Drehspiegelgruppe

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Antiprisma mit der Symmetriegruppe

Die Drehspiegelgruppe ist die von der Drehspiegelung zum Drehwinkel erzeugte Symmetriegruppe.

Wird als Grundoperation statt der Drehspiegelung die Drehinversion genommen, wird also die Drehung nicht mit einer Ebenenspiegelung verkettet, sondern mit einer Inversion an einem Punkt auf der Drehachse, so entsteht die Gruppe ; die an sich naheliegende Bezeichnung Drehinversionsgruppe ist ungebräuchlich.[1]

Die Gruppen dieser beiden Typen stimmen bis auf die Nummerierung miteinander überein.

Drehspiegelgruppen treten bei der Beschreibung der Symmetrie von Kristallen oder einzelnen Molekülen auf.

Notation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Drehspiegelgruppen gibt es zwei Bezeichnungssysteme:

() () ( ungerade)
Hermann-Mauguin
Schoenflies
Bemerkung Ebenenspiegelung Punktspiegelung

Dabei steht

  • „m“ für „mirror plane“
  • „s“ für „Spiegelebene“
  • „i“ für „Inversion“
  • “ für eine n-zählige Drehsymmetrie („C“ für „cyclisch“); siehe hierzu den Abschnitt „Eigenschaften“
  • „h“ für „horizontale Spiegelebene“ (bei vertikal gedachter Drehachse).

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Punkt in der Position 0 wird durch n-fache Anwendung der Grundoperation (Drehspiegelung bzw. Drehinversion) nacheinander in die Positionen 1, 2, … und schließlich wieder in die Ausgangsposition 0 überführt. Die untenstehenden Abbildungen zeigen diese Anwendung der Gruppenelemente (mit k = 0 ... n-1) auf den Punkt 0 für einige Werte von .

n
Drehwinkel
Drehspiegelung
Skizze
Hermann-Mauguin
-Symbol
Schoenflies
-Symbol
Drehinversion
Skizze
Hermann-Mauguin
-Symbol

Ein Körper mit einer - oder -Symmetrie, der den Punkt 0 enthält, muss auch die zu diesem symmetrischen Punkte 1, 2, … enthalten. Ein Beispiel ist das oben gezeigte Antiprisma, bei dem die 4-zählige Drehspiegelachse senkrecht auf den beiden Deckflächen steht, wobei diese hier unterschiedlich orientiert sind. Bei gleicher Orientierung wäre der Körper nicht mehr drehspiegel- dafür aber weiterhin drehsymmetrisch, und zwar um nun drei 2-zählige Achsen (senkrecht zu den Deckflächen sowie parallel zu deren Winkelhalbierenden). Bei nicht orientierten Deckflächen würden beide Symmetrien gleichzeitig auftreten.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Drehspiegelgruppe ist zyklisch mit der Ordnung (für ungerades ) oder (für gerades ).[5] Sie ist damit insbesondere kommutativ.

enthält die Spiegelung genau dann, wenn ungerade ist, und die Inversion genau dann, wenn gerade, aber nicht durch 4 teilbar ist.[5]

hat als Untergruppen nur Drehgruppen und Drehspiegelgruppen, und zwar ist

  • die Drehgruppe Untergruppe genau dann, wenn Teiler von (für ungerades ) bzw. von (für gerades ) ist;[5]
  • die Drehspiegelgruppe Untergruppe genau dann, wenn ungerade ist.

Zwischen den und den Drehspiegelgruppen besteht die Beziehung[4]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Commons: Rotoreflection groups – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Es gibt nur zwei Suchtreffer für „Drehinversionsgruppe“ bei Google Books. In einem der beiden (Konrad Altmann: Grundlagen der Theorie der Infrarot-, Raman- und Hyper-Ramanspektren molekularer Gase, dargestellt unter Benutzung irreduzibler sphärischer Tensoren. Universität München, 1976) heißt es: „Eigentlich besser Drehinversionsgruppe. Dieser Ausdruck ist jedoch in der deutschsprachigen Literatur nicht gebräuchlich.“.
  2. Bill Trogler: Molecular Symmetry. (PDF; 3,8 MB) (Kapitel der Lecture Notes zur Vorlesung UCSD Chem 224: Group Theory and Spectroscopy). University of California, San Diego, 2012, S. 11–12, abgerufen am 2. Mai 2018.
  3. Walter Borchardt-Ott: Crystallography. 2. Auflage. Springer, 1995, ISBN 3-540-59478-7.
  4. a b Daniel Arovas: Crystal Math. (PDF; 9,6 MB) (Kapitel 5 der Lecture Notes zur Vorlesung UCSD Physics 220: Group Theory). University of California, San Diego, 2016, abgerufen am 1. Mai 2018.
  5. a b c Arthur Schoenflies: Krystallsysteme und Krystallstruktur. Teubner, 1891, S. 81 (Scan [PDF; 16,7 MB]).