Teorema del valor mitjà de Cauchy

Aquest article o secció no cita les fonts o necessita més referències per a la seva verificabilitat.

En càlcul diferencial, el teorema del valor mitjà de Cauchy és una generalització del teorema del valor mitjà (de Lagrange). A partir d'aquest es pot demostrar la regla de l'Hôpital, molt útil per resoldre indeterminacions del tipus ${\displaystyle \textstyle {\frac {0}{0}}}$ i ${\displaystyle \textstyle {\frac {\infty }{\infty }}}$.

El teorema diu el següent:

Com s'ha dit anteriorment, aquest teorema és una generalització del teorema del valor mitjà de Lagrange, ja que aquest ocorre quan ${\displaystyle \,g(x)=x}$.

Tenim dues funcions ${\displaystyle \,f(x)}$ i ${\displaystyle \,g(x)}$ continues a ${\displaystyle \,[a,b]}$ i derivables a ${\displaystyle \,(a,b)}$. A partir d'aquestes podem definir una nova funció com:

${\displaystyle \,h(x)=f(x)[g(b)-g(a)]-g(x)[f(b)-f(a)]}$

Aquesta funció compleix el teorema de Rolle, ja que:

${\displaystyle {\begin{aligned}h(a)=f(a)g(b)-f(b)g(a)\\h(b)=f(a)g(b)-f(b)g(a)\end{aligned}}}$

Per tant, ${\displaystyle \exists c\in (a,b):h'(c)=0}$. Calculant la derivada de ${\displaystyle \,h(x)}$:

${\displaystyle \,h'(x)=f'(x)[g(b)-g(a)]-g'(x)[f(b)-f(a)]}$

I introduint-hi el valor de ${\displaystyle \,c}$, veiem que

${\displaystyle \,h'(c)=f'(c)[g(b)-g(a)]-g'(c)[f(b)-f(a)]=0}$

Que és equivalent al que volíem demostrar.

${\displaystyle \,g'(c)[f(b)-f(a)]=f'(c)[g(b)-g(a)]}$

A més a més, si ${\displaystyle g(b)\neq g(a)}$ i ${\displaystyle \,g'(c)\neq 0}$, l'equació anterior es pot escriure com:

${\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}}$