Ilustrace binomické věty pro n =2 Binomická věta je důležitá matematická věta, díky které můžeme n -tou mocninu dvou sčítanců rozložit na součet n+1 sčítanců. Věta vychází z kombinatoriky , dnes se používá například k dokazování ve fyzice. Nejjednodušší verze vypadá takto:
( x + y ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x n − k y k {\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}\quad } Pokud je n přirozené číslo , tak následující kombinační čísla :
( n k ) = n ! k ! ( n − k ) ! {\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}} jsou takzvané binomické koeficienty Pascalova trojúhelníku . Číslo n! je faktoriál čísla n .
Ilustrace binomické věty pro n =3 Příklady binomické věty pro n = 2, n = 3 a n = 4:
( x + y ) 2 = x 2 + 2 x y + y 2 {\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\,} ( x − y ) 2 = x 2 − 2 x y + y 2 {\displaystyle (x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}\,} ( x + y ) 3 = x 3 + 3 x 2 y + 3 x y 2 + y 3 {\displaystyle (x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\,} ( x − y ) 3 = x 3 − 3 x 2 y + 3 x y 2 − y 3 {\displaystyle (x-y)^{3}=x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}\,} ( x + y ) 4 = x 4 + 4 x 3 y + 6 x 2 y 2 + 4 x y 3 + y 4 {\displaystyle (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}\,} Na některých středních (základních) školách se zpaměti učí tyto příklady binomické věty jako předem dané „vzorečky“ pro výpočet mnohočlenů.
Použijeme matematickou indukci . Když n = 0, rovnost platí:
( a + b ) 0 = 1 = ∑ k = 0 0 ( 0 k ) a 0 − k b k . {\displaystyle (a+b)^{0}=1=\sum _{k=0}^{0}{0 \choose k}a^{0-k}b^{k}.} Pro indukční krok budeme předpokládat, že věta platí pro exponent m. Pak pro n = m + 1 {\displaystyle n=m+1}
( a + b ) m + 1 = a ( a + b ) m + b ( a + b ) m {\displaystyle (a+b)^{m+1}=a(a+b)^{m}+b(a+b)^{m}\,} z indukčního předpokladu: = a ∑ k = 0 m ( m k ) a m − k b k + b ∑ j = 0 m ( m j ) a m − j b j {\displaystyle =a\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}a^{m-k}b^{k}+b\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j}} násobení přes a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} = ∑ k = 0 m ( m k ) a m − k + 1 b k + ∑ j = 0 m ( m j ) a m − j b j + 1 {\displaystyle =\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j+1}} vyjmutí k = 0 {\displaystyle k=0} = a m + 1 + ∑ k = 1 m ( m k ) a m − k + 1 b k + ∑ j = 0 m ( m j ) a m − j b j + 1 {\displaystyle =a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j+1}} substituce j = k − 1 {\displaystyle j=k-1} = a m + 1 + ∑ k = 1 m ( m k ) a m − k + 1 b k + ∑ k = 1 m + 1 ( m k − 1 ) a m − k + 1 b k {\displaystyle =a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{k=1}^{m+1}{m \choose k-1}a^{m-k+1}b^{k}} vyjmutí k = m + 1 {\displaystyle k=m+1} = a m + 1 + ∑ k = 1 m ( m k ) a m − k + 1 b k + ∑ k = 1 m ( m k − 1 ) a m − k + 1 b k + b m + 1 {\displaystyle =a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k-1}a^{m-k+1}b^{k}+b^{m+1}} složení dvou sum: = a m + 1 + b m + 1 + ∑ k = 1 m [ ( m k ) + ( m k − 1 ) ] a m − k + 1 b k {\displaystyle =a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}\left[{m \choose k}+{m \choose k-1}\right]a^{m-k+1}b^{k}} z Pascalova pravidla: = a m + 1 + b m + 1 + ∑ k = 1 m ( m + 1 k ) a m − k + 1 b k {\displaystyle =a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m+1 \choose k}a^{m-k+1}b^{k}} přidání m + 1 {\displaystyle m+1} = ∑ k = 0 m + 1 ( m + 1 k ) a m − k + 1 b k {\displaystyle =\sum _{k=0}^{m+1}{m+1 \choose k}a^{m-k+1}b^{k}} Q.E.D. Binomickou větu lze zobecnit i na případ, kdy není závorka umocňována na přirozené číslo . I v tomto případě můžeme psát:
( 1 + z ) w = ( w 0 ) + ( w 1 ) z + ( w 2 ) z 2 + ( w 3 ) z 3 + ⋯ {\displaystyle (1+z)^{w}={w \choose 0}+{w \choose 1}z+{w \choose 2}z^{2}+{w \choose 3}z^{3}+\cdots }
Kde w , z {\displaystyle w,\,z} komplexní čísla . Případně s rozepsáním definice kombinačního čísla:
( 1 + z ) w = 1 + w z + w ( w − 1 ) 2 z 2 + w ( w − 1 ) ( w − 2 ) 6 z 3 + ⋯ {\displaystyle (1+z)^{w}=1+wz+{\frac {w(w-1)}{2}}z^{2}+{\frac {w(w-1)(w-2)}{6}}z^{3}+\cdots }
Tyto mocninné řady konvergují obecně jen pokud je | z | < 1 {\displaystyle |z|<1}
Speciálně pro z = − x {\displaystyle z=-x} w = − 1 {\displaystyle w=-1} geometrické řady :
1 1 − x = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 ⋯ {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\cdots }
Případně pokud je z = − x 2 {\displaystyle z=-x^{2}} w = − 1 2 {\displaystyle w=-{\frac {1}{2}}}
1 1 − x 2 = 1 + 1 2 x 2 + 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 x 4 + 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 x 6 + ⋯ {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}=1+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}x^{4}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}x^{6}+\cdots }
Která po integraci přejde na řadu pro arcsin x {\displaystyle \arcsin x}
arcsin x = x + 1 2 x 3 3 + 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 x 5 5 + 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 x 7 7 + ⋯ {\displaystyle \arcsin x=x+{\frac {1}{2}}{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots }
Speciálně např. když dosadíme x = 1 2 {\displaystyle x={\frac {1}{2}}} π 6 {\displaystyle {\frac {\pi }{6}}} Ludolfovo číslo asi na sto míst.
Obdobně, pokud bychom položili z = x 2 {\displaystyle z=x^{2}} w = − 1 {\displaystyle w=-1} arctg x {\displaystyle \operatorname {arctg} \;x} π {\displaystyle \pi }
![{\displaystyle =a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}\left[{m \choose k}+{m \choose k-1}\right]a^{m-k+1}b^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62d5521cbbb07356d50f2aef30c5a201151aefc6)
Obrázky, zvuky či videa k tématu binomická věta na Wikimedia Commons 
