Subsuccessió

En matemàtiques, una subsuccessió o successió parcial és una successió formada per infinits termes d'una successió. És a dir, una subsuccessió ${\displaystyle \{a_{n_{k}}\}_{n_{k}}}$ de la successió ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n}}$ compleix ${\displaystyle \{a_{n_{k}}\}_{n_{k}}\subset \{a_{n}\}_{n}}$.

Siguin ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ una successió i ${\displaystyle N_{0}\subseteq \mathbb {N} }$ un subconjunt dels naturals amb cardinalitat infinita, aleshores, ${\displaystyle \{a_{n_{k}}\}_{n_{k}\in \mathbb {N_{0}} }}$ és una subsuccessió de ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$.

Donada una successió ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$,

• Els termes de ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ que ocupen una posició parella conformen una subsuccessió:

${\displaystyle \{a_{n_{k}}:=a_{2\cdot n}\}_{n_{k}}}$

• Els termes de ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ que ocupen una posició senar conformen una altra subsuccessió:

${\displaystyle \{a_{n_{p}}:=a_{2\cdot n+1}\}_{n_{p}}}$

Per exemple, la successió dels nombres parells és ${\displaystyle a_{n}=2\cdot n}$ (és a dir, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20...). Les següents successions són subsuccessions d'aquesta:

• ${\displaystyle b_{k}=a_{2\cdot k}}$ (4, 8, 12, 16...)
• ${\displaystyle c_{k}=a_{2\cdot k+1}}$ (2, 6, 10, 14...)
• ${\displaystyle d_{k}=2^{k}}$ (2, 4, 8, 16, 32...)

La següent successió no és subsuccessió de ${\displaystyle \{2\cdot n\}_{n\in \mathbb {N} }}$:

• ${\displaystyle e_{k}=2}$ (2, 2, 2, 2, 2...)

Com que una subsuccessió és, en particular, una successió, mantenen les propietats d'aquestes. Els resultats més rellevants que involucren subsuccessions són els següents:^[1]

• Si una successió és convergent a ${\displaystyle L\in \mathbb {R} }$, aleshores totes les seves successions convergeixen també a ${\displaystyle L}$.
• Si una successió és fitada, aleshores totes les seves successions també ho són.
• Si una successió ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ té dues subsuccessions que convergeixen a límits distints, aleshores ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ no convergeix.
• Tota successió de reals fitada conté alguna subsuccessió convergent (Teorema de Bolzano-Weierstrass).

• D'Angelo, J. P. and West, D. B. Mathematical Thinking: Problem-Solving and Proofs, 2nd ed. Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, pp. 277–279, 2000.

• Successió
• Límit d'una successió
• Progressió aritmètica
• Progressió geomètrica
• Successió recurrent lineal
• Successió d'Ulam