Teorema de Gauss-Bonnet

En geometria diferencial, el teorema de Gauss-Bonnet (o fórmula de Gauss-Bonnet) és una fórmula que afirma la igualtat de dues quantitats definides de forma ben diferent en una varietat riemanniana compacta i orientable de dues dimensions M: la integral de la curvatura gaussiana de M (sentit geomètric) i ${\displaystyle 2\pi }$ vegades la característica d'Euler de M (sentit topològic).^[1]

El teorema porta el nom dels matemàtics Carl Friedrich Gauss, qui va tenir consciència d'una versió del teorema sense haver-la mai publicat, i de Pierre-Ossian Bonnet, qui en va publicar una versió particular el 1848.

Sigui ${\displaystyle M}$ una varietat riemanniana de dues dimensions compacta i sense límits; aleshores la integral de la curvatura de Gauss permet calcular característica d'Euler de la superfície.

${\displaystyle \int _{M}K\;dA=2\pi \chi (M)}$ ^[2]

Per una varietat compacte amb límits, la fórmula és:

${\displaystyle \int _{M}K\;dA+\int _{\partial M}k_{g}\;ds=2\pi \chi (M)}$

siguent ${\displaystyle k_{g}}$ la curvatura geodèsica dels vértexs ${\displaystyle \partial M}$.

Si el límit ${\displaystyle \partial M}$ només és regular a trossos, la fórmula continua sent vàlida, prenent en lloc de l'integral ${\displaystyle \int _{\partial M}k_{g}\;ds}$ la suma de les integrals corresponents de les porcions regulars del límit més la suma dels angles formats als punts angulars.

• Bloch, Ethan D. «The Gauss-Bonnet Theorem». A: A First Course in Geometric Topology and Differential Geometry (en (anglès)). Birkäuser, 1997, p. 328-380. ISBN 978-0-8176-8122-7. 
• Givental, Alexander «Geometry of Surfaces and the Gauss–Bonnet Theorem» (en (anglès)). . Berkeley Math Circle, pàg. 1-12.
• Lee, John M. «The Gauss-Bonnet Theorem». A: Riemannian Manifolds (en (anglès)). Springer, 1997, p. 155-172. ISBN 978-0-387-98322-6. 
• Raghunathan, M.S. «The Gauss–Bonnet Theorem» (en (anglès)). Indian Journal of Pure and Applied Mathematics, Vol. 46, Num. 6, 2015, pàg. 893-900. Arxivat de l'original el 2017-02-03. DOI: 10.1007/s13226-015-0163-2.

• Gauss-Bonnet Formula per Weisstein, Eric W. a MathWorld.