundation, 14-10-2009. [Consulta: 26 novembre 2011].
  8. ↑ Electronic Frontier Foundation, Big Prime Nets Big Prize.
  9. ↑ «Còpia arxivada». , 29-10-2008 [Consulta: 15 gener 2021]. Arxivat 22 August 2013[Date mismatch] a Wayback Machine. «Còpia arxivada». Arxivat de l'original el 2008-11-02. [Consulta: 15 gener 2021].
  10. ↑ Edward Sandifer, C. How Euler Did Even More, 19 novembre 2014. ISBN 9780883855843. 
  11. ↑ J. Miller, Large Prime Numbers. Nature 168, 838 (1951).
  12. ↑ Landon Curt Noll, Large Prime Number Found by SGI/Cray Supercomputer.
  13. ↑ Letters to the Editor. The American Mathematical Monthly 97, no. 3 (1990), p. 214. Accessed maig 22, 2020.
  14. ↑ Proof-code: Z, The Prime Pages.
  15. ↑ «The Prime Database: The List of Largest Known Primes Home Page». primes.utm.edu/primes. Chris K. Caldwell. [Consulta: 30 setembre 2017].
  16. ↑ «The Top Twenty: Largest Known Primes». Chris K. Caldwell. [Consulta: 3 gener 2018].
  17. ↑ «GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 277,232,917-1». mersenne.org. Great Internet Mersenne Prime Search. [Consulta: 3 gener 2018].
  18. ↑ «GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 274,207,281-1». mersenne.org. Great Internet Mersenne Prime Search. [Consulta: 29 setembre 2017].
  19. ↑ «GIMPS Discovers 48th Mersenne Prime, 257,885,161-1 is now the Largest Known Prime.». mersenne.org. Great Internet Mersenne Prime Search, 05-02-2013. [Consulta: 29 setembre 2017].
  20. ↑ «GIMPS Discovers 45th and 46th Mersenne Primes, 243,112,609-1 is now the Largest Known Prime.». mersenne.org. Great Internet Mersenne Prime Search, 15-09-2008. [Consulta: 29 setembre 2017].
  21. ↑ «GIMPS Discovers 47th Mersenne Prime, 242,643,801-1 is newest, but not the largest, known Mersenne Prime.». mersenne.org. Great Internet Mersenne Prime Search, 12-04-2009. [Consulta: 29 setembre 2017].
  22. ↑ «GIMPS Discovers 44th Mersenne Prime, 232,582,657-1 is now the Largest Known Prime.». mersenne.org. Great Internet Mersenne Prime Search, 11-09-2006. [Consulta: 29 setembre 2017].
  23. ↑ «PrimeGrid's Seventeen or Bust Subproject». primegrid.com. PrimeGrid. [Consulta: 30 setembre 2017].
  24. ↑ «GIMPS Discovers 43rd Mersenne Prime, 230,402,457-1 is now the Largest Known Prime.». mersenne.org. Great Internet Mersenne Prime Search, 24-12-2005. [Consulta: 29 setembre 2017].
  25. ↑ «GIMPS Discovers 42nd Mersenne Prime, 225,964,951-1 is now the Largest Known Prime.». mersenne.org. Great Internet Mersenne Prime Search, 27-02-2005. [Consulta: 29 setembre 2017].
  26. ↑ «GIMPS Discovers 41st Mersenne Prime, 224,036,583-1 is now the Largest Known Prime.». mersenne.org. Great Internet Mersenne Prime Search, 28-05-2004. [Consulta: 29 setembre 2017].
  27. ↑ «GIMPS Discovers 40th Mersenne Prime, 220,996,011-1 is now the Largest Known Prime.». mersenne.org. Great Internet Mersenne Prime Search, 02-12-2003. [Consulta: 29 setembre 2017].
  28. ↑ «PrimeGrid's Generalized Fermat Prime Search». primegrid.com. PrimeGrid. [Consulta: 7 novembre 2018].
  29. ↑ «PrimeGrid's Generalized Fermat Prime Search». primegrid.com. PrimeGrid. [Consulta: 30 setembre 2017].
  30. ↑ «PrimeGrid's Prime Sierpinski Problem». primegrid.com. PrimeGrid. [Consulta: 29 setembre 2017].
  31. ↑ «The Prime Database: Phi(3,-123447^524288)». primes.utm.edu. The Prime Pages. [Consulta: 30 setembre 2017].
  32. ↑ «The Prime Database: 7*6^6772401+1». primes.utm.edu. The Prime Pages= 12 setembre 2019.
  33. ↑ «PrimeGrid's Woodall Prime Search». primegrid.com. PrimeGrid. [Consulta: 2 abril 2018].
  34. ↑ «The Prime Database: 6962*31^2863120-1». primes.utm.edu. The Prime Pages. [Consulta: 6 abril 2020].
Obtingut de «https://ca.wikipedia.org/w/index.php?title=Nombre_primer_més_gran&oldid=34165018»