Chiralität (Mathematik)

In der Geometrie ist eine Figur chiral (und hat Chiralität), wenn sie nicht mit ihrem Spiegelbild identisch ist, oder genauer gesagt, wenn sie nicht allein durch Drehungen und Parallelverschiebungen auf ihr Spiegelbild abgebildet werden kann. Ein Objekt, das nicht chiral ist, wird als achiral bezeichnet.

Ein chirales Objekt und sein Spiegelbild nennt man enantiomorph. Das Wort Chiralität leitet sich vom griechischen Wort für Hand χείρ (cheir) ab, dem bekanntesten chiralen Objekt; Das Wort enantiomorph stammt aus dem Griechischen ἐναντίος (enantios) 'Gegenteil' und μορφή (morphe) 'Form'.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Tetrominos S und Z sind enantiomorph in 2 Dimensionen

S	Z

Einige chirale dreidimensionale Objekte, wie die Helix, können gemäß der Drei-Finger-Regel einer Rechts- oder Links-Händigkeit zugeordnet werden.

Viele andere bekannte Objekte wie Handschuhe und Schuhe weisen die gleiche chirale Symmetrie auf wie der menschliche Körper. Rechte Schuhe unterscheiden sich von linken Schuhen nur dadurch, dass sie Spiegelbilder voneinander sind. Im Gegensatz dazu können dünne (Einweg-)Handschuhe nicht als chiral angesehen werden, wenn man sie durchziehen kann, sie also von innen nach außen gedreht werden können.

Die J- bzw. L- und S- bzw. Z-förmigen Tetrominos des beliebten Videospiels Tetris weisen ebenfalls Chiralität auf, jedoch nur in einem zweidimensionalen Raum. Einzeln enthalten sie keine Spiegelsymmetrie in der Ebene.

Chiralität und Symmetriegruppen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Figur ist genau dann achiral, wenn ihre Symmetriegruppe mindestens eine Isometrie zur Umkehrung der Orientierung enthält. (In der euklidischen Geometrie kann jede Isometrie als ${\displaystyle v\mapsto Av+b}$ mit einer orthogonalen Matrix ${\displaystyle A}$ und einem Vektor ${\displaystyle b}$ geschrieben werden. Die Determinante von ${\displaystyle A}$ ist dann entweder 1 oder -1. Wenn sie -1 ist, ist die Isometrie orientierungs-umkehrend, andernfalls ist sie orientierungs-erhaltend.)

Siehe ^[1] für eine vollständige mathematische Definition der Chiralität.

Chiralität in drei Dimensionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In drei Dimensionen ist jede Figur achiral, die eine Spiegelsymmetrieebene ${\displaystyle S_{1}}$, ein Inversions-Symmetriezentrum ${\displaystyle S_{2}}$ oder eine höhere Symmetrieachse ${\displaystyle S_{n}}$ mit Drehspiegelung^[2] besitzt. (Eine Symmetrieebene einer Figur ${\displaystyle F}$ ist eine Ebene ${\displaystyle P}$, wenn ${\displaystyle F}$ unter der Abbildung ${\displaystyle (x,y,z)\mapsto (x,y,-z)}$ invariant ist, wobei ${\displaystyle P}$ wird als ${\displaystyle x}$-${\displaystyle y}$-Ebene des Koordinatensystems gewählt wird. Ein Symmetriezentrum einer Figur ${\displaystyle F}$ ist ein Punkt ${\displaystyle C}$, wenn ${\displaystyle F}$ unter der Abbildung ${\displaystyle (x,y,z)\mapsto (-x,-y,-z)}$ invariant ist, wobei ${\displaystyle C}$ als Ursprung des Koordinatensystems gewählt wird.) Beachten Sie jedoch, dass es achirale Figuren gibt, denen sowohl die Ebene als auch das Symmetriezentrum fehlen. Ein Beispiel ist die Figur

${\displaystyle F_{0}=\left\{(1,0,0),(0,1,0),(-1,0,0),(0,-1,0),(2,1,1),(-1,2,-1),(-2,-1,1),(1,-2,-1)\right\}}$,

die unter der Orientierungsumkehr-Isometrie ${\displaystyle (x,y,z)\mapsto (-y,x,-z)}$ invariant und somit achiral ist, aber weder Symmetrie-Ebene noch -Zentrum hat. Die Figur

${\displaystyle F_{1}=\left\{(1,0,0),(-1,0,0),(0,2,0),(0,-2,0),(1,1,1),(-1,-1,-1)\right\}}$

ist auch achiral, da der Ursprung ein Symmetriezentrum ist, aber eine Symmetrieebene fehlt.

Achirale Figuren können eine Mittelachse haben.

Chiralität in zwei Dimensionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In zwei Dimensionen ist jede Figur, die eine Symmetrieachse besitzt, achiral, und es kann gezeigt werden, dass jede begrenzte achirale Figur eine Symmetrieachse haben muss. (Eine Gerade ${\displaystyle G}$ ist eine Symmetrieachse einer Figur ${\displaystyle F}$, wenn ${\displaystyle F}$ unter der Abbildung ${\displaystyle (x,y)\mapsto (x,-y)}$ invariant ist, wobei ${\displaystyle G}$ als x-Achse des Koordinatensystems gewählt wird.) Aus diesem Grund ist ein Dreieck achiral, wenn es gleichseitig oder gleichschenklig ist, und chiral, wenn es ungleichseitig ist.

Man betrachte folgendes Muster:

Diese Figur ist chiral, da sie nicht mit ihrem Spiegelbild identisch ist:

Wenn man jedoch das Muster in beide Richtungen bis ins Unendliche verlängert, erhält man eine (unbegrenzte) achirale Figur, die keine Symmetrieachse hat. Die Symmetriegruppe der Figur ist eine Friesgruppe, die durch eine einzelne Gleitspiegelung erzeugt wird.

Knotentheorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Knoten wird als achiral bezeichnet, wenn er kontinuierlich in sein Spiegelbild verformt werden kann, andernfalls wird er als chiraler Knoten bezeichnet. Zum Beispiel sind der triviale Knoten und der Achterknoten achiral, während die Kleeblattschlinge chiral ist.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

• Chiralität (Physik)
• Chiralität (Chemie)
• Asymmetrie
• Schiefe (Statistik)

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

• The Mathematical Theory of Chirality von Michel Petitjean
• Symmetry, Chirality, Symmetry Measures and Chirality Measures: Allgemeine Definitionen
• Chiral Polyhedra von Eric W. Weisstein im Wolfram Demonstrations Project.
• Chiral manifold im Manifold Atlas Project.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

1. ↑ Petitjean, M.: Chirality in metric spaces. In memoriam Michel Deza. In: Optimization Letters. 2017, doi:10.1007/s11590-017-1189-7. 
2. ↑ Symmetry operations and symmetry elements. In: chemwiki.ucdavis.edu. Abgerufen am 25. März 2016.