De-Sitter-Raum

In Mathematik und Physik ist ein ${\displaystyle n}$-dimensionaler De-Sitter-Raum (nach Willem de Sitter), notiert ${\displaystyle dS_{n}}$, die lorentzsche Mannigfaltigkeit analog zu einer n-Sphäre (mit ihrer kanonischen riemannschen Mannigfaltigkeit); er ist maximal symmetrisch, hat eine konstante positive Krümmung und ist einfach zusammenhängend für ${\displaystyle n\geq 3}$.

Im vierdimensionalen Minkowski-Raum (3 Raumdimensionen plus die Zeit) bzw. in der Raumzeit ist der De-Sitter-Raum das Analogon zu einer Kugel im gewöhnlichen euklidischen Raum.

In der Sprache der allgemeinen Relativitätstheorie ist der De-Sitter-Raum die maximal symmetrische Vakuumlösung der einsteinschen Feldgleichungen mit einer positiven (repulsiven) kosmologischen Konstanten ${\displaystyle \Lambda }$ (entsprechend einer positiven Vakuumenergiedichte und negativem Druck) und damit ein kosmologisches Modell für das physikalische Universum; siehe De-Sitter-Modell.

Der De-Sitter-Raum wurde 1917 von Willem de Sitter entdeckt und gleichzeitig – unabhängig von de Sitter – von Tullio Levi-Civita.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der De-Sitter-Raum kann definiert werden als Untermannigfaltigkeit eines Minkowski-Raumes einer höheren Dimension.

Betrachtet man also den Minkowski-Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,n}}$ mit dem üblichen metrischen Tensor

${\displaystyle {\textrm {d}}s^{2}=-{\textrm {d}}x_{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}{\textrm {d}}x_{i}^{2}.}$

Dann ist der De-Sitter-Raum die Untermannigfaltigkeit, die durch das einschalige Hyperboloid

${\displaystyle \alpha ^{2}=-x_{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2},}$

beschrieben wird, wobei ${\displaystyle \alpha }$ eine positive Konstante ist mit der Dimension einer Länge. Der metrische Tensor des De-Sitter-Raumes ist derjenige, der vom metrischen Tensor des Minkowski-Raumes erzeugt wird. Man kann überprüfen, dass die erzeugte Metrik nicht-entartet ist und eine Signatur der Form (1,k,0) hat. (Wenn in obiger Definition ${\displaystyle \alpha ^{2}}$ durch ${\displaystyle -\alpha ^{2}}$ ersetzt wird, erhält man ein zweischaliges Hyperboloid. In diesem Fall ist die erzeugte Metrik positiv definit, und jede der beiden Schalen ist eine Kopie einer hyperbolischen n-Geometrie.)

Der De-Sitter-Raum kann auch definiert werden als Quotient ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {O} (1,n)}{\mathrm {O} (1,n-1)}}}$ zweier Lorentz-Gruppen, was zeigt, dass er ein nicht-Riemannscher symmetrischer Raum ist.

Topologisch ist der De-Sitter-Raum von der Form ${\displaystyle \mathbb {R} \times S^{n-1}}$.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Isometriegruppe des De-Sitter-Raumes ist die Lorentz-Gruppe ${\displaystyle \mathrm {O} (1,n)}$. Daher hat die Metrik ${\displaystyle {\tfrac {n(n+1)}{2}}}$ unabhängige Killing-Vektoren und ist maximal symmetrisch. Jeder maximal symmetrische Raum hat konstante Krümmung. Der Riemannsche Krümmungstensor ${\displaystyle R_{\rho \sigma \mu \nu }}$ des De-Sitter-Raumes ist

${\displaystyle R_{\rho \sigma \mu \nu }={1 \over \alpha ^{2}}(g_{\rho \mu }g_{\sigma \nu }-g_{\rho \nu }g_{\sigma \mu }).}$

Der De-Sitter-Raum ist eine Einstein-Mannigfaltigkeit, da der Ricci-Tensor ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$ proportional zur Metrik ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ist:

${\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {n-1}{\alpha ^{2}}}\cdot g_{\mu \nu }.}$

Das heißt, der De-Sitter-Raum ist eine Vakuumlösung der einsteinschen Feldgleichungen mit kosmologischer Konstante

${\displaystyle \Lambda ={\frac {n-1}{\alpha ^{2}}}\cdot {\frac {n-2}{2}}.}$

Das Krümmungsskalar dieses Raumes ist

${\displaystyle R={\frac {n(n-1)}{\alpha ^{2}}}={\frac {2n}{n-2}}\Lambda .}$

Für n = 4 ergibt sich Λ = 3/α² und R = 4Λ = 12/α².

Statische Koordinaten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für den De-Sitter-Raum lassen sich statische Koordinaten (Zeit ${\displaystyle t}$, Radius ${\displaystyle r}$, …) wie folgt einführen:

${\displaystyle x_{0}={\sqrt {\alpha ^{2}-r^{2}}}\cdot \sinh(t/\alpha )}$

${\displaystyle x_{1}={\sqrt {\alpha ^{2}-r^{2}}}\cdot \cosh(t/\alpha )}$

${\displaystyle x_{i}=rz_{i}}$ mit ${\displaystyle 2\leq i\leq n,}$

wobei ${\displaystyle z_{i}}$ die Standard-Einbettung der Sphäre ${\displaystyle S^{n-2}}$ in Rⁿ⁻¹ darstellt.

In diesen Koordinaten nimmt die De-Sitter-Metrik folgende Form an:

${\displaystyle {\textrm {d}}s^{2}=-\left(1-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\right){\textrm {d}}t^{2}+\left(1-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\right)^{-1}{\textrm {d}}r^{2}+r^{2}{\textrm {d}}\Omega _{n-2}^{2}.}$

Zu beachten: es gibt einen kosmologischen Horizont bei ${\displaystyle r=\alpha }$.

Slicing-Koordinaten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Flach[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ansatz:

${\displaystyle x_{0}=\alpha \sinh(t/\alpha )+r^{2}e^{t/\alpha }/2\alpha }$

${\displaystyle x_{1}=\alpha \cosh(t/\alpha )-r^{2}e^{t/\alpha }/2\alpha }$

${\displaystyle x_{i}=e^{t/\alpha }y_{i}}$ mit ${\displaystyle 2\leq i\leq n,}$

wobei ${\displaystyle r^{2}=\sum _{i}y_{i}^{2}.}$

Dann lautet die Metrik des De-Sitter-Raumes in ${\displaystyle (t,y_{i})}$-Koordinaten:

${\displaystyle {\textrm {d}}s^{2}=-{\textrm {d}}t^{2}+e^{2t/\alpha }\cdot {\textrm {d}}y^{2}}$

mit ${\displaystyle {\textrm {d}}y^{2}=\sum _{i}{\textrm {d}}y_{i}^{2}}$ der flachen Metrik auf ${\displaystyle y_{i}}$.

Geschlossen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ansatz:

${\displaystyle x_{0}=\alpha \sinh(t/\alpha )}$

${\displaystyle x_{i}=\alpha \cosh(t/\alpha )\cdot z_{i}}$ mit ${\displaystyle 1\leq i\leq n,}$

wobei die ${\displaystyle z_{i}}$ eine ${\displaystyle S^{n-1}}$-Sphäre beschreiben.

Dann lautet die Metrik des De-Sitter-Raumes:

${\displaystyle {\textrm {d}}s^{2}=-{\textrm {d}}t^{2}+\alpha ^{2}\cosh ^{2}(t/\alpha )\cdot {\textrm {d}}\Omega _{n-1}^{2}.}$

Wird die Zeit-Variable ${\displaystyle t}$ geändert in die konforme Zeit ${\displaystyle \eta }$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\tanh(t/\alpha )&=\tan(\eta )\\\Leftrightarrow \cosh(t/\alpha )&=1/\cos(\eta ),\end{aligned}}}$

so erhält man eine Metrik, die konform äquivalent zum statischen Einstein-Universum ist:

${\displaystyle {\textrm {d}}s^{2}={\frac {\alpha ^{2}}{\cos ^{2}\eta }}(-{\textrm {d}}\eta ^{2}+{\textrm {d}}\Omega _{n-1}^{2}).}$

Der De-Sitter-Raum und das Einstein-Universum haben deshalb das gleiche Penrose-Diagramm.

Offen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ansatz:

${\displaystyle x_{0}=\alpha \sinh(t/\alpha )\cosh \xi }$

${\displaystyle x_{1}=\alpha \cosh(t/\alpha )}$

${\displaystyle x_{i}=\alpha \sinh(t/\alpha )\sinh \xi \cdot z_{i}}$ mit ${\displaystyle 2\leq i\leq n,}$

wobei ${\displaystyle \sum _{i}z_{i}^{2}=1}$ eine Sphäre ${\displaystyle S^{n-2}}$ formt mit der Standard-Metrik ${\displaystyle \sum _{i}{\textrm {d}}z_{i}^{2}={\textrm {d}}\Omega _{n-2}^{2}.}$

Dann lautet die Metrik des De-Sitter-Raumes

${\displaystyle {\textrm {d}}s^{2}=-{\textrm {d}}t^{2}+\alpha ^{2}\sinh ^{2}(t/\alpha )\cdot {\textrm {d}}H_{n-1}^{2},}$

mit ${\displaystyle {\textrm {d}}H_{n-1}^{2}={\textrm {d}}\xi ^{2}+\sinh ^{2}\xi \cdot {\textrm {d}}\Omega _{n-2}^{2}}$ der Metrik eines hyperbolischen euklidischen Raumes.

DS[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ansatz:

${\displaystyle x_{0}=\alpha \sinh(t/\alpha )\cosh \xi \sin(\chi /\alpha )}$

${\displaystyle x_{1}=\alpha \cos(\chi /\alpha )}$

${\displaystyle x_{2}=\alpha \cosh(t/\alpha )\sin(\chi /\alpha )}$

${\displaystyle x_{i}=\alpha \sinh(t/\alpha )\sinh \xi \sin(\chi /\alpha )z_{i}}$ mit ${\displaystyle 3\leq i\leq n}$

wobei die ${\displaystyle z_{i}}$ eine ${\displaystyle S^{n-3}}$-Sphäre beschreiben.

Dann lautet die Metrik des De-Sitter-Raumes:

${\displaystyle {\textrm {d}}s^{2}={\textrm {d}}\chi ^{2}+\sin ^{2}(\chi /\alpha )\cdot {\textrm {d}}s_{dS,\alpha ,n-1}^{2},}$

wobei

${\displaystyle {\textrm {d}}s_{dS,\alpha ,n-1}^{2}=-{\textrm {d}}t^{2}+\alpha ^{2}\sinh ^{2}(t/\alpha )\cdot {\textrm {d}}H_{n-2}^{2}}$

die Metrik eines ${\displaystyle n-1}$-dimensionalen De-Sitter-Raumes in offenen Slicing-Koordinaten ist, mit Krümmungsradius ${\displaystyle \alpha }$.

Die hyperbolische Metrik lautet:

${\displaystyle {\textrm {d}}H_{n-2}^{2}={\textrm {d}}\xi ^{2}+\sinh ^{2}\xi \cdot {\textrm {d}}\Omega _{n-3}^{2}.}$

Dies ist die analytische Fortsetzung der offenen Slicing-Koordinaten

${\displaystyle (t,\xi ,\theta ,\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{n-3})\to (i\chi ,\xi ,it,\theta ,\phi _{1},\cdots ,\phi _{n-4})}$

und außerdem der Tausch von ${\displaystyle x_{0}}$ und ${\displaystyle x_{2}}$, weil sie ihre zeit- bzw. raumartigen Eigenschaften verändern.

Sonstiges[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einige Autoren schlugen im Rahmen von Theorien der Quantengravitation anstelle des Minkowski-Raumes den De-Sitter-Raum als grundlegenden Raum für die spezielle Relativitätstheorie vor und nannten dies De-Sitter-Relativität.^[1]

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

• De-Sitter-Modell
• Anti-de-Sitter-Raum
• Einstein-de-Sitter-Modell

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

• W. de Sitter: On the relativity of inertia: Remarks concerning Einstein's latest hypothesis. In: Proc. Kon. Ned. Acad. Wet. Band 19, 1917, S. 1217–1225. 
• W. de Sitter: On the curvature of space. In: Proc. Kon. Ned. Acad. Wet. Band 20, 1917, S. 229–243. 
• Tullio Levi-Civita: Realtà fisica di alcuni spazî normali del Bianchi. In: Rendiconti, Reale Accademia Dei Lincei. Band 26, 1917, S. 519–31. 
• K. Nomizu: The Lorentz-Poincaré metric on the upper half-space and its extension. In: Hokkaido Mathematical Journal. Band 11, Nr. 3, 1982, S. 253–261. 
• H. S. M. Coxeter: A geometrical background for de Sitter's world. In: Mathematical Association of America (Hrsg.): American Mathematical Monthly. Band 50, Nr. 4, 1943, S. 217–228, doi:10.2307/2303924, JSTOR:2303924. 
• L. Susskind, J. Lindesay: An Introduction to Black Holes, Information and the String Theory Revolution: The Holographic Universe. 2005, S. 119 (11.5.25). 
• Qingming Cheng: De Sitter space. Springer. 

Nachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

1. ↑ R. Aldrovandi, J. G. Pereira, de Sitter Relativity: a New Road to Quantum Gravity?, arxiv.org, 2007