Atomare Einheiten

Die atomaren Einheiten (englisch: atomic units, au) bilden ein natürliches Einheitensystem, das hauptsächlich in der Atom- und Molekülphysik und der Theoretischen Chemie benutzt wird. Die atomaren Einheiten gehen von den Eigenschaften des Elektrons im Wasserstoffatom aus.

Die atomaren Einheiten sind:^[1][2]

Physikalische Größe	1 a. u. =		SI-Wert
Länge	Bohrscher Radius	${\displaystyle a_{0}={\frac {\hbar }{\alpha m_{\mathrm {e} }c}}}$	${\displaystyle \approx 5{,}29\cdot 10^{-11}\,\mathrm {m} }$
Masse	Elektronenmasse	${\displaystyle m_{\mathrm {e} }}$	${\displaystyle \approx 9{,}11\cdot 10^{-31}\,\mathrm {kg} }$ ${\displaystyle \approx 511\,\mathrm {keV/c^{2}} }$
Elektrische Ladung	Elementarladung	${\displaystyle e}$	${\displaystyle \approx 1{,}60\cdot 10^{-19}\,\mathrm {C} }$
Drehimpuls	reduzierte Planck-Konstante	${\displaystyle \hbar }$	${\displaystyle \approx 1{,}05\cdot 10^{-34}\,\mathrm {Js} }$ ${\displaystyle \approx 6{,}58\cdot 10^{-36}\,\mathrm {eV\,s} }$
Wirkung
Energie	Hartree-Energie	${\displaystyle E_{\mathrm {h} }={\frac {\hbar ^{2}}{m_{\mathrm {e} }{a_{0}}^{2}}}}$	${\displaystyle \approx 4{,}36\cdot 10^{-18}\,\mathrm {J} }$ ${\displaystyle \approx 27{,}2\,\mathrm {eV} }$
Zeit		${\displaystyle {\frac {\hbar }{E_{\mathrm {h} }}}}$	${\displaystyle \approx 2{,}42\cdot 10^{-17}\,\mathrm {s} }$

Die atomare Masseneinheit ${\displaystyle u}$ gehört trotz ihres Namens nicht zu den Atomaren Einheiten.^[3]

Werte in atomaren Einheiten sind formal dimensionslos, Größen, die in SI-Einheiten nicht dimensionslos sind, werden aber üblicherweise durch das formale „Einheitenzeichen“ a.u. gekennzeichnet (die Punkte sind Teil des Einheitenzeichens).

${\displaystyle e=m_{\mathrm {e} }=\hbar ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}=1\,\mathrm {a.u.} }$.

Beispielsweise ist eine Masse von ${\displaystyle 2\ \mathrm {a.u.} }$ das Doppelte der Elektronenmasse, während eine elektrische Feldstärke von

${\displaystyle 1\,\mathrm {a.u.} ={\frac {\hbar ^{2}}{m\cdot e\cdot a_{0}^{3}}}}$

die Feldstärke ist, die in einem Abstand von einem bohrschen Radius von einer Elementarladung herrscht.

Die Lichtgeschwindigkeit hat den Wert ${\displaystyle 1/\alpha \approx 137\,\mathrm {a.u.} }$, wobei ${\displaystyle \alpha }$ die Feinstrukturkonstante ist. Mit CODATA 2014 wurden die SI-Einheiten für genau diese Grundeinheiten sowie für weitere 18 abgeleitete atomare Einheiten festgelegt. Die Größenordnungen lassen sich mithilfe des Bohrschen Atommodells so interpretieren, dass die Längeneinheit ${\displaystyle a_{0}}$ der Radius und die Zeiteinheit ${\displaystyle \mathrm {a.t.u.} }$ die Umlaufzeit der ersten Elektronenbahn ist, sowie die Energieeinheit ${\displaystyle E_{\text{h}}}$ die doppelte Ionisierungsenergie des H-Atoms.

Der Gebrauch von atomaren Einheiten vereinfacht die Schrödingergleichung. Zum Beispiel ergibt sich der Hamilton-Operator für ein Elektron im Wasserstoffatom zu:

• in SI-Einheiten:

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{\mathrm {e} }}}\nabla ^{2}-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{r}}}$

• in atomaren Einheiten:

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\nabla ^{2}}{2}}-{\frac {1}{r}}}$

Atomare Einheiten für magnetische Größen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nicht eindeutig definiert sind atomare Einheiten für Größen des Magnetfeldes wie die magnetische Flussdichte ${\displaystyle B}$. Entweder gilt für eine elektromagnetischen Welle im Vakuum wie in SI-Einheiten ${\displaystyle B=E/c}$ oder wie in gaußschen Einheiten ${\displaystyle B=E}$. Dabei bezeichnet ${\displaystyle E}$ die elektrische Feldstärke und ${\displaystyle c}$ die Lichtgeschwindigkeit. Diese unterschiedlichen Festlegungen haben Auswirkungen auf alle Größen, die sich von der magnetischen Flussdichte ableiten. So entspricht etwa das Bohrsche Magneton nur in SI-basierten atomaren Einheiten ${\displaystyle 1/2\,\mathrm {a.u.} }$. Verschiedene konstante Vorfaktoren ergeben sich beim Berechnen der Intensität einer elektromagnetischen Welle aus der elektrischen Feldstärke.

Mit CODATA 2014 wurden insbesondere auch die SI-Einheiten für die atomaren Einheiten der magnetischen Flussdichte ${\displaystyle B_{\mathrm {au} }=\hbar /(a_{0}^{2}e)}$, der elektrischen Feldstärke ${\displaystyle {\vec {E}}_{\mathrm {au} }=E_{\mathrm {h} }/(a_{0}e)}$, der Geschwindigkeit ${\displaystyle v_{\mathrm {au} }=c\alpha }$ und darauf aufbauend des Bohrschen Magnetons etc. festgelegt.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

• Planck-Einheiten
• natürliche Einheiten

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

1. ↑ Douglas Rayner Hartree: The calculation of atomic structures. Wiley, New York, NY 1957 (IX, 181 S., Das Kapitel ATOMIC UNITS ist auf S. 5 ff. zu finden). 
2. ↑ Eintrag zu atomic units. In: IUPAC (Hrsg.): Compendium of Chemical Terminology. The “Gold Book”. doi:10.1351/goldbook.A00504 – Version: 2.1.6.
3. ↑ Das Internationale Einheitensystem (SI). Deutsche Übersetzung der BIPM-Broschüre „Le Système international d’unités/The International System of Units (8e édition, 2006)“. In: PTB-Mitteilungen. Band 117, Nr. 2, 2007 (Online [PDF; 1,4 MB]).  Kapitel 4, Tabelle 7