Relativitat especial

La Teoria especial de la relativitat (coneguda també com a relativitat especial, relativitat restringida o RE), va ser publicada per Albert Einstein el 1905,^[1] i descriu la física del moviment en absència de camps gravitacionals. Aquests conceptes van ser presentats anteriorment per Henri Poincaré i Hendrik Lorentz, que també són considerats com a iniciadors de la teoria. Fins aleshores, els físics pensaven que la mecànica clàssica d'Isaac Newton, basada en l'anomenada relativitat de Galileu (origen de les equacions matemàtiques conegudes com a transformacions de Galileu), descrivia els conceptes de velocitat i força per a tots els observadors, o sistemes de referència. No obstant això, Hendrik Lorentz i altres, havien comprovat que les equacions de Maxwell, que governen l'electromagnetisme, no es comportaven d'acord amb les lleis de Newton quan el sistema de referència canvia; per exemple, quan es considera el mateix problema físic des del punt de vista de dos observadors que es mouen l'un respecte de l'altre.

La noció de transformació de les lleis de la física respecte als observadors és la que dona nom a la teoria, que s'ajusta amb el qualificatiu d'especial o restringida per cenyir-se a casos de sistemes en els quals no es té en compte els camps gravitatoris. Una extensió d'aquesta teoria, que inclou els camps gravitatoris, és la Teoria General de la Relativitat, publicada per Einstein el 1916.

Motivació de la teoria[modifica]

A començaments del segle xix les lleis de Newton tenien un ampli reconeixement. Aquest reconeixement es va acabar de consolidar amb el descobriment del planeta Neptú. El planeta Urà semblava que no seguia l'òrbita exacta que preveien les lleis de Newton, llavors Francesc Aragó va suggerir al seu alumne Le Verrier que fes els càlculs de quina òrbita hauria de tenir un hipotètic planeta que provoqués les alteracions observades en l'òrbita d'Urà. Els astrònoms van enfocar els telescopis a la posició del cel on segons els càlculs de Leverrier hi havia d'haver el nou planeta i efectivament van descobrir Neptú.

No obstant això s'estaven gestant altres observacions que feien pensar que les lleis de Newton no eren del tot correctes.

Camps magnètics generats pel corrent elèctric[modifica]

La relació entre l'electricitat i el magnetisme, basada en la capacitat del corrent elèctric per desviar una agulla magnètica, va ser descoberta de forma independent per Gian Domenico Romagnosi i Hans Christian Ørsted. Cap dels dos en van treure més conseqüències ni van desenvolupar cap teoria per explicar-ho. Romagosi ho va descobrir el 1802 i va enviar un informe a l'Acadèmia de París, però en aquell moment la comunitat científica l'ignora.^[2] El 1820 Hans Christian Ørsted redescobreix el fenomen i presenta el seu experiment a Ginebra. Francesc Aragó va presenciar l'experiment d'Ørsted a Ginebra, el va repetir a París i va animar a Ampère a investigar sobre el fenomen.^[3] Ampère va deduir-ne que les accions magnètiques són degudes al moviment de l'electricitat.

Aquest fet presenta un problema fonamental. Per una banda si un corrent elèctric crea un camp magnètic, una càrrega elèctrica en moviment ha de crear un camp magnètic. Però si un observador es mou conjuntament amb la càrrega, o bé no observa cap camp magnètic (perquè per a ell la càrrega no es mou), o bé la llei del camp magnètic induït per un corrent no és la mateixa depenent de la velocitat de l'observador.

De fet, si dues càrregues elèctriques romanen immòbils entre si i l'observador, aquest només hauria d'observar la força calculada segons la llei de l'electroestàtica:

Dos cables pels quals circula un corrent elèctric experimenten una força d'atracció que es pot interpretar com deguda als camps magnètics que crea el corrent elèctric

.

{\overset {\to }{\mathop {F} }}\,_{e}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r^{2}}}{\frac {{\overset {\to }{\mathop {r} }}\,}{r}}

En canvi, si les dues càrregues es mouen conjuntament a una velocitat v respecte de l'observador, llavors segons les lleis del camp magnètic, a més hauria d'observar una força magnètica.

El camp magnètic generat per la segona càrrega al punt on es troba la primera seria:

{\overset {\to }{\mathop {B} }}\,={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {Q_{2}{\overset {\to }{\mathop {v} }}\,\times {\overset {\to }{\mathop {r} }}\,}{r^{3}}}

I la força que aquest camp magnètic faria sobre la primera càrrega:

{\begin{aligned}{\overset {\to }{\mathop {F} }}\,_{m}&=Q_{1}{\overset {\to }{\mathop {v} }}\,\times {\overset {\to }{\mathop {B} }}\,\\&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r^{3}}}{\overset {\to }{\mathop {v} }}\,\times {\overset {\to }{\mathop {r} }}\,\\\end{aligned}}

Per tant ara la força total que s'observaria entre les dues càrregues seria:

{\overset {\to }{\mathop {F} }}\,={\frac {Q_{2}Q_{1}}{4\pi r^{2}}}\left({\frac {\mu _{0}{\overset {\to }{\mathop {v} }}\,\times {\overset {\to }{\mathop {r} }}\,}{r}}+{\frac {{\overset {\to }{\mathop {r} }}\,}{\varepsilon _{0}r}}\right)

Però això és independent de si la velocitat relativa entre les càrregues i l'observador s'ha produït perquè les càrregues s'han posat en moviment o perquè s'ha accelerat l'observador. Un observador pot començar l'experiment mesurant la força entre dues càrregues en repòs a terra, pujar ell a un vagó de tren i en posar-se en marxa el tren, veure com la força entre les càrregues varia.

La força magnètica comparada amb la força electroestàtica és extraordinàriament petita:

\left\|{\frac {{\overset {\to }{\mathop {F} }}\,_{m}}{{\overset {\to }{\mathop {F} }}\,_{e}}}\right\|=\left\|{\frac {{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r^{2}}}{\overset {\to }{\mathop {v} }}\,\times {\frac {{\overset {\to }{\mathop {r} }}\,}{r}}}{{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r^{2}}}{\frac {{\overset {\to }{\mathop {r} }}\,}{r}}}}\right\|=\mu _{0}\varepsilon _{0}\left\|{\overset {\to }{\mathop {v} }}\,\right\|\sin \alpha

On v és la velocitat relativa entre les càrregues i l'observador i α és l'angle entre el vector que va d'una càrrega a l'altre i el vector velocitat.

Tenint en compte que:

{\begin{aligned}&\mu _{0}=4\pi \cdot 10^{-7}\\&\varepsilon _{0}=8,8542\cdot 10^{-12}\\\end{aligned}}

Resulta que el coeficient que multiplica la velocitat és:

\mu _{0}\varepsilon _{0}=4\pi \cdot 10^{-7}\cdot 8,8542\cdot 10^{-12}\approx 11,1265\cdot 10^{-18}={\frac {1}{\left(299,792\cdot 10^{6}\right)^{2}}}\approx {\frac {1}{c^{2}}}

Perquè aquesta força sigui apreciable cal que, o bé la velocitat sigui molt gran, o bé que les forces electroestàtiques siguin molt grans i es cancel·lin de forma que només s'apreciï la força magnètica. Això és el que passa en el cas de fils conductors del corrent, els fils tenen càrregues positives i negatives que es cancel·len les forces electroestàtiques i només resten les forces magnètiques entre els portadors en moviment respecte de l'observador.

L'experiment de Francesc Aragó de 1810[modifica]

El 1810 Francesc Aragó fa un experiment, que presenta oralment a l'Acadèmia de Ciències el 10 de desembre (tot i que no es va publicar fins al 1853 just abans de la seva mort, més de quaranta anys més tard): es tractava de mesurar la velocitat de la llum que ve dels estels, comparant el valor al matí a les 6 h i al vespre a les 18 h. A les 6 h, quan s'observa un estel al zenit, la Terra s'apropa a l'estel, s'hauria de mesurar c + V, on V és la velocitat tangencial de rotació de la Terra i c la velocitat de la llum; a les 18 h, per a un estel al zenit, la Terra s'allunya, s'hauria de mesurar c - V. Ara bé l'experiència va resultar negativa. Les diferències observades van ser molt petites, del mateix ordre de magnitud que les observades entre diferents estels i perfectament atribuïbles a errors d'experimentació. A l'octubre, Aragó repeteix l'experiment i el resultat torna a ser el mateix. La velocitat de rotació de la terra al votant del sol tampoc no afecta la velocitat observada de la llum.^[4]

En aquest experiment Aragó no mesura directament la velocitat de la llum sinó que ho fa indirectament a partir de l'índex de refracció. Això fa que hi hagi una possible explicació que permeti conciliar aquest resultat amb les lleis de Newton, Aragó diu:

«	Sembla fins i tot que no se'n pot donar raó més que suposant que els cossos lluminosos emeten raigs amb tota mena de velocitats, amb la condició que s'admeti igualment que aquests raigs no són visibles més que quan les seves velocitats estan compreses entre uns límits determinats: sota aquestes hipòtesis, en efecte, la visibilitat dels raigs dependrà de les seves velocitats relatives, i, com que aquestes velocitats determinen la quantitat de refracció, els raigs visibles seran sempre igualment refractats.	»
— Francesc Aragó

L'única forma de resoldre la qüestió era la mesura directa de la velocitat de la llum. Aragó va definir els principis generals del sistema per mesurar directament la velocitat de la llum però els seus problemes de visió li impediren participar en els experiments.

Finalment Fizeau va mesurar-la directament el 1849,^[5] més tard Léon Foucault el 1862^[6] i Albert Abraham Michelson el 1878^[7]

Les mesures experimentals tenien cada cop més precisió i sempre donaven el mateix resultat de l'experiment d'Aragó del 1810: La velocitat de la llum era constant i independent de la velocitat relativa entre l'emissor i el receptor.

Transformacions de coordenades[modifica]

Abans de la formulació de la teoria especial de la relativitat, Hendrik Lorentz i uns altres ja havien descobert que l'electromagnetisme diferia de la física newtoniana que les observacions d'un fenomen podrien diferir d'una persona a una altra que estigués movent-se relativament a la primera a velocitats pròximes a les de la llum. Així, una pot observar la inexistència d'un camp magnètic mentre l'altra l'observa amb claredat en el mateix espai físic.

Lorentz va suggerir una teoria de l'èter en la qual objectes i observadors viatjarien a través d'un èter estacionari, sofrint un escurçament físic (hipòtesi de contracció de Lorentz) i un canvi en el pas del temps (dilatació del temps). Lorentz estava motivat pels resultats negatius del moviment relatiu de la llum pel que fa a l'èter proporcionat uns anys abans pel cèlebre experiment de Michelson-Morley. L'explicació de Lorentz subministrava una reconciliació parcial entre la física newtoniana i l'electromagnetisme, que es conjugaven aplicant la transformació de Lorentz, que vindria a substituir a la transformació de Galileu vigent en el sistema newtonià. La formulació de l'electromagnetisme enfront de les transformacions de Lorentz va anar també estudiada pel físic francès Henri Poincaré. Quan les velocitats involucrades són molt menors que c (la velocitat de la llum), les lleis resultants són en la pràctica les mateixes que en la teoria de Newton, i les transformacions es redueixen a les de Galileu. En qualsevol cas, la teoria de l'èter va ser criticada fins i tot pel mateix Lorentz, a causa de la seva naturalesa.

Lorentz va suggerir la seva transformació com una descripció matemàtica precisa dels resultats dels experiments.

Einstein a més d'obtenir les mateixes equacions imposant la constància de la velocitat de la llum per a tots els observadors, va interpretar el significat de la transformació imposant la condició addicional que aplicant aquesta transformació en comptes de la de Galileu les lleis de la física havien de ser independents de la velocitat relativa entre els observadors (invariants en diferents sistemes inercials, és a dir, per a diferents observadors). D'aquesta idea va sorgir el títol original de la teoria, "Teoria dels invariables". Va ser Max Planck qui va suggerir posteriorment el terme "relativitat" per a ressaltar la noció de transformació de les lleis de la física entre observadors movent-se relativament entre si. El fet d'imposar la condició que les lleis de la física siguin invariants obliga en alguns casos a reformular algunes lleis, i en altres certes magnituds han de patir transformacions de l'estil com passa amb la posició i la duració. Per exemple la velocitat i la massa d'un objecte són magnituds que no donen el mateix valor si les mesura un observador o si les mesura un altre que es mou amb determinada velocitat relativa respecte del primer, lleis com la dels camps magnètics apareixen de manera natural aplicant la transformació relativista a la força del camp electroestàtic i apareixen altres fenòmens nous, per exemple, qualsevol força s'ha de transformar igual que una força electroestàtica per tant hi ha un equivalent "magnètic" de qualsevol classe de força, l'energia cinètica relativista no és igual a l'energia cinètica clàssica, etc.

La relativitat especial estudia el comportament d'objectes i observadors que romanen en repòs o es mouen amb moviment uniforme (i.e., velocitat relativa constant). En aquest cas, es diu que l'observador està en un sistema de referència inercial. La comparació d'espais i temps entre observadors inercials pot ser realitzada usant les transformacions de *Lorentz. La teoria especial de la relativitat pot predir així mateix el comportament de cossos accelerats quan aquesta acceleració no impliqui forces gravitatòries, en aquest cas és necessària la relativitat general.

La transformació de Galileu[modifica]

El primer concepte de teoria de la relativitat és degut a Galileo Galilei en el seu llibre Dialogus de Duobus Systematis Maximis Mundani.^[8] El problema de trobar una llei que permeti calcular les mesures que farà un observador O₂ sabent les mesures que ha fet un altre observador O₁ i la velocitat v relativa entre ells, es pot plantejar donant per fet el resultat intuïtiu de la transformació de Galileu. Si cada observador té un sistema de coordenades cartesianes, mesurant la posició dels objectes en l'eix x i suposant que la velocitat relativa entre els dos és també en l'eix x, si al començament (t₁ = t₂ = 0) els sistemes de coordenades dels dos observadors tenen els orígens coincidents (x₁ = x₂), llavors si en un moment t₁ l'observador O₁ observa un objecte en la posició x₁, l'observador O₂ l'observarà en:

{\begin{aligned}&x_{2}=x_{1}+v\cdot t_{1}\\&t_{2}=t_{1}\\\end{aligned}}

Però per entendre la teoria de la relativitat és preferible deduir aquesta transformació a partir de principis més elementals. El problema consisteix a trobar dues funcions que permetin calcular les mesures que obtindrà l'observador O₂ a partir de les mesures fetes per l'observador O₁:

{\begin{aligned}&x_{2}=f\left(v,x_{1},t_{1}\right)\\&t_{2}=g\left(v,x_{1},t_{1}\right)\\\end{aligned}}

Els principis més elementals o resultats d'experiments són:

L'extensió i la duració dels objectes són acumulatives.
Si es fiquen dos objectes un a continuació de l'altre en línia recta, per a tots dos observadors la longitud total és la suma de longituds.

Si dos esdeveniments succeeixen un a continuació de l'altre, per a tots dos observadors la durada total és la suma de durades.
Si un objecte resta quiet, respecte d'un observador l'altre el veu moure's amb la mateixa velocitat amb què veu que es mou aquest observador.
Si un observador veu que un altre es mou a una determinada velocitat v l'altre el veu a ell movent-se a la mateixa velocitat però en sentit contrari: -v.
A l'espai no hi ha direccions privilegiades: Si l'observador O₁ es mou amb velocitat -v el resultat és el mateix que si es mou amb velocitat v.

D'aquests quatre principis es dedueix que les funcions de transformació han de ser de la forma:

\left({\begin{matrix}{\text{x}}_{\text{2}}\\{\text{t}}_{\text{2}}\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}a\left(v\right)&v\cdot a\left(v\right)\\d\left(v\right)&a\left(v\right)\\\end{matrix}}\right)\cdot \left({\begin{matrix}x_{1}\\t_{1}\\\end{matrix}}\right)

Amb la restricció afegida que:

\left[a\left(v\right)\right]^{2}-v\cdot a\left(v\right)\cdot d\left(v\right)=1

Per tant, no queda completament determinat. Hi ha moltes solucions possibles, una és: a(v) = 1; d(v) = 0, que condueix a la transformació de Galileu:

\left({\begin{matrix}{\text{x}}_{\text{2}}\\{\text{t}}_{\text{2}}\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}1&v\\0&1\\\end{matrix}}\right)\cdot \left({\begin{matrix}x_{1}\\t_{1}\\\end{matrix}}\right)

De fet és l'única solució on les funcions a(v) i d(v) són independents de v i és l'única compatible amb el fet que el temps mesurat per tots els observadors sigui el mateix.

Demostració

Del principi 1 resulta que les funcions f i g no poden ser completament arbitràries, si es transformen la unitat de longitud i la unitat de temps de forma:

{\begin{aligned}&f\left(1,0,v\right)=a\left(v\right)\\&g\left(1,0,v\right)=d\left(v\right)\\&f\left(0,1,v\right)=b\left(v\right)\\&g\left(0,1,v\right)=e\left(v\right)\\\end{aligned}}

Llavors la transformació d'una mesura de longitud x₁ i durada t₁ ha de ser:

{\begin{aligned}&x_{2}=a\left(v\right)\cdot x_{1}+b\left(v\right)\cdot t_{1}\\&t_{2}=d\left(v\right)\cdot x_{1}+e\left(v\right)\cdot t_{1}\\\end{aligned}}

Només cal posar un a continuació de l'altre en línia recta, x₁ objectes de longitud 1 i al lloc on s'acaba l'últim objecte, un després de l'altre en el temps, t₁ objectes de durada 1. Un cop fet això s'aplica el principi 1 als primers dos objectes, després a l'objecte resultat de considerar units els dos primers i el tercer i així successivament fins a l'últim.

Aquesta expressió es pot escriure de forma matricial:

\left({\begin{matrix}x_{2}\\t_{2}\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}a\left(v\right)&b\left(v\right)\\d\left(v\right)&e\left(v\right)\\\end{matrix}}\right)\cdot \left({\begin{matrix}x_{1}\\t_{1}\\\end{matrix}}\right)

Si la longitud x₁ i la durada t₁ no són nombres enters, el resultat és el mateix. Es pot demostrar de moltes maneres, però la més natural és fixant-se que les unitats de mesura es poden triar prou petites perquè l'error d'arrodonir a nombres enters sigui completament inapreciable.

Si es considera objecte de longitud zero (un punt) fix a l'origen de O₁, per a l'observador O₁ aquest objecte romandrà sempre a x₁ = 0. Per tant per a l'observador O₂ ha de ser:

{\begin{aligned}&x_{2}=b\left(v\right)\cdot t_{1}\\&t_{2}=e\left(v\right)\cdot t_{1}\\\end{aligned}}

Però com que pel principi 2 l'observador 2 veu aquest objecte movent-se a velocitat v (donat que els dos observadors han triat els seus sistemes de coordenades de forma que al començament els dos orígens coincideixen) per a l'observador 2:

x_{2}=v\cdot t_{2}

Substituint el valor de t₂ anterior en aquesta equació queda:

x_{2}=v\cdot e\left(v\right)\cdot t_{1}

Per tant ha de ser:

b\left(v\right)=v\cdot e\left(v\right)

Amb això les quatre funcions de la transformació matricial queden reduïdes a tres:

\left({\begin{matrix}x_{2}\\t_{2}\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}a\left(v\right)&v\cdot e\left(v\right)\\d\left(v\right)&e\left(v\right)\\\end{matrix}}\right)\cdot \left({\begin{matrix}x_{1}\\t_{1}\\\end{matrix}}\right)

A partir d'aquesta expressió es pot x₁ i t₁, i s'obté:

{\begin{aligned}&\left\{{\begin{aligned}&x_{1}\\&t_{1}\\\end{aligned}}\right\}=\left[{\begin{matrix}a\left(v\right)&v\cdot e\left(v\right)\\d\left(v\right)&e\left(v\right)\\\end{matrix}}\right]^{-1}\cdot \left\{{\begin{matrix}x_{2}\\t_{2}\\\end{matrix}}\right\}\\&\left\{{\begin{aligned}&x_{1}\\&t_{1}\\\end{aligned}}\right\}={\frac {1}{a\left(v\right)\cdot e\left(v\right)-v\cdot e\left(v\right)\cdot d\left(v\right)}}\cdot \left[{\begin{matrix}e\left(v\right)&-v\cdot e\left(v\right)\\-d\left(v\right)&a\left(v\right)\\\end{matrix}}\right]^{-1}\cdot \left\{{\begin{matrix}x_{2}\\t_{2}\\\end{matrix}}\right\}\\&\left\{{\begin{aligned}&x_{1}\\&t_{1}\\\end{aligned}}\right\}=D\cdot \left[{\begin{matrix}e\left(v\right)&-v\cdot e\left(v\right)\\-d\left(v\right)&a\left(v\right)\\\end{matrix}}\right]^{-1}\cdot \left\{{\begin{matrix}x_{2}\\t_{2}\\\end{matrix}}\right\}\\\end{aligned}}

On:

D={\frac {1}{a\left(v\right)\cdot e\left(v\right)-v\cdot e\left(v\right)\cdot d\left(v\right)}}

Però d'acord amb el principi 3, l'observador O₁ veu a l'observador O₂ movent-se a velocitat -v, per tant també ha de ser:

\left\{{\begin{aligned}&x_{1}\\&t_{1}\\\end{aligned}}\right\}=\left[{\begin{matrix}a\left(-v\right)&-v\cdot e\left(-v\right)\\d\left(-v\right)&e\left(-v\right)\\\end{matrix}}\right]\cdot \left\{{\begin{matrix}x_{2}\\t_{2}\\\end{matrix}}\right\}

Per tant, igualant els coeficients de les dues matrius, ha de ser:

{\begin{aligned}D\cdot e\left(v\right)&=a\left(-v\right)\quad \quad \ \,\left(1\right)\\-D\cdot v\cdot e\left(v\right)&=-v\cdot e\left(-v\right)\quad \left(2\right)\\-D\cdot d\left(v\right)&=d\left(-v\right)\quad \quad \ \,\left(3\right)\\D\cdot a\left(v\right)&=e\left(-v\right)\quad \quad \ \,\,\left(4\right)\end{aligned}}

Aïllant e(-v) a (2) i substituint a (4) resulta que ha de ser a(v) = e(v) per tant l'expressió matricial queda:

\left\{{\begin{aligned}&x_{2}\\&t_{2}\\\end{aligned}}\right\}=\left[{\begin{matrix}a\left(v\right)&v\cdot a\left(v\right)\\d\left(v\right)&a\left(v\right)\\\end{matrix}}\right]\cdot \left\{{\begin{matrix}x_{1}\\t_{1}\\\end{matrix}}\right\}

I substituint a la primera queda:

D\cdot a\left(v\right)=a\left(-v\right)

Però pel principi 4 la transformació d'una distància o d'una durada ha de ser la mateixa per a v que per a –v altrament hi hauria una direcció que donaria un resultat diferent que l'altre, hi hauria una direcció privilegiada. Per tant ha de ser:

{\begin{aligned}a\left(v\right)&=a\left(v\right)\\D\cdot a\left(v\right)&=a\left(v\right)\\D&=1\\\end{aligned}}

Per tant, substituint en l'expressió de D el valor de e(v) trobat abans queda:

D={\frac {1}{\left[a\left(v\right)\right]^{2}-v\cdot a\left(v\right)\cdot d\left(v\right)}}=1

\left[a\left(v\right)\right]^{2}-v\cdot a\left(v\right)\cdot d\left(v\right)=1

Q.E.D

La transformació de Lorentz[modifica]

La transformació de Lorentz resulta de manera natural d'acceptar el resultat verificat pels diversos experiments començant pel de Francesc Aragó de 1810 que la velocitat de la llum és sempre la mateixa per a tots els observadors.

Aquest és el principi fonamental que mancava per acabar de determinar la fórmula que ha de permetre calcular les mesures que farà l'observador O₂ a partir de les que ha fet l'observador O₁ i que en la transformació de Galileu s'havia obtingut de forma arbitrària.

El resultat és:

\left\{{\begin{aligned}&x_{2}\\&t_{2}\\\end{aligned}}\right\}={\frac {1}{\sqrt {\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)}}}\cdot \left[{\begin{matrix}1&v\\{\frac {v}{c^{2}}}&1\\\end{matrix}}\right]\cdot \left\{{\begin{matrix}x_{1}\\t_{1}\\\end{matrix}}\right\}

On c és la velocitat de la llum.

Aquesta expressió es presenta de forma més compacta definint l'anomenat factor de Lorentz γ:

\gamma \equiv {\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}

Llavors queda:

\left\{{\begin{matrix}x_{2}\\t_{2}\\\end{matrix}}\right\}=\gamma \left({\begin{matrix}1&v\\{\frac {v}{c^{2}}}&1\\\end{matrix}}\right)\cdot \left\{{\begin{matrix}x_{1}\\t_{1}\\\end{matrix}}\right\}

Fixeu-vos que el factor de Lorentz a velocitats petites creix molt a poc a poc, per exemple, per a velocitats més petites de 30.000 km/s, és a dir 108.000.000 km/h o un 10% de la velocitat de la llum, el factor és més petit d'1,005 és a dir un 0,5% més gran que 1.

A l'esquerra es presenta la representació gràfica de la funció que a cada fracció de la velocitat de la llum li fa correspondre el seu factor de Lorentz on es pot apreciar que al començament creix molt lentament i és al final, entre el 90% i el 100% de c quan el pendent creix ràpidament i la funció tendeix a infinit.

Demostració

Si la velocitat de la llum és la mateixa per tots els observadors, per tant considerant un flaix de llum que s'emeti a l'origen de coordenades dels dos observadors al començament, tots dos el veuran allunyar-se de l'origen a la mateixa velocitat és a dir a la mateixa relació entre la posició i el temps tal com prenen aquestes mesures cada un d'ells. És a dir, dient-ne c a la velocitat de la llum:

\left\{{\begin{matrix}x_{1}\\t_{1}\\\end{matrix}}\right\}=\left\{{\begin{matrix}c\cdot t_{1}\\t_{1}\\\end{matrix}}\right\}\quad i\quad \left\{{\begin{matrix}x_{2}\\t_{2}\\\end{matrix}}\right\}=\left\{{\begin{matrix}c\cdot t_{2}\\t_{2}\\\end{matrix}}\right\}

Per tant ha de ser:

\left\{{\begin{aligned}&x_{2}\\&t_{2}\\\end{aligned}}\right\}=\left[{\begin{matrix}a\left(v\right)&v\cdot a\left(v\right)\\d\left(v\right)&a\left(v\right)\\\end{matrix}}\right]\cdot \left\{{\begin{matrix}x_{1}\\t_{1}\\\end{matrix}}\right\}

O sigui:

{\begin{aligned}&\left\{{\begin{matrix}c\cdot t_{2}=a\left(v\right)\cdot c\cdot t_{1}+v\cdot a\left(v\right)\cdot t_{1}\\t_{2}=d\left(v\right)\cdot c\cdot t_{1}+a\left(v\right)\cdot t_{1}\\\end{matrix}}\right.\\&\left\{{\begin{matrix}c\cdot t_{2}=a\left(v\right)\cdot c\cdot t_{1}+v\cdot a\left(v\right)\cdot t_{1}\\c\cdot t_{2}=d\left(v\right)\cdot c^{2}\cdot t_{1}+c\cdot a\left(v\right)\cdot t_{1}\\\end{matrix}}\right.\\&a\left(v\right)\cdot c\cdot t_{2}+v\cdot a\left(v\right)\cdot t_{2}=d\left(v\right)\cdot c^{2}\cdot t_{2}+c\cdot a\left(v\right)\cdot t_{2}\\&a\left(v\right)\cdot c+v\cdot a\left(v\right)=d\left(v\right)\cdot c^{2}+c\cdot a\left(v\right)\\&v\cdot a\left(v\right)=d\left(v\right)\cdot c^{2}\\&d\left(v\right)={\frac {v\cdot a\left(v\right)}{c^{2}}}\\\end{aligned}}

I com que, D ha de ser igual a 1:

{\begin{aligned}&a\left(v\right)^{2}-v\cdot a\left(v\right)\cdot d\left(v\right)=1\\&a\left(v\right)^{2}-v\cdot a\left(v\right)\cdot {\frac {v\cdot a\left(v\right)}{c^{2}}}=1\\&a\left(v\right)^{2}-{\frac {v^{2}\cdot a\left(v\right)^{2}}{c^{2}}}=1\\&c^{2}\cdot a\left(v\right)^{2}-v^{2}\cdot a\left(v\right)^{2}=c^{2}\\&\left(c^{2}-v^{2}\right)\cdot a\left(v\right)^{2}=c^{2}\\&a\left(v\right)\cdot {\sqrt {\left(c^{2}-v^{2}\right)}}=\pm c\\&a\left(v\right)={\frac {c}{\sqrt {\left(c^{2}-v^{2}\right)}}}\\\end{aligned}}

S'ha deixat només el signe positiu perquè els signes dels eixos de coordenades en els dos sistemes de referència es poden triar de forma que si el signe de la velocitat és positiu, no canviï el signe de la posició en passar de les mesures d'un observador a les de l'altre.

Substituint al valor de d(v) que s'ha trobat abans queda:

{\begin{aligned}&d\left(v\right)={\frac {v\cdot {\frac {c}{\sqrt {\left(c^{2}-v^{2}\right)}}}}{c^{2}}}\\&d\left(v\right)={\frac {c\cdot v}{c^{2}\cdot {\sqrt {\left(c^{2}-v^{2}\right)}}}}\\\end{aligned}}

{\begin{aligned}&\left\{{\begin{aligned}&x_{2}\\&t_{2}\\\end{aligned}}\right\}=\left[{\begin{matrix}{\frac {c}{\sqrt {\left(c^{2}-v^{2}\right)}}}&v\cdot {\frac {c}{\sqrt {\left(c^{2}-v^{2}\right)}}}\\{\frac {c\cdot v}{c^{2}\cdot {\sqrt {\left(c^{2}-v^{2}\right)}}}}&{\frac {c}{\sqrt {\left(c^{2}-v^{2}\right)}}}\\\end{matrix}}\right]\cdot \left\{{\begin{matrix}x_{1}\\t_{1}\\\end{matrix}}\right\}\\&\left\{{\begin{aligned}&x_{2}\\&t_{2}\\\end{aligned}}\right\}={\frac {c}{\sqrt {\left(c^{2}-v^{2}\right)}}}\cdot \left[{\begin{matrix}1&v\\{\frac {v}{c^{2}}}&1\\\end{matrix}}\right]\cdot \left\{{\begin{matrix}x_{1}\\t_{1}\\\end{matrix}}\right\}\\&\left\{{\begin{aligned}&x_{2}\\&t_{2}\\\end{aligned}}\right\}={\frac {1}{\sqrt {\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)}}}\cdot \left[{\begin{matrix}1&v\\{\frac {v}{c^{2}}}&1\\\end{matrix}}\right]\cdot \left\{{\begin{matrix}x_{1}\\t_{1}\\\end{matrix}}\right\}\\\end{aligned}}

Q.E.D.

Contracció de l'espai i dilatació del temps[modifica]

La primera conseqüència d'interpretar la transformació de Lorentz com la fórmula que permet determinar el que mesurarà un observador a partir del que ha mesurat un altre que es mou a velocitat constant respecte del primer, és que la durada dels fets i la longitud dels objectes no és una constant independent de la velocitat relativa entre l'objecte i l'observador. Això porta que el concepte de simultaneïtat s'hagi de revisar, dos fets que per un determinat observador succeeixen simultàniament per un altre no (tret que també succeeixin exactament en el mateix punt de l'espai). També porta que, perquè es compleixi el principi de causalitat, cal imposar un límit a la velocitat màxima a la qual es poden desplaçar els senyals i en conseqüència a la velocitat màxima a què es pot desplaçar qualsevol cosa. Aquest límit és la velocitat de la llum.

Contracció de l'espai[modifica]

La contracció de l'espai és el fenomen que es desprèn de la teoria de la relativitat especial en mesurar la longitud d'un objecte que es mou a una velocitat v paral·lela a la direcció en què es mesura la longitud.

Per determinar quin valor obté un observador O₂ en mesurar un objecte que es mou a velocitat v, es parteix del fet que un observador O ₁ que es mou a la mateixa velocitat respecte O₂ que l'objecte, veu l'objecte quiet, el mesura obtenint el valor l. Llavors aplicant la transformació de Lorentz als dos extrems de l'objecte i calculant la diferència de les posicions Δx₁, i dels moments en què s'ha fet la mesura Δx₁ s'obté:

\Delta x_{2}=\gamma \cdot \Delta x_{1}+\gamma \cdot v\cdot \Delta t_{1}

(1)

Per tant la diferència entre les posicions dels extrems depèn (com era d'esperar) de les deferències de les posicions que ha mesurat O ₁ i també de la diferència dels moments en què ha fet la mesura. Com que O ₁ veu a O ₂ movent-se a una velocitat de –v, la transformació de Lorentz permet obtenir:

\Delta t_{1}=\gamma \cdot {\frac {-v}{c^{2}}}\Delta x_{2}+\gamma \cdot \Delta t_{2}

Perquè la mesura de la longitud que fa O ₂ sigui correcta, ha de mesurar la posició dels dos extrems al mateix temps (altrament, com que l'objecte s'està movent, obtindria una combinació de la longitud de l'objecte i de l'espai recorregut durant el temps que passa des que mesura un extrem fins que mesura l'altre) per tant ha de ser Δt₂ = 0, és a dir, en aquest cas:

\Delta t_{1}=\gamma \cdot {\frac {-v}{c^{2}}}\Delta x_{2}

Substituint aquesta expressió a (1) s'obté:

\Delta x_{2}=\gamma \cdot \Delta x_{1}+\gamma \cdot v\cdot \gamma \cdot {\frac {-v}{c^{2}}}\Delta x_{2}

Aïllant Δx₂ d'aquesta equació resulta:

\Delta x_{2}={\frac {\Delta x_{1}}{\gamma }}

Demostració

:

{\begin{aligned}\Delta x_{2}&=\gamma \cdot \Delta x_{1}-\gamma ^{2}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\Delta x_{2}\\\left(1+\gamma ^{2}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\Delta x_{2}&=\gamma \cdot \Delta x_{1}\\\left(1+{\frac {1}{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\cdot {\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\Delta x_{2}&=\gamma \cdot \Delta x_{1}\\\left(1+{\frac {c^{2}}{c^{2}-v^{2}}}\cdot {\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\Delta x_{2}&=\gamma \cdot \Delta x_{1}\\\left(1+{\frac {v^{2}}{c^{2}-v^{2}}}\right)\Delta x_{2}&=\gamma \cdot \Delta x_{1}\\\left({\frac {c^{2}-v^{2}}{c^{2}-v^{2}}}+{\frac {v^{2}}{c^{2}-v^{2}}}\right)\Delta x_{2}&=\gamma \cdot \Delta x_{1}\\\left({\frac {c^{2}}{c^{2}-v^{2}}}\right)\Delta x_{2}&=\gamma \cdot \Delta x_{1}\\\gamma ^{2}\Delta x_{2}&=\gamma \cdot \Delta x_{1}\\\Delta x_{2}&={\frac {\Delta x_{1}}{\gamma }}\\\end{aligned}}

Com que l'observador O ₁ és solidari a l'objecte, la mesura l que obté, s'anomena la longitud pròpia de l'objecte: Δx₁ = l, anomenant l' la longitud que s'obté mesurant l'objecte quan es mou a velocitat v, resulta que l' = Δx₂ i

l'={\frac {l}{\gamma }}

Si |v| < c llavors γ > 1, per tant, els objectes en moure's es contrauen en la direcció paral·lela a la seva velocitat. Aquesta és la contracció de Lorentz.

Demostració

:

{\begin{aligned}\left|v\right|<c&\Rightarrow 0<v^{2}<c^{2}\\&\Rightarrow 0<{\frac {v^{2}}{c^{2}}}<1\\&\Rightarrow 0<1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}<1\\&\Rightarrow 0<{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}<1\\&\Rightarrow \infty >{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}>1\\\end{aligned}}

Il·lustració de la paradoxa del tren i el túnel.

Si la teoria de la relativitat és correcte, aquesta contracció no és un efecte aparent pel fet de mesurar l'objecte mentre es mou, sinó que és un fenomen real. D'acord amb la interpretació que va fer Einstein de la transformació de Lorentz, qualsevol llei de la física aplicada a qualsevol objecte es compleix agafant l' en lloc de l pel que fa a la longitud de l'objecte.

A l'animació de la dreta es representa l'aparent paradoxa anomenada del tren i el túnel. Si el tren i el túnel en repòs tenen exactament la mateixa longitud, un observador situat a l'andana del túnel quan veu que el tren es mou mesura una longitud més petita que la de l'andana. En canvi un observador situat al tren, com que veu que el túnel es mou, mesura una longitud més curta que la del tren. Això no és cap dificultat, tots els experiments que es facin en moviment donaran com a resultat que tots dos tenen raó. Per exemple, des dels dos extrems de l'andana es poden tirar dos objectes al mateix temps (temps mesurat des de l'andana) cap a l'altra banda del túnel mentre el tren està passant sense tocar-lo. Des dels dos extrems del tren es poden tirar fora al mateix temps (temps mesurat des del tren) dos objectes mentre està travessant el túnel, sense que cap dels dos caigui dins del túnel.

La resolució d'aquesta aparent paradoxa prové del fet que els fets que per a un observador són simultanis, en relativitat, no ho són per a un altre. Llavors cada un, en observar els llançaments d'objectes que ha fet l'altre, els observa en instants de temps que no són simultanis. Vegeu simultaneïtat.

Dilatació del temps[modifica]

Una altra conseqüència de la transformació de Lorentz és que la durada dels fenòmens depèn de la velocitat relativa entre el sistema on succeeix el fenomen i l'observador.

Si un observador O₁ es mou solidari al sistema on succeïx el fenomen pot mesurar la durada amb un únic rellotge i observar que entre el començament del fenomen i el final, ha transcorregut un temps ∆t₁. Un altre observador O₂ necessita dos rellotges sincronitzats, un situat en un punt que coincideixi en la posició del sistema on es produeix el fenomen en el moment d'iniciar-se i l'altre situat en el punt on es troba en acabar-se, és a dir separats la distància recorreguda pel sistema on es produeix el fenomen.

Aplicant la transformació de Lorentz s'obté:

\Delta t_{2}=\gamma \cdot {\frac {v}{c^{2}}}\Delta x_{1}+\gamma \cdot \Delta t_{1}

Però com que per l'observador O₁ el sistema on transcorre el fenomen no es mou, la posició final és igual a la inicial i per tant ∆x₁ = 0, en conseqüència:

\Delta t_{2}=\gamma \cdot \Delta t_{1}

Com que ∆t₁ és la durada del fenomen mesurada per un observador que no es mou respecte del sistema on es produeix el fenomen, d'aquesta durada se'n diu el temps propi del fenomen. Com que si 0 < v < c llavors γ és més gran que 1 (vegeu Contracció de l'espai) Qualsevol observador en moviment respecte del sistema on es produeix el fenomen (a una velocitat més petita que c) observarà que el fenomen té una durada més gran que el seu temps propi, per això d'aquest fet se'n diu dilatació temporal.

Aquest resultat s'ha pogut posar a prova amb l'experiment de Rossi-Hall en què es mesura la vida mitjana dels muons. La vida mitjana mesurada quan els muons es mouen a diferents velocitats respecte del laboratori s'allarga d'acord amb la dilatació del temps prevista en la teoria.

Transformació d'una velocitat[modifica]

La contracció de l'espai i la dilatació del temps porta de manera natural a analitzar com es transforma una velocitat, és a dir, si un objecte es desplaça a una velocitat v₁ en la direcció de l'eix x respecte de l'observador O₁, a quina velocitat es desplaça respecte de l'observador O₂.

El resultat s'obté expressant l'espai recorregut i el temps que tarda a recórrer-lo mesurats per l'observador O₂ en funció dels mesurats per l'observador O₁ i dividint.

Pel que fa a la component de la velocitat sobre l'eix x (l'eix de la velocitat relativa als dos observadors s'obté:

v_{x2}={\frac {v_{x1}+v}{{\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1}}

Fixeu-vos que en el cas que la velocitat del cos i la de l'observador tinguin el mateix sentit, en comptes de sumar-se per obtenir la velocitat mesurada per l'altre observador, la suma cal dividir-la entre un nombre que és sempre més gran que 1. Per tant el resultat és sempre més petit que el que s'obtenia en la transformació de Galileu. En el cas límit que les dues velocitats (tant la de l'observador com la de l'objecte) siguin iguals a la velocitat de la llum c, aquest factor que divideix val 2 i per tant la velocitat que mesura l'altre observador és també igual a la velocitat de la llum.

Per a les components perpendiculars a aquesta, s'obté:

v_{y2}={\frac {v_{y1}}{\gamma \left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right)}}

Demostració

Emprant les transformacions que s'han trobat abans dels intervals de temps i de les longituds:

{\begin{aligned}v_{x2}&={\frac {\Delta x_{2}}{\Delta t_{2}}}\\&={\frac {\gamma \cdot \Delta x_{1}+\gamma \cdot v\cdot \Delta t_{1}}{\gamma \cdot {\frac {v}{c^{2}}}\Delta x_{1}+\gamma \cdot \Delta t_{1}}}\\&={\frac {\Delta x_{1}+v\cdot \Delta t_{1}}{{\frac {v}{c^{2}}}\Delta x_{1}+\Delta t_{1}}}\\&={\frac {v_{x1}+v}{{\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1}}\\\end{aligned}}

En qualsevol component perpendicular a la velocitat relativa entre els observadors, les distàncies mesurades pels dos observadors són les mateixes, però els intervals de temps no.

{\begin{aligned}v_{y2}&={\frac {\Delta y}{\Delta t_{2}}}\\&={\frac {\Delta y}{\gamma \cdot {\frac {v}{c^{2}}}\Delta x_{1}+\gamma \cdot \Delta t_{1}}}\\&={\frac {\Delta y}{\Delta t_{1}}}\cdot {\frac {\Delta t_{1}}{\gamma \cdot {\frac {v}{c^{2}}}\Delta x_{1}+\gamma \cdot \Delta t_{1}}}\\&={\frac {\Delta y}{\Delta t_{1}}}\cdot {\frac {1}{\gamma \cdot {\frac {v}{c^{2}}}{\frac {\Delta x_{1}}{\Delta t_{1}}}+\gamma }}\\&=v_{y1}\cdot {\frac {1}{\gamma \cdot {\frac {v}{c^{2}}}v_{x1}+\gamma }}\\&={\frac {v_{y1}}{\gamma \left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right)}}\\\end{aligned}}

Simultaneïtat[modifica]

L'equació que permet calcular l'interval de temps mesurat per l'observador O₂ a partir de les mesures fetes per O₁:

\Delta t_{2}=\gamma \cdot {\frac {v}{c^{2}}}\Delta x_{1}+\gamma \cdot \Delta t_{1}

Indica que el fet que dos successos siguin simultanis per a l'observador O₁ (és a dir el fet que ∆t₁ = 0) no implica que també ho siguin per a l'observador O₂. En funció del signe de la velocitat v seran un primer i després l'altre (per exemple donant ∆t₂ positiu) o viceversa (obtenint ∆t₂ negatiu).

Per a un observador O₂ seran simultanis tots els successos que compleixin ∆t₂ = 0 per tant:

0=\gamma \cdot {\frac {v}{c^{2}}}\Delta x_{1}+\gamma \cdot \Delta t_{1}

I aïllant ∆t₁:

\Delta t_{1}={\frac {-v}{c^{2}}}\Delta x_{1}

Que representant l'espaitemps en un sistema de coordenades cartesianes és una recta amb un pendent de -v/c. Per tant, diversos fenòmens poden ser simultanis o no per un observador depenent si estan damunt d'aquesta recta o no.

Causalitat. Velocitat màxima dels senyals[modifica]

Que la simultaneïtat dels fets no sigui la mateixa per a tots els observadors permet imposar una condició per tal que es preservi el principi de causalitat. El Principi de causalitat estableix que una causa sempre precedeix a un efecte. El fet que certs esdeveniments puguin ser observats amb un ordre cronològic diferent per diferents observadors permetria que uns observessin primer els efectes i després les causes si no hi hagués cap restricció addicional.

La diferència d'instants en els temps en què l'observador O₂ detecta dos esdeveniments depèn de la diferència en què els observa O₁ i de la distància entre els dos esdeveniments. Perquè una causa pugui provocar un efecte a una certa distància, un senyal ha de viatjar des del lloc on és la causa fins al lloc on es produeix l'efecte.

Si per l'observador O₁ la distància entre la causa i l'efecte és de ∆x₁ i el temps que passa des que es produeix la causa fins que es produeix l'efecte és ∆t₁, el temps que passa per l'observador O₂ serà:

\Delta t_{2}=\gamma {\frac {v}{c^{2}}}\Delta x_{1}+\gamma \cdot \Delta t_{1}

Per complir el principi de causalitat aquest valor ha de ser més gran que zero per a qualsevol observador, per tant, ha de ser:

0<\gamma {\frac {v}{c^{2}}}\Delta x_{1}+\gamma \cdot \Delta t_{1}

I per tant, com que γ ≠ 0:

0<{\frac {v}{c^{2}}}\Delta x_{1}+\Delta t_{1}

On v és la velocitat relativa de l'observador O₁ respecte de l'observador O₂, per l'observador O₁, el senyal que va des de la causa fins a l'efecte ha de recórrer una distància x₁ en un temps t₁, per tant anomenant v_s la velocitat del senyal mesurada per l'observador O₁, dividint els dos cantons de la inequació entre ∆t₁, s'obté:

{\begin{aligned}0&<{\frac {v\cdot v_{s}}{c^{2}}}+1\\-1&<{\frac {v\cdot v_{s}}{c^{2}}}\\1&>{\frac {-v\cdot v_{s}}{c^{2}}}\\c^{2}&>-v\cdot v_{s}\\\end{aligned}}

Si la velocitat del senyal i la de l'observador tenen el mateix signe aquesta desigualtat es compleix sempre, però si tenen signe contrari, ha de ser:

c^{2}>\left|-v\right|\cdot \left|v_{s}\right|

Però qualsevol observador pot ser portador d'un senyal, per tant, la velocitat màxima dels observadors no pot ser més gran que la velocitat màxima dels senyals, si la velocitat dels observadors es pot apropar tant com es vulgui a c, llavors la velocitat màxima dels senyals ha de ser c.

Altres resultats de la relativitat especial[modifica]

Aplicant sistemàticament el concepte de què les lleis de la física són les mateixes per a tots els observadors, la teoria de la relativitat especial porta a la conclusió de què altres magnituds físiques com la massa, la quantitat de moviment i la força també s'han de transformar en ser mesurades per observadors que es mouen a velocitat constant entre ells. Això permet una interpretació clara de les forces magnètiques i per tant, permet el desenvolupament de l'electromagnetisme directament a partir de l'electroestàtica.

Un resultat de l'electromagnetisme (i per tant es pot considerar resultat de la teoria de la relativitat especial) és que les ones electromagnètiques exerceixen una pressió sobre els cossos que les emeten o les absorbeixen. Aquest resultat era un resultat obtingut a partir de les lleis de Maxwell abans del desenvolupament de la teoria de la relativitat. Einstein va fer servir aquest resultat per arribar a la conclusió que els objectes en emetre o absorbir ones electromagnètiques perden o guanyen massa respectivament i que les ones electromagnètiques emeses o absorbides són les que tenen aquesta massa perduda o guanyada pels cossos en emetre-les o absorbir-les. A partir d'aquesta conclusió postula l'equivalència entre la massa i l'energia.

Transformació de la massa[modifica]

Per entendre el concepte de transformació de la massa, primer cal examinar un experiment que permeti mesurar la massa d'un objecte.

Mesurar és comparar i per tant, mesurar la massa és comparar la massa d'un objecte patró amb la massa de l'objecte que es vol mesurar i determinar quantes vegades, la massa d'aquest objecte, és més gran que la massa patró. 0 quina fracció de la massa patró conté l'objecte que s'està mesurant.

Un experiment que es fa servir sovint per mesurar la massa dels objectes és pesar-los en una balança. Però aquest experiment compara les forces que la gravetat de la Terra exerceix sobre els objectes. Un altre experiment que determina directament la resistència dels objectes a variar la seva quantitat de moviment (és a dir la seva massa) és un xoc inelàstic.

Si es té l'objecte amb massa m₀ en repòs respecte de l'observador i es fa xocar l'objecte amb la massa que es vol mesurar m a velocitat v_i contra l'objecte patró, de forma que després del xoc tots dos objectes romanguin units (xoc inelàstic), després del xoc tots dos objectes es desplacen junts a una velocitat v_f. Mesurant aquesta velocitat es pot deduir la massa m de l'objecte de la següent manera:

Per la llei de conservació de la quantitat de moviment, la quantitat de moviment ha de ser la mateixa abans i després del xoc, per tant

m\cdot v_{i}=\left(m+m_{0}\right)\cdot v_{f}

donat que la velocitat de la massa patró és zero abans del xoc i donat que, per la llei de conservació de la massa, la massa total després del xoc ha de ser igual a la suma de masses abans del xoc. A partir d'aquí s'obté

m={\frac {v_{f}}{\left(v_{i}-v_{f}\right)}}m_{0}

(2)

Demostració

{\begin{aligned}m\cdot v_{i}&=\left(m+m_{0}\right)\cdot v_{f}\\m\cdot v_{i}&=m\cdot v_{f}+m_{0}\cdot v_{f}\\m\cdot v_{i}-m\cdot v_{f}&=m_{0}\cdot v_{f}\\m\cdot \left(v_{i}-v_{f}\right)&=m_{0}\cdot v_{f}\\m&={\frac {m_{0}\cdot v_{f}}{\left(v_{i}-v_{f}\right)}}\\m&={\frac {v_{f}}{\left(v_{i}-v_{f}\right)}}m_{0}\\\end{aligned}}

El problema de determinar com es transforma la massa es redueix al problema de transformació de velocitats si es pot trobar un experiment de xoc inelàstic en què les velocitats abans i després del xoc siguin conegudes i la massa dels dos objectes sigui la mateixa si la mesura un observador en repòs respecte de cada un dels objectes.

A la figura de la dreta es presenta un experiment en què dues masses iguals xoquen.

L'observador O₁ roman fix al centre de masses dels dos objectes. Les mesures de velocitats que fa s'han representat amb vectors de color verd. Per ell abans del xoc l'objecte de l'esquerra igual com l'observador O₂ es mouen a velocitat v mentre que l'objecte de la dreta es mou a velocitat -v. Després del xoc tots dos objectes queden junts i amb velocitat zero.

L'observador O₂ abans del xoc es desplaça conjuntament amb l'objecte de l'esquerra. Les mesures de velocitats que fa s'han representat amb color vermell. Per a ell l'observador O₁ es desplaça a velocitat -v i d'acord amb la llei de transformació de velocitats, l'objecte de la dreta es desplaça, abans del xoc, amb una velocitat de ${\frac {-2v}{1+{v^{2}}/{c^{2}}\;}}$ . Després del xoc els dos objectes queden junts i solidaris amb l'observador O₁, per tant l'observador O₂ els veu desplaçant-se a una velocitat de -v.

Des del punt de vista de l'observador O₂ l'objecte de l'esquerra al començament està en repòs, per tant la seva massa m₀ correspon a la massa en repòs, els dos objectes són iguals, per tant la massa de l'objecte de la dreta correspon a la massa en moviment a la velocitat v_i. La velocitat v (que és la velocitat final v_f) després del xoc) es pot expressar en funció de v_i i dona:

v_{f}={\frac {c^{2}-c{\sqrt {c^{2}-v_{i}^{2}}}}{v_{i}}}

Substituint aquesta expressió a l'equació (2) s'obté la fórmula que permet calcular la massa en moviment a la velocitat v d'un objecte que té massa en repòs m₀ el resultat és:

m={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}

Demostració

La primera part es tracta d'aïllar v_f de l'equació que expressa v_i en funció de v_f:

{\begin{aligned}&-v_{i}={\frac {-2v_{f}}{1+{\frac {v_{f}^{2}}{c^{2}}}}}\\&-v_{i}\cdot \left(1+{\frac {v_{f}^{2}}{c^{2}}}\right)=-2v_{f}\\&-v_{i}-v_{i}\cdot {\frac {v_{f}^{2}}{c^{2}}}=-2v_{f}\\&v_{i}\cdot {\frac {v_{f}^{2}}{c^{2}}}-2v_{f}+v_{i}=0\\&v_{i}\cdot v_{f}^{2}-2c^{2}v_{f}+c^{2}v_{i}=0\\&v_{f}={\frac {2c^{2}\pm {\sqrt {4c^{4}-4v_{i}^{2}c^{2}}}}{2v_{i}}}\\\end{aligned}}

El signe ha de ser negatiu perquè en substituir a l'equació original es compleixi la igualtat, per tant:

v_{f}={\frac {c^{2}-c{\sqrt {c^{2}-v_{i}^{2}}}}{v_{i}}}

La segona part s'obté substituint a l'equació (2) aquesta expressió i simplificant:

{\begin{aligned}&m={\frac {v_{f}}{v_{i}-v_{f}}}m_{0}\\&m={\frac {\frac {c^{2}-c{\sqrt {c^{2}-v_{i}^{2}}}}{v_{i}}}{v_{i}-{\frac {c^{2}-c{\sqrt {c^{2}-v_{i}^{2}}}}{v_{i}}}}}m_{0}\\&m={\frac {c^{2}-c{\sqrt {c^{2}-v_{i}^{2}}}}{v_{i}^{2}-\left(c^{2}-c{\sqrt {c^{2}-v_{i}^{2}}}\right)}}m_{0}\\&m={\frac {1-{\sqrt {1-{\frac {v_{i}^{2}}{c^{2}}}}}}{{\frac {v_{i}^{2}}{c^{2}}}-\left(1-{\sqrt {1-{\frac {v_{i}^{2}}{c^{2}}}}}\right)}}m_{0}\\&m={\frac {1-{\sqrt {1-{\frac {v_{i}^{2}}{c^{2}}}}}}{{\frac {v_{i}^{2}}{c^{2}}}-1+{\sqrt {1-{\frac {v_{i}^{2}}{c^{2}}}}}}}m_{0}\\&m={\frac {1-{\sqrt {1-{\frac {v_{i}^{2}}{c^{2}}}}}}{\left(1-{\sqrt {1-{\frac {v_{i}^{2}}{c^{2}}}}}\right){\sqrt {1-{\frac {v_{i}^{2}}{c^{2}}}}}}}m_{0}\\&m={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\\\end{aligned}}

Aquesta fórmula permet calcular la massa que mesura un observador a partir de la massa que mesura un altre observador que roman en repòs respecte de l'objecte. Per trobar la fórmula que permet calcular ma massa que mesura un observador a partir de la massa que mesura un altre es pot descompondre la velocitat relativa entre l'objecte i cada un dels observadors en una component paral·lela a la velocitat relativa entre els observadors v_x i un altre component perpendicular v_y, llavors les fórmules que permeten calcular la massa que mesura cada observador són:

{\begin{aligned}&m_{1}={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v_{x1}^{2}+v_{y1}^{2}}{c^{2}}}}}}\\&m_{2}={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v_{x2}^{2}+v_{y2}^{2}}{c^{2}}}}}}\\\end{aligned}}

Aplicant les fórmules de transformació de la velocitat s'obté que:

{\frac {v_{x2}^{2}+v_{y2}^{2}}{c^{2}}}={\frac {v_{y1}^{2}+\gamma ^{2}\left(v_{x1}+v\right)^{2}}{c^{2}\gamma ^{2}\left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right)^{2}}}

A partir d'aquí s'obté que:

m_{2}=m_{1}\cdot \gamma \left[1+\left({\frac {v_{x1}v}{c^{2}}}\right)\right]

Demostració

Per la primera, aplicant les fórmules de transformació de la velocitat i operant s'obté:

{\begin{aligned}&{\frac {v_{x2}^{2}+v_{y2}^{2}}{c^{2}}}={\frac {\left({\frac {v_{y1}}{\gamma \left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right)}}\right)^{2}+\left({\frac {v_{x1}+v}{{\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1}}\right)^{2}}{c^{2}}}\\&={\frac {{\frac {v_{y1}^{2}}{\gamma ^{2}\left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right)^{2}}}+{\frac {\left(v_{x1}+v\right)^{2}}{\left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right)^{2}}}}{c^{2}}}\\&={\frac {v_{y1}^{2}+\gamma ^{2}\left(v_{x1}+v\right)^{2}}{c^{2}\gamma ^{2}\left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right)^{2}}}\\\end{aligned}}

Llavors, escrivint les massa mesurada per cada observador en funció de la massa en repòs:

{\begin{aligned}&m_{1}={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v_{x1}^{2}+v_{y1}^{2}}{c^{2}}}}}}\\&m_{2}={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v_{x2}^{2}+v_{y2}^{2}}{c^{2}}}}}}\\\end{aligned}}

Aïllant m₂ i substituint l'expressió que s'ha trobat primer:

m_{2}={\frac {\sqrt {1-{\frac {v_{x1}^{2}+v_{y1}^{2}}{c^{2}}}}}{\sqrt {1-{\frac {v_{y1}^{2}+\gamma ^{2}\left(v_{x1}+v\right)^{2}}{c^{2}\gamma ^{2}\left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right)^{2}}}}}}\cdot m_{1}

Llavors operant:

{\begin{aligned}&m_{2}={\frac {\gamma \left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right){\sqrt {c^{2}-\left(v_{x1}^{2}+v_{y1}^{2}\right)}}}{\sqrt {{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}\left(v\cdot v_{x1}+c^{2}\right)^{2}-\left(v_{y1}^{2}+\gamma ^{2}\left(v_{x1}+v\right)^{2}\right)}}}\cdot m_{1}\\&={\frac {\gamma \left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right){\sqrt {c^{2}-\left(v_{x1}^{2}+v_{y1}^{2}\right)}}}{\sqrt {{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}\left(v\cdot v_{x1}+c^{2}\right)^{2}-\left(v_{y1}^{2}+\gamma ^{2}\left(v_{x1}+v\right)^{2}\right)}}}\cdot m_{1}\\&={\frac {\gamma \left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right){\sqrt {c^{2}-\left(v_{x1}^{2}+v_{y1}^{2}\right)}}}{\sqrt {{\frac {v^{2}\cdot v_{x1}^{2}+2v\cdot v_{x1}c^{2}+c^{4}}{c^{2}-v^{2}}}-v_{y1}^{2}-{\frac {v_{x1}^{2}c^{2}+2vv_{x1}c^{2}+v^{2}c^{2}}{c^{2}-v^{2}}}}}}\cdot m_{1}\\&={\frac {\gamma \left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right){\sqrt {c^{2}-\left(v_{x1}^{2}+v_{y1}^{2}\right)}}}{\sqrt {{\frac {v^{2}\cdot v_{x1}^{2}+2v\cdot v_{x1}c^{2}+c^{4}-v_{x1}^{2}c^{2}-2vv_{x1}c^{2}-v^{2}c^{2}}{c^{2}-v^{2}}}-v_{y1}^{2}}}}\cdot m_{1}\\&={\frac {\gamma \left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right){\sqrt {c^{2}-\left(v_{x1}^{2}+v_{y1}^{2}\right)}}}{\sqrt {{\frac {\left(v^{2}-c^{2}\right)\cdot v_{x1}^{2}+\left(-v^{2}+c^{2}\right)\cdot c^{2}}{c^{2}-v^{2}}}-v_{y1}^{2}}}}\cdot m_{1}\\&={\frac {\gamma \left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right){\sqrt {c^{2}-\left(v_{x1}^{2}+v_{y1}^{2}\right)}}}{\sqrt {-v_{x1}^{2}+c^{2}-v_{y1}^{2}}}}\cdot m_{1}\\&=\gamma \left({\frac {v\cdot v_{x1}}{c^{2}}}+1\right)\cdot m_{1}\\\end{aligned}}

Transformació de la quantitat de moviment[modifica]

La quantitat de moviment d'un cos és el producte de la seva massa per la seva velocitat, per tant la transformació de la quantitat de moviment és un resultat immediat a partir de les transformacions d'aquestes dues magnituds.

Com que la velocitat es transforma de manera diferent depenent de si es tracta de la component paral·lela al moviment relatiu entre els observadors o de les components perpendiculars a aquesta, en el cas de la quantitat de moviment, també s'obtenen dues transformacions, una per cada un d'aquests dos casos, si la component p_x és la paral·lela a la velocitat relativa entre els observadors i la p_y és la perpendicular s'obté:

p_{x2}=\gamma \cdot \left(p_{x1}+m_{1}\cdot v\right)

p_{y2}=p_{y1}\

Demostració

Pel cas de la component paral·lela a la velocitat relativa entre els observadors, es planteja:

p_{x2}=m_{2}\cdot v_{x2}

Substituint la massa i la velocitat mesurades per l'observador O₂ per les fórmules que permeten calcular-les a partir de les que mesura l'observador O₁ queda:

p_{x2}=m_{1}\cdot \gamma \left[1+\left({\frac {v_{x1}v}{c^{2}}}\right)\right]\cdot {\frac {v_{x1}+v}{{\frac {v_{x1}v}{c^{2}}}+1}}

Simplificant i operant resulta:

{\begin{aligned}p_{x2}&=m_{1}\cdot \gamma \cdot \left(v_{x1}+v\right)\\&=\gamma \cdot \left(m_{1}\cdot v_{x1}+m_{1}\cdot v\right)\\&=\gamma \cdot \left(p_{x1}+m_{1}\cdot v\right)\\\end{aligned}}

Pel cas de la component perpendicular, seguint el mateix procés surt:

{\begin{aligned}p_{y2}&=m_{2}\cdot v_{y2}\\&=m_{1}\cdot \gamma \left[1+\left({\frac {v_{x1}v}{c^{2}}}\right)\right]\cdot {\frac {v_{y1}}{\gamma \cdot \left({\frac {v_{x1}v}{c^{2}}}+1\right)}}\\&=m_{1}\cdot v_{y1}\\&=p_{y1}\\\end{aligned}}

Transformació de la força. Força magnètica[modifica

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

Relativitat especial

Motivació de la teoria[modifica]

Camps magnètics generats pel corrent elèctric[modifica]

L'experiment de Francesc Aragó de 1810[modifica]

Transformacions de coordenades[modifica]

La transformació de Galileu[modifica]

La transformació de Lorentz[modifica]

Contracció de l'espai i dilatació del temps[modifica]

Contracció de l'espai[modifica]

Dilatació del temps[modifica]

Transformació d'una velocitat[modifica]

Simultaneïtat[modifica]

Causalitat. Velocitat màxima dels senyals[modifica]

Altres resultats de la relativitat especial[modifica]

Transformació de la massa[modifica]

Transformació de la quantitat de moviment[modifica]

Transformació de la força. Força magnètica[modifica

€4.95