Differenz-Operator

Van Wikipedia, de gratis encyclopedie

Ein Differenz-Operator ist in der Mathematik ein Operator, mit dem die Differenz einer Funktion in mehreren Variablen verallgemeinert wird. Dadurch lassen sich beispielsweise Eigenschaften wie die Monotonie einer reellen Funktion einer Variable auf Funktionen mehrerer Variablen verallgemeinern. Ein anderes Anwendungsgebiet von Differenz-Operatoren ist die Stochastik und Maßtheorie, wo mit ihrer Hilfe abstrakte Volumenbegriffe definiert werden.

Mehrdimensionale Analysis

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sei eine reellwertige Funktion mehrerer reeller Variablen

Dann ist der Differenzenoperator für definiert als

und die Differenzenbildung in der -ten Komponente als

.

Finite Differenzen

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Theorie der finiten Differenzen existieren auch die Differenzoperatoren[1]

und

Geschrieben mit dem Shiftoperator als

Allgemeiner definiert man die Vorwärts-Differenz

die Rückwärts-Differenz

und die zentrierte Differenz

Durch Austausch der einzelnen Komponenten wird von den beiden Vektoren ein Quader im mit Ecken erzeugt. Die Funktionswerte an diesen Ecken werden dann noch in Abhängigkeit von Ursprungsvektor der Komponenten mit einem Vorzeichen versehen und dann addiert, beispielsweise für :

.

Die Differenzbildung in der -ten Komponente ist zwar konstant im -ten Eintrag, wird aber meist immer noch als Funktion auf aufgefasst, um das weitere Anwenden von Differenzoperatoren zu ermöglichen.

Der Differenzen-Operator ist linear, das heißt, es gilt

Des Weiteren ist

Außerdem gilt für

Die Differenzbildung der Komponenten ist also vertauschbar.

Mittels des Differenzoperators lässt sich beispielsweise die Monotonie einer Funktion verallgemeinern: Eine Funktion heißt dann rechtecksmonoton, wenn

gilt. Dabei ist komponentenweise zu verstehen, also für alle Indizes. Darauf aufbauend lassen sich solche Funktionen dann weiter untersuchen.

Außerdem werden Differenzoperatoren in der Maßtheorie und der Stochastik zur Definition von Maßen auf dem mittels multivariater Verteilungsfunktionen verwendet.

Einzelnachweise

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
  1. Antonio J. Durán: Lectures on Orthogonal Polynomials and Special Functions. In: Cambridge University Press (Hrsg.): London Mathematical Society Lecture Note Series. 2020.