Paradoxes de Zenó

Les paradoxes de Zenó són una sèrie de paradoxes o apories, ideades per Zenó d'Elea (filòsof de l'escola d'Elea), per donar suport a la doctrina de Parmènides que les sensacions que obtenim del món són il·lusòries, i concretament, que no existeix el moviment. Racionalment, una persona no pot recórrer un estadi de longitud, perquè primer ha d'arribar a la meitat d'aquest, abans a la meitat de la meitat, però abans encara hauria de recórrer la meitat de la meitat de la meitat i així eternament fins a l'infinit. D'aquesta manera, teòricament, una persona no pot recórrer un estadi de longitud, encara que els sentits mostrin que sí que és possible.

Pertanyen a la categoria de paradoxes anomenades sofismes, açò és, que no sols aconsegueixen un resultat que sembla fals, sinó que a més ho és. Això és degut a una fal·làcia en el raonament, produït per la falta de coneixements sobre el concepte d'infinit en l'època en què van ser formulades.^[1]^[2]

Aquil·les i la tortuga

Aquil·les, anomenat "el dels peus lleugers" i el més hàbil guerrer dels aqueus, que va matar Hèctor, decideix sortir a competir en una cursa contra una tortuga, ja que corre molt més ràpid que aquesta. Segur de les seues possibilitats, li dona un gran avantatge inicial. En donar l'eixida, Aquil·les recorre en poc de temps la distància que els separava inicialment, però en arribar allí descobreix que la tortuga ja no hi és, sinó que ha avançat, més lentament, un xicotet tram. Sense desanimar-se, continua corrent, però en arribar de nou on estava la tortuga, aquesta ha avançat un poc més. D'aquesta manera, Aquil·les no guanyarà la carrera, ja que la tortuga estarà sempre per davant d'ell.^[3]

Rèplica a la paradoxa

Actualment, es coneix que Aquil·les realment aconseguirà atrapar la tortuga, ja que, com va demostrar el matemàtic escocès James Gregory (1638-1675), una suma d'infinits termes pot tenir un resultat finit. Els temps en què Aquil·les recorre la distància que el separa del punt anterior on es trobava la tortuga són cada vegada més i més xicotets, i la seua suma dona un resultat finit, que és el moment en què avançarà la tortuga.

Una altra manera de plantejar-ho és que Aquil·les pot fixar un punt d'arribada que està uns metres més endavant de la tortuga en comptes del punt en què aquesta es troba. Ara, en comptes de quantitats infinites, tenim dues quantitats finites amb les quals es pot calcular un espai finit de temps en el qual Aquil·les passarà a la tortuga.^[4]

La dicotomia

Aquesta paradoxa, coneguda com a argument o paradoxa de la dicotomia, és una variant de l'anterior.

Zenó està a vuit metres d'un arbre. Arribat un moment, llança una pedra, tractant de tocar l'arbre. La pedra, per a arribar a l'objectiu, ha de recórrer abans la primera meitat de la distància que la separa d'aquest, és a dir, els primers quatre metres, i tardarà un temps (finit) a fer-ho. Una vegada arribi a estar a quatre metres de l'arbre, haurà de recórrer els quatre metres que li queden, i per a això ha de recórrer primer la meitat d'aquesta distància. Però quan sigui a dos metres de l'arbre, tardarà temps a recórrer el primer metre, i després el primer mig metre restant, i després el primer quart de metre... D'aquesta manera, la pedra no arribarà mai a l'arbre.^[5]

És possible utilitzar aquest raonament, de manera anàloga, per a «demostrar» que la pedra no arribarà mai a sortir de la mà de Zenó.

Igual que en la paradoxa d'Aquil·les i la tortuga, és cert que la quantitat de distàncies recorregudes (i temps invertits a fer-ho) és infinita, però la seua suma és finita i, per tant, la pedra arribarà a l'arbre.

La paradoxa de la sageta

En aquesta paradoxa, es llança una sageta. En cada moment en el temps, la sageta està en una posició específica, i si aquell moment és prou petit, la sageta no té temps per a moure's, per la qual cosa està en el repòs durant aquell instant. Ara bé, durant els següents períodes, la sageta també estarà en repòs pel mateix motiu. De manera que la sageta està sempre en repòs: el moviment és impossible.^[6]

Una manera de resoldre-ho és observar que, malgrat que en cada instant la sageta es percep com en repòs, estar en repòs és un terme relatiu.^[7] No es pot jutjar, observant només un instant qualsevol, si un objecte està en repòs. En comptes d'això, és necessari comparar-lo amb altres instants adjacents. Així, si el comparem amb altres instants, la sageta està en posició diferent de la qual estava abans i en la qual estarà després. Per tant, la sageta s'està movent.^[8]

Vegeu també

Aporia.

Referències

↑ Boyer, Carl. The History of the Calculus and Its Conceptual Development. Dover Publications, 1959, p. 295. ISBN 978-0-486-60509-8 [Consulta: 26 febrer 2010].
↑ Lindberg, David. The Beginnings of Western Science. 2ª edició. University of Chicago Press, 2007, p. 33. ISBN 978-0-226-48205-7.
↑ Huggett, Nick. «Zeno's Paradoxes: 3.2 Achilles and the Tortoise». A: Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2010 [Consulta: 7 març 2011].
↑ Zeno's Paradox: Achilles and the Tortoise by Jon McLoone, Wolfram Demonstrations Project.
↑ Huggett, Nick. «Zeno's Paradoxes: 3.1 The Dichotomy». A: Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2010 [Consulta: 7 març 2011].
↑ Huggett, Nick. «Zeno's Paradoxes: 3.3 The Arrow». A: Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2010 [Consulta: 7 març 2011].
↑ Aristotle. «Physics». The Internet Classics Archive. «Zeno's reasoning, however, is fallacious, when he says that if everything when it occupies an equal space is at rest, and if that which is in locomotion is always occupying such a space at any moment, the flying arrow is therefore motionless. This is false, for time is not composed of indivisible moments any more than any other magnitude is composed of indivisibles.»
↑ Laërtius, Diogenes. «Pyrrho». A: Lives and Opinions of Eminent Philosophers. IX, c. 230. ISBN 1-116-71900-2.

Bibliografia

Dowden, Bradley. "Zeno’s Paradoxes." Internet Encyclopedia of Philosophy (anglès)
Geoffrey Kirk, John E. Raven, M. Schofield (1984) The Presocratic Philosophers: A Critical History with a Selection of Texts, 2nd ed. Cambridge University Press. ISBN 0-521-27455-9.
Huggett, Nick. «Zeno's Paradoxes». A: Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2010 [Consulta: 7 març 2011].
Sainsbury, R.M. (2003) Paradoxes, 2nd ed. Cambridge University Press. ISBN 0-521-48347-6.

[boyer-1] Boyer, Carl. The History of the Calculus and Its Conceptual Development. Dover Publications, 1959, p. 295. ISBN 978-0-486-60509-8 [Consulta: 26 febrer 2010].

[2] Lindberg, David. The Beginnings of Western Science. 2ª edició. University of Chicago Press, 2007, p. 33. ISBN 978-0-226-48205-7.

[3] Huggett, Nick. «Zeno's Paradoxes: 3.2 Achilles and the Tortoise». A: Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2010 [Consulta: 7 març 2011].

[4] Zeno's Paradox: Achilles and the Tortoise by Jon McLoone, Wolfram Demonstrations Project.

[5] Huggett, Nick. «Zeno's Paradoxes: 3.1 The Dichotomy». A: Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2010 [Consulta: 7 març 2011].

[HuggettArrow-6] Huggett, Nick. «Zeno's Paradoxes: 3.3 The Arrow». A: Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2010 [Consulta: 7 març 2011].

[7] Aristotle. «Physics». The Internet Classics Archive. «Zeno's reasoning, however, is fallacious, when he says that if everything when it occupies an equal space is at rest, and if that which is in locomotion is always occupying such a space at any moment, the flying arrow is therefore motionless. This is false, for time is not composed of indivisible moments any more than any other magnitude is composed of indivisibles.»

[8] Laërtius, Diogenes. «Pyrrho». A: Lives and Opinions of Eminent Philosophers. IX, c. 230. ISBN 1-116-71900-2.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]