Geschwindigkeitsgradient

Der (räumliche) Geschwindigkeitsgradient (Formelzeichen l oder L, Dimension T ^-1) ist in der Kontinuumsmechanik ein Mittel zur Beschreibung der lokalen Verformungsgeschwindigkeit eines Körpers. Der Körper mag fest, flüssig oder gasförmig sein und der Begriff der Verformung wird hier so weit gefasst, dass auch das Fließen einer Flüssigkeit und das Strömen eines Gases darunter fallen. Als Gradient bemisst der Geschwindigkeitsgradient die örtlichen Änderungen des Geschwindigkeitsfeldes. In kartesischen Koordinaten hat er die Form:

${\displaystyle \mathbf {l} :=\operatorname {grad} {\vec {v}}:={\begin{pmatrix}{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}&{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}&{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}\\{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}&{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}&{\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}\\{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}&{\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}&{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\end{pmatrix}}\,.}$

Die Komponenten ${\displaystyle v_{x,y,z}}$ sind die Geschwindigkeitsanteile in x-, y- bzw. z-Richtung. Der räumliche Geschwindigkeitsgradient enthält alle Informationen über die bezugssysteminvarianten Schergeschwindigkeiten, die Divergenz und die Winkelgeschwindigkeit oder Wirbelstärke des Geschwindigkeitsfeldes.

Der Geschwindigkeitsgradient wird bei der mathematischen Formulierung von physikalischen Gesetzen und Materialmodellen benutzt und ist – vergleichbar zum Deformationsgradienten bezüglich der Deformation von Festkörpern – in der Strömungsmechanik von zentraler Bedeutung.

Beschreibung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Geschwindigkeitsfeld eines Körpers gibt an, wie schnell sich die einzelnen Partikel (Fluidelemente) des Körpers bewegen, siehe Abb. 1. Wenn sich der Körper gleichförmig bewegt, dann sind die Geschwindigkeiten benachbarter Partikel gleich und der Geschwindigkeitsgradient verschwindet, denn als Gradient bemisst er die örtlichen Änderungen, siehe den oberen Bildteil. Wenn sich aber die Geschwindigkeiten zweier benachbarter Partikel unterscheiden, dann liegt lokal entweder eine Drehung oder eine Deformation vor und der Geschwindigkeitsgradient ist von null verschieden wie im unteren Bildteil.

Das Geschwindigkeitsfeld kann für die sich bewegenden Partikel eines Körpers oder an den Raumpunkten innerhalb des Körpers aufgestellt werden. Ersteres ist die materielle letzteres die räumliche Formulierung. Weil das Geschwindigkeitsfeld üblicherweise räumlich begriffen wird, bezieht sich der Begriff „Geschwindigkeitsgradient“ zumeist auf den räumlichen Geschwindigkeitsgradient und dieser wird hier vorrangig behandelt.

Der räumliche Geschwindigkeitsgradient taucht in den lokalen, räumlichen Formulierungen der Massen-, Impuls- und Energiebilanzen auf und ist für die kinematische Nichtlinearität der Impulsbilanz in dieser Formulierung verantwortlich.

Der Bewegungszustand eines Beobachters beeinflusst seine Einschätzung der Geschwindigkeit der Partikel des Körpers und damit auch den von ihm beobachteten Geschwindigkeitsgradient. Weil also unterschiedlich bewegte Beobachter verschiedene Geschwindigkeitsgradienten wahrnehmen, ist dieser keine objektive Größe. Mit dem räumlichen Geschwindigkeitsgradient werden objektive Zeitableitungen von Vektoren und Tensoren definiert, die für die Formulierung bezugssysteminvarianter Materialgleichungen benötigt werden. Mehr zu dem Thema ist unter Euklidische Transformation zu finden.

Mathematisch ist der Geschwindigkeitsgradient ein Tensor zweiter Stufe, mit dem Vektoren linear auf andere Vektoren abgebildet werden, siehe Abb. 2. Ein solcher Tensor kann wie eine 3×3 Matrix betrachtet werden, deren Komponenten auf Dyaden referenzieren so wie die Komponenten eines Vektors auf Basisvektoren referenzieren.

Die Summe der Diagonalelemente, die Spur, ist die Divergenz des Geschwindigkeitsfeldes und ein Maß für die Ausdehnungsgeschwindigkeit eines (infinitesimal) kleinen Volumenelementes des Körpers.

Der symmetrische Anteil des räumlichen Geschwindigkeitsgradienten, der räumliche Verzerrungs-, Streck- oder Deformationsgeschwindigkeitstensor (Formelzeichen d oder D) verschwindet bei Starrkörperbewegungen inklusive Drehungen, tritt also nur bei „echten“ Verformungen auf und ist objektiv. Der Verzerrungsgeschwindigkeitstensor wird in Materialmodellen geschwindigkeitsabhängiger Materialien eingesetzt, z. B. beim linear viskosen Fluid, dessen Geschwindigkeitsfeld den Navier-Stokes-Gleichungen gehorcht, die Fluidströmungen wirklichkeitsnah abbilden.

Der schiefsymmetrische Anteil des räumlichen Geschwindigkeitsgradienten, der Wirbel-, Spin- oder Drehgeschwindigkeitstensor (Formelzeichen w oder W) besitzt einen dualen Vektor ${\displaystyle {\vec {\omega }}\,,}$ die Winkelgeschwindigkeit, die proportional zum Wirbelvektor oder der Wirbelstärke ist, die in Flüssigkeits- und Gasströmungen eine wichtige Rolle spielt.

Definition und Darstellungsweisen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Materielle und räumliche Koordinaten und das Geschwindigkeitsfeld[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Bewegung eines materiellen Punktes (Fluidelementes) wird mathematisch mit der Bewegungsfunktion

${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {\chi }}({\vec {X}},t)}$

beschrieben. Der Vektor ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ist die aktuelle Position des materiellen Punktes ${\displaystyle {\vec {X}}}$ zur Zeit ${\displaystyle t}$ in der Momentankonfiguration (Kleinbuchstaben). Genauer ist ${\displaystyle {\vec {X}}}$ die Position des betrachteten materiellen Punktes in der Ausgangs- oder Referenzkonfiguration des Körpers zu einer vergangenen Zeit ${\displaystyle t_{0}\leq t}$ (Großbuchstaben). Bei festgehaltenem materiellen Punkt ${\displaystyle {\vec {X}}}$ gibt die Bewegungsfunktion dessen Bahnlinie durch den Raum wieder und bei festgehaltenem räumlichen Punkt ${\displaystyle {\vec {x}}}$ gibt ${\displaystyle {\vec {X}}={\vec {\chi }}^{-1}({\vec {x}},t)}$ die Streichlinie durch den betrachteten Punkt wieder. Im kartesischen Koordinatensystem mit der Standardbasis ${\displaystyle {\hat {e}}_{1,2,3}}$ hat der Raumpunkt ${\displaystyle {\vec {x}}}$ die komponentenweise Darstellung

${\displaystyle {\vec {x}}=\sum _{i=1}^{3}x_{i}{\hat {e}}_{i}=\sum _{i=1}^{3}\chi _{i}({\vec {X}},t){\hat {e}}_{i}}$

und entsprechend gilt ${\displaystyle {\vec {X}}=\sum _{i=1}^{3}{X}_{i}{\hat {e}}_{i}}$. Die Zahlen ${\displaystyle x_{1,2,3}}$ werden räumliche Koordinaten genannt, weil diese einen Raumpunkt kennzeichnen, und ${\displaystyle X_{1,2,3}}$ werden materielle Koordinaten genannt, denn diese haften einem materiellen Punkt an. Die Bewegungsfunktion ist zu jeder Zeit an jedem Ort invertierbar

${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {\chi }}({\vec {X}},t)\quad \leftrightarrow \quad {\vec {X}}={\vec {\chi }}^{-1}({\vec {x}},t)\,,}$

weil sich an einem Punkt im Raum immer nur ein materieller Punkt aufhalten kann und ein materieller Punkt zu einer Zeit nur an einem Ort sein kann. Die Ableitung der Bewegungsfunktion nach der Zeit liefert das Geschwindigkeitsfeld:

${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {\chi }}({\vec {X}},t)\quad \rightarrow \quad {\vec {v}}({\vec {x}},t)=\sum _{i=1}^{3}v_{i}({\vec {x}},t){\hat {e}}_{i}=\sum _{i=1}^{3}{\frac {\mathrm {D} \chi _{i}({\vec {X}},t)}{\mathrm {D} t}}{\hat {e}}_{i}=\sum _{i=1}^{3}{\dot {\chi }}_{i}({\vec {X}},t){\hat {e}}_{i}={\dot {\vec {\chi }}}({\vec {X}},t)\,.}$

Die materiellen Koordinaten ${\displaystyle {\vec {X}}={\vec {\chi }}^{-1}({\vec {x}},t)}$ gehören zu dem Partikel, das sich zur Zeit t am Ort ${\displaystyle {\vec {x}}}$ befindet und dessen Geschwindigkeit zu dem Zeitpunkt ${\displaystyle {\vec {v}}({\vec {x}},t)={\dot {\vec {\chi }}}({\vec {X}},t)}$ ist. Das Geschwindigkeitsfeld wird üblicherweise räumlich begriffen, weshalb es hier nur in der räumlichen Darstellung mit ${\displaystyle {\vec {v}}}$ (für englisch velocity „Geschwindigkeit“) bezeichnet wird. Ganz rechts steht das materielle Geschwindigkeitsfeld, das mit der substantiellen Zeitableitung der Bewegungsfunktion berechnet wird. Die Punktnotation wird hier ausschließlich für die substantielle Zeitableitung verwendet.

Geschwindigkeitsgradient und Deformationsgradient[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Deformationsgradient ist die Ableitung der Bewegung nach den materiellen Koordinaten^{[F 1]}:

${\displaystyle \mathbf {F} :=\operatorname {GRAD} \left({\vec {\chi }}({\vec {X}},t)\right):=\sum _{i,j=1}^{3}{\frac {\mathrm {d} \chi _{i}({\vec {X}},t)}{\mathrm {d} X_{j}}}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}=:{\frac {\mathrm {d} {\vec {x}}}{\mathrm {d} {\vec {X}}}}}$

Das Rechenzeichen „${\displaystyle \otimes }$“ bildet das dyadische Produkt und „GRAD“ den materiellen Gradienten mit Ableitungen nach den materiellen Koordinaten. Durch die substantielle Zeitableitung des Deformationsgradienten entstehen die Geschwindigkeitsgradienten:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {F} }}=&{\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}\sum _{i,j=1}^{3}{\frac {\mathrm {d} \chi _{i}({\vec {X}},t)}{\mathrm {d} X_{j}}}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}=\sum _{i,j=1}^{3}{\frac {\mathrm {d} {\dot {\chi }}_{i}({\vec {X}},t)}{\mathrm {d} X_{j}}}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}\\=&\sum _{i,j=1}^{3}{\frac {\mathrm {d} v_{i}({\vec {x}},t)}{\mathrm {d} X_{j}}}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}=\sum _{i,j,k=1}^{3}{\frac {\mathrm {d} v_{i}({\vec {x}},t)}{\mathrm {d} x_{k}}}{\frac {\mathrm {d} \chi _{k}({\vec {X}},t)}{\mathrm {d} X_{j}}}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}=\underbrace {\sum _{i,k=1}^{3}{\frac {\mathrm {d} v_{i}({\vec {x}},t)}{\mathrm {d} x_{k}}}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{k}} _{\operatorname {grad} {\vec {v}}}\cdot \underbrace {\sum _{j,l=1}^{3}{\frac {\mathrm {d} \chi _{l}({\vec {X}},t)}{\mathrm {d} X_{j}}}{\hat {e}}_{l}\otimes {\hat {e}}_{j}} _{=\operatorname {GRAD} {\vec {\chi }}}\\=&\operatorname {grad} {\bigl (}{\vec {v}}({\vec {x}},t){\bigl )}\cdot \operatorname {GRAD} {\bigl (}{\vec {\chi }}({\vec {X}},t){\bigl )}=:\mathbf {l\cdot F} \,.\end{aligned}}}$

Das Rechenzeichen „${\displaystyle \otimes }$“ bildet das dyadische Produkt, „grad“ den räumlichen und „GRAD“ den materiellen Gradient mit Ableitungen nach den räumlichen bzw. den materiellen Koordinaten. Der materielle Geschwindigkeitsgradient ${\displaystyle {\dot {\mathbf {F} }}}$ ist die Zeitableitung des Deformationsgradienten oder – weil die Reihenfolge der Ableitungen vertauscht werden darf – die materielle Ableitung der Geschwindigkeit nach den materiellen Koordinaten:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {F} }}({\vec {X}},t):=\operatorname {GRAD} \left({\dot {\vec {\chi }}}({\vec {X}},t)\right)=\sum _{i,j=1}^{3}{\frac {\mathrm {d} {\dot {\chi }}_{i}}{\mathrm {d} X_{j}}}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}=:{\frac {\mathrm {d} {\dot {\vec {\chi }}}}{\mathrm {d} {\vec {X}}}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} {\vec {x}}}}\cdot {\frac {\mathrm {d} {\vec {x}}}{\mathrm {d} {\vec {X}}}}=\mathbf {l\cdot F} \,.}$

Räumlicher Geschwindigkeitsgradient[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der räumliche Geschwindigkeitsgradient ${\displaystyle \mathbf {l} }$ ist die räumliche Ableitung der Geschwindigkeit nach den räumlichen Koordinaten^{[F 1]}:

${\displaystyle \mathbf {l} ({\vec {x}},t):=\operatorname {grad} {\bigl (}{\vec {v}}({\vec {x}},t){\bigr )}:=\sum _{i,j=1}^{3}{\frac {\mathrm {d} v_{i}}{\mathrm {d} x_{j}}}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}=:{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} {\vec {x}}}}={\frac {\mathrm {d} {\dot {\vec {\chi }}}}{\mathrm {d} {\vec {X}}}}\cdot {\frac {\mathrm {d} {\vec {X}}}{\mathrm {d} {\vec {x}}}}={\dot {\mathbf {F} }}\cdot \mathbf {F} ^{-1}\,.}$

Das Geschwindigkeitsfeld wird meistens räumlich dargestellt, weshalb mit dem Begriff „Geschwindigkeitsgradient“ in der Regel der räumliche Geschwindigkeitsgradient gemeint ist. Materielle Größen werden in der Kontinuumsmechanik gemeinhin groß geschrieben und räumliche klein, weswegen hier auch die Kleinschreibung des räumlichen Geschwindigkeitsgradienten benutzt wird. Sein symmetrischer Anteil

${\displaystyle \mathbf {d} :={\frac {1}{2}}(\mathbf {l+l} ^{\top })={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}2{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}&{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}&{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}\\{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}&2{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}&{\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}\\{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}&{\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}&2{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\end{pmatrix}}}$

ist der (räumliche) Verzerrungsgeschwindigkeitstensor und sein schiefsymmetrischer Anteil

${\displaystyle \mathbf {w} :={\frac {1}{2}}(\mathbf {l-l} ^{\top })={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0&{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}-{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}&{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}\\{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}&0&{\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}-{\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}\\{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}-{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}&{\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}&0\end{pmatrix}}}$

ist der (räumliche) Spin-, Wirbel- oder Drehgeschwindigkeitstensor. Das Superskript ${\displaystyle \top }$ kennzeichnet die Transposition. In den Matrixdarstellungen beziehen sich die Geschwindigkeitsanteile ${\displaystyle v_{x,y,z}}$ auf ein kartesisches Koordinatensystem mit x-, y- und z-Richtungen.

Die Winkelgeschwindigkeit oder Wirbelstärke[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dem Wirbeltensor kann, weil er schiefsymmetrisch ist, ein dualer Vektor ${\displaystyle {\vec {\omega }}\,,}$ mit der Eigenschaft

${\displaystyle {\vec {\omega }}\times {\vec {u}}=\mathbf {w} \cdot {\vec {u}}\quad {\text{für alle}}\quad {\vec {u}}\quad \Leftrightarrow \quad \mathbf {w} ={\vec {\omega }}\times \mathbf {1} =\sum _{i=1}^{3}{\vec {\omega }}\times {\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{i}\,,}$

zugeordnet werden. Der Tensor 1 ist der Einheitstensor, „${\displaystyle \otimes }$“ das dyadische und „ד das Kreuzprodukt. Im Fall des Wirbeltensors ist der duale Vektor die Winkelgeschwindigkeit, die der Drehgeschwindigkeitsvektor bei Starrkörperbewegungen ist, wie der gleichnamige Abschnitt unten ausführt. Die Winkelgeschwindigkeit berechnet sich mit dem Nabla-Operator

${\displaystyle \nabla :=\sum _{k=1}^{3}{\hat {e}}_{k}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}}$

nach der Vorschrift^{[L 1]}

${\displaystyle {\vec {\omega }}=-{\frac {1}{2}}\mathbf {1\cdot \!\!\times w} =-{\frac {1}{2}}\mathbf {1} \cdot \!\times {\frac {1}{2}}{\bigl [}\overbrace {(\nabla \otimes {\vec {v}})^{\top }} ^{=\operatorname {grad} {\vec {v}}=\mathbf {l} }-\overbrace {\nabla \otimes {\vec {v}}} ^{\mathbf {l} ^{\top }}{\bigr ]}:=-{\frac {1}{4}}(-\nabla \times {\vec {v}}-\nabla \times {\vec {v}})={\frac {1}{2}}\nabla \times {\vec {v}}={\frac {1}{2}}\operatorname {rot} ({\vec {v}})\,,}$

denn das Skalarkreuzprodukt „${\displaystyle \cdot \!\times }$“ des Einheitstensors mit einer Dyade vertauscht das dyadische Produkt mit dem Kreuzprodukt. Der Differentialoperator „rot“ steht für die Rotation des Geschwindigkeitsfeldes.

Die Winkelgeschwindigkeit ist proportional zur Wirbelstärke, die eine besondere Bedeutung in Flüssigkeits- und Gasströmungen hat.

Darstellung in Zylinder- und Kugelkoordinaten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In achsensymmetrischen Strömungen bietet es sich an, ein Zylinder- oder Kugelkoordinatensystem zu benutzen. In Zylinderkoordinaten {ρ,φ,z} mit Basisvektoren ${\displaystyle {\hat {e}}_{\rho ,\varphi ,z}}$ bekommt er die Form:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {grad} {\vec {v}}=&{\hat {e}}_{\rho }\otimes (\operatorname {grad} v_{\rho })+{\frac {v_{\rho }}{\rho }}{\hat {e}}_{\varphi }\otimes {\hat {e}}_{\varphi }+{\hat {e}}_{\varphi }\otimes (\operatorname {grad} v_{\varphi })-{\frac {v_{\varphi }}{\rho }}{\hat {e}}_{\rho }\otimes {\hat {e}}_{\varphi }+{\hat {e}}_{z}\otimes (\operatorname {grad} v_{z})\\=&{\begin{pmatrix}{\frac {\partial v_{\rho }}{\partial \rho }}&{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial v_{\rho }}{\partial \varphi }}-{\frac {v_{\varphi }}{\rho }}&{\frac {\partial v_{\rho }}{\partial z}}\\{\frac {\partial v_{\varphi }}{\partial \rho }}&{\frac {v_{\rho }}{\rho }}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial v_{\varphi }}{\partial \varphi }}&{\frac {\partial v_{\varphi }}{\partial z}}\\{\frac {\partial v_{z}}{\partial \rho }}&{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial v_{z}}{\partial \varphi }}&{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\end{pmatrix}}_{{\hat {e}}_{\rho ,\varphi ,z}\otimes {\hat {e}}_{\rho ,\varphi ,z}}\\{\text{mit}}\quad \operatorname {grad} f=&{\frac {\partial f}{\partial \rho }}{\hat {e}}_{\rho }+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}{\hat {e}}_{\varphi }+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\hat {e}}_{z}\,.\end{aligned}}}$

In Kugelkoordinaten {r,θ,φ} mit Basisvektoren ${\displaystyle {\hat {e}}_{r,\theta ,\varphi }}$ schreibt er sich:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {grad} {\vec {v}}=&{\hat {e}}_{r}\otimes (\operatorname {grad} v_{r})+{\frac {v_{r}}{r}}\mathbf {1} -{\frac {v_{r}}{r}}{\hat {e}}_{r}\otimes {\hat {e}}_{r}+{\hat {e}}_{\theta }\otimes (\operatorname {grad} v_{\theta })+{\frac {v_{\theta }}{r\tan \theta }}{\hat {e}}_{\varphi }\otimes {\hat {e}}_{\varphi }-{\frac {v_{\theta }}{r}}{\hat {e}}_{r}\otimes {\hat {e}}_{\theta }\\&+{\hat {e}}_{\varphi }\otimes (\operatorname {grad} v_{\varphi })-{\frac {v_{\varphi }}{r\tan \theta }}{\hat {e}}_{\theta }\otimes {\hat {e}}_{\varphi }-{\frac {v_{\varphi }}{r}}{\hat {e}}_{r}\otimes {\hat {e}}_{\varphi }\\=&{\begin{pmatrix}{\frac {\partial v_{r}}{\partial r}}&{\frac {1}{r}}{\frac {\partial v_{r}}{\partial \theta }}-{\frac {v_{\theta }}{r}}&{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial v_{r}}{\partial \varphi }}-{\frac {v_{\varphi }}{r}}\\{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial r}}&{\frac {1}{r}}{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {v_{r}}{r}}&{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial \varphi }}-{\frac {v_{\varphi }}{r\tan \theta }}\\{\frac {\partial v_{\varphi }}{\partial r}}&{\frac {1}{r}}{\frac {\partial v_{\varphi }}{\partial \theta }}&{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial v_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\frac {v_{r}}{r}}+{\frac {v_{\theta }}{r\tan \theta }}\end{pmatrix}}_{{\hat {e}}_{r,\theta ,\varphi }\otimes {\hat {e}}_{r,\theta ,\varphi }}\\{\text{mit}}\quad \operatorname {grad} f=&{\frac {\partial f}{\partial r}}{\hat {e}}_{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}{\hat {e}}_{\theta }+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}{\hat {e}}_{\varphi }\,.\end{aligned}}}$

Darstellung in konvektiven Koordinaten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Konvektive Koordinaten sind krummlinige Koordinatensysteme, die an einen Körper gebunden sind und von allen Deformationen, die der Körper erfährt, mitgeführt werden, siehe Bild. Konvektive Koordinatensysteme werden in der Kinematik schlanker oder dünnwandiger Strukturen (z. B. Stäbe oder Schalen) eingesetzt. Auch materielle Vorzugsrichtungen nicht isotroper Materialien, wie z. B. von Holz, können in konvektiven Koordinaten beschrieben werden. Die Geschwindigkeitsgradienten bekommen, in konvektiven Koordinaten ausgedrückt, besonders einfache Darstellungen.

Jedem materiellen Punkt ${\displaystyle {\vec {X}}}$ werden über eine Referenzkonfiguration eineindeutig konvektive Koordinaten ${\displaystyle {\vec {\Theta }}=(\Theta _{1},\Theta _{2},\Theta _{3})}$ zugeordnet. Die Tangentenvektoren

${\displaystyle {\vec {G}}_{i}:={\dfrac {\mathrm {d} {\vec {X}}({\vec {\Theta }})}{\mathrm {d} \Theta _{i}}}\quad {\textsf {bzw.}}\quad {\vec {g}}_{i}:={\dfrac {\mathrm {d} {\vec {\chi }}\left({\vec {X}}({\vec {\Theta }}),t\right)}{\mathrm {d} \Theta _{i}}}={\dfrac {\mathrm {d} {\vec {\chi }}}{\mathrm {d} {\vec {X}}}}\cdot {\dfrac {\mathrm {d} {\vec {X}}}{\mathrm {d} \Theta _{i}}}=\mathbf {F} \cdot {\vec {G}}_{i}}$

bilden dann kovariante Basen im Punkt ${\displaystyle {\vec {X}}}$ bzw. ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {\chi }}({\vec {X}},t)}$. Die Gradienten der konvektiven Koordinaten

${\displaystyle {\vec {G}}^{i}:=\operatorname {GRAD} \Theta _{i}:=\sum _{j=1}^{3}{\dfrac {\mathrm {d} \Theta _{i}}{\mathrm {d} X_{j}}}{\hat {e}}_{j}=:{\frac {\mathrm {d} \Theta _{i}}{\mathrm {d} {\vec {X}}}}}$

bzw.

${\displaystyle {\vec {g}}^{i}:=\operatorname {grad} \Theta _{i}:=\sum _{j=1}^{3}{\frac {\mathrm {d} \Theta _{i}}{\mathrm {d} x_{j}}}{\hat {e}}_{j}=:{\frac {\mathrm {d} \Theta _{i}}{\mathrm {d} {\vec {x}}}}={\frac {\mathrm {d} \Theta _{i}}{\mathrm {d} {\vec {X}}}}\cdot {\frac {\mathrm {d} {\vec {X}}}{\mathrm {d} {\vec {x}}}}={\vec {G}}^{i}\cdot \mathbf {F} ^{-1}=\mathbf {F} ^{\top -1}\cdot {\vec {G}}^{i}}$

formen die kontravarianten Basen, die zu den kovarianten dual sind. In diesen Basissystemen ausgedrückt, bekommt der Deformationsgradient die besonders einfache Form

${\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{3}{\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {G}}^{i}\quad \rightarrow \quad \mathbf {F} ^{-1}=\sum _{i=1}^{3}{\vec {G}}_{i}\otimes {\vec {g}}^{i}\,.}$

Aus der Zeitableitung des Deformationsgradienten und der Zeitableitung der Inversen ergibt sich

${\displaystyle {\dot {\mathbf {F} }}=\sum _{i=1}^{3}{\dot {\vec {g}}}_{i}\otimes {\vec {G}}^{i}\,,\quad (\mathbf {F} ^{-1}){\dot {}}=\sum _{i=1}^{3}{\vec {G}}_{i}\otimes {\dot {\vec {g}}}^{i}\,,}$

denn die Ausgangskonfiguration und die in ihr definierten Basisvektoren hängen nicht von der Zeit ab. Mit diesen Ergebnissen schreibt sich der räumliche Geschwindigkeitsgradient:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {l} =&{\dot {\mathbf {F} }}\cdot \mathbf {F} ^{-1}=\sum _{i=1}^{3}{\dot {\vec {g}}}_{i}\otimes {\vec {g}}^{i}\\=&\sum _{i=1}^{3}{\dot {\vec {g}}}_{i}\otimes {\vec {g}}^{i}-\underbrace {{\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}\left(\sum _{i=1}^{3}{\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {g}}^{i}\right)} _{={\dot {\mathbf {1} }}=\mathbf {0} }=\sum _{i=1}^{3}({\dot {\vec {g}}}_{i}\otimes {\vec {g}}^{i}-{\dot {\vec {g}}}_{i}\otimes {\vec {g}}^{i}-{\vec {g}}_{i}\otimes {\dot {\vec {g}}}^{i})=-\sum _{i=1}^{3}{\vec {g}}_{i}\otimes {\dot {\vec {g}}}^{i}\,,\end{aligned}}}$

worin das Verschwinden der Zeitableitung des Einheitstensors 1 ausgenutzt wurde. Die Geschwindigkeitsgradienten bilden die Basisvektoren auf ihre Raten ab:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\vec {g}}}_{i}=&{\dot {\mathbf {F} }}\cdot {\vec {G}}_{i}\,,\quad {\dot {\vec {g}}}^{i}=(\mathbf {F} ^{\top -1}){\dot {}}\cdot {\vec {G}}^{i}\\{\dot {\vec {g}}}_{i}=&\mathbf {l} \cdot {\vec {g}}_{i}\,,\quad {\dot {\vec {g}}}^{i}=-\mathbf {l} ^{\top }\cdot {\vec {g}}^{i}.\end{aligned}}}$

Der symmetrische Anteil des räumlichen Geschwindigkeitsgradienten ist der Verzerrungsgeschwindigkeitstensor:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {d} ={\dfrac {1}{2}}(\mathbf {l+l} ^{\top })=&{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{3}{\dot {\vec {g}}}_{j}\otimes {\vec {g}}^{j}+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{3}{\vec {g}}^{i}\otimes {\dot {\vec {g}}}_{i}={\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{3}\left({\vec {g}}_{i}\cdot {\dot {\vec {g}}}_{j}+{\dot {\vec {g}}}_{i}\cdot {\vec {g}}_{j}\right){\vec {g}}^{i}\otimes {\vec {g}}^{j}\\=&-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{3}{\vec {g}}_{i}\otimes {\dot {\vec {g}}}^{i}-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{3}{\dot {\vec {g}}}^{j}\otimes {\vec {g}}_{j}=-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{3}\left({\dot {\vec {g}}}^{i}\cdot {\vec {g}}^{j}+{\vec {g}}^{i}\cdot {\dot {\vec {g}}}^{j}\right){\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j}\,.\end{aligned}}}$

Mit den Metrikkoeffizienten ${\displaystyle g_{ij}:={\vec {g}}_{i}\cdot {\vec {g}}_{j}}$ und ${\displaystyle g^{ij}:={\vec {g}}^{i}\cdot {\vec {g}}^{j}}$ sowie der Produktregel schreibt sich das:

${\displaystyle \mathbf {d} ={\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{3}{\dot {g}}_{ij}{\vec {g}}^{i}\otimes {\vec {g}}^{j}=-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{3}{\dot {g}}^{ij}{\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j}\,.}$

Die Frobenius-Skalarprodukte ${\displaystyle {\vec {g}}_{i}\cdot {\vec {g}}_{j}}$ bleiben bei einer Rotation oder Translation unverändert, weswegen der Verzerrungsgeschwindigkeitstensor genau dann verschwindet, nämlich bei Starrkörperbewegungen.

Geometrische Linearisierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Festkörpermechanik treten in vielen Anwendungsbereichen nur kleine Deformationen auf. In diesem Fall erfahren die Gleichungen der Kontinuumsmechanik eine erhebliche Vereinfachung durch geometrische Linearisierung. Dazu werden die Verschiebungen ${\displaystyle {\vec {u}}({\vec {X}},t)}$ betrachtet, die ein materieller Punkt ${\displaystyle {\vec {X}}}$ im Laufe seiner Bewegung erfährt. Weil ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {\chi }}({\vec {X}},t)}$ die aktuelle Position des Punktes ist, der in der Ausgangskonfiguration die Position ${\displaystyle {\vec {X}}}$ hatte, ist die Verschiebung die Differenz

${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {\chi }}({\vec {X}},t)-{\vec {X}}\,.}$

Der materielle Gradient der Verschiebungen ist der Tensor

${\displaystyle \mathbf {H} =\mathrm {GRAD} \,{\vec {u}}=\mathrm {GRAD} \,{\vec {\chi }}-\mathrm {GRAD} \,{\vec {X}}=\mathbf {F} -\mathbf {1} \,.}$

und wird Verschiebungsgradient genannt. Er unterscheidet sich vom Deformationsgradient nur durch den Einheitstensor 1. Wenn ${\displaystyle L_{0}}$ eine charakteristische Abmessung des Körpers ist, dann wird bei kleinen Verschiebungen sowohl ${\displaystyle |{\vec {u}}|\ll L_{0}}$ als auch ${\displaystyle \parallel \mathbf {H} \parallel \ll 1}$ und hier ${\displaystyle \parallel {\dot {\mathbf {H} }}\parallel \ll 1/s}$ gefordert, so dass alle Terme, die höhere Potenzen von ${\displaystyle {\vec {u}},\,\mathbf {H} }$ oder ${\displaystyle {\dot {\mathbf {H} }}}$ beinhalten, vernachlässigt werden können. Dann gilt:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {l} =&{\dot {\mathbf {F} }}\cdot \mathbf {F} ^{-1}\approx {\dot {\mathbf {H} }}\cdot (\mathbf {1-H} )\approx {\dot {\mathbf {H} }}={\dot {\mathbf {F} }}\\\mathbf {d} \approx &{\frac {1}{2}}({\dot {\mathbf {H} }}+{\dot {\mathbf {H} }}^{\top })={\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}\\\mathbf {w} \approx &{\frac {1}{2}}({\dot {\mathbf {H} }}-{\dot {\mathbf {H} }}^{\top })={\dot {\mathbf {R} }}_{L}\,.\end{aligned}}}$

Der Tensor ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$ ist der linearisierte Verzerrungstensor und R_L ist der linearisierte Rotationstensor. Eine Unterscheidung des materiellen und räumlichen Geschwindigkeitsgradienten ist bei kleinen Deformationen demnach nicht nötig.

Transformationseigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Linien-, Flächen- und Volumenelemente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der räumliche Geschwindigkeitsgradient transformiert in der Momentankonfiguration die Linien-, Flächen- und Volumenelemente in ihre Raten:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathrm {d} {\vec {x}}){\dot {}}&=\mathbf {l} \cdot \mathrm {d} {\vec {x}}\\(\mathrm {d} {\vec {a}}){\dot {}}&=(\operatorname {Sp} (\mathbf {l} )\mathbf {1} -\mathbf {l} ^{\top })\cdot \mathrm {d} {\vec {a}}\\(\mathrm {d} v){\dot {}}&=\operatorname {Sp} (\mathbf {l} )\mathrm {d} v=\operatorname {div} ({\vec {v}})\,\mathrm {d} v\,.\end{aligned}}}$

Darin ist ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {a}}}$ (für englisch area „Fläche“) das vektorielle Oberflächenelement und ${\displaystyle \mathrm {d} v}$ (für englisch volume „Volumen“) das Volumenelement. Der Operator ${\displaystyle \operatorname {Sp} }$ berechnet die Spur seines Argumentes, die im Fall des Geschwindigkeitsgradienten die Divergenz des Geschwindigkeitsfeldes ist:

${\displaystyle \operatorname {Sp} (\mathbf {l} )=\operatorname {Sp} (\mathbf {d} )=\operatorname {div} ({\vec {v}})\,.}$

Wenn die Spur des räumlichen Geschwindigkeitsgradienten l oder – gleichbedeutend – des räumlichen Verzerrungsgeschwindigkeitstensors d oder die Divergenz des Geschwindigkeitsfeldes verschwindet, dann ist die Bewegung lokal volumenerhaltend. Bei einer Starrkörperbewegung ist, wie unten nachgewiesen, Sp(l)=Sp(w)=0, was die Konstanz des Volumens bei einer solchen Bewegung bestätigt. Eine positive Divergenz bedeutet Expansion, was namensgebend für die Divergenz ist (lateinisch divergere „auseinanderstreben“) und was in der Realität mit einer Abnahme der Dichte einher geht.

Dehn- und Schergeschwindigkeiten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei der Verformung eines Körpers ändern sich in den deformierten Stellen die Abstände seiner Partikel und/oder die Winkel zwischen Verbindungslinien seiner Partikel. Mathematisch werden die Tangentenvektoren an solche Verbindungslinien betrachtet, siehe Abbildung rechts. Ändern diese Tangentenvektoren ihre Längen oder die Winkel untereinander, was im gleichen Maß geschieht wie die Verbindungslinien gedehnt oder geschert werden, dann ändern sich ihre Skalarprodukte und es liegen Deformationen vor. Die Änderungsrate dieser Skalarprodukte bemisst der räumliche Verzerrungsgeschwindigkeitstensor d:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}(\mathrm {d} {\vec {x}}\cdot \mathrm {d} {\vec {y}})=(\mathbf {l} \cdot \mathrm {d} {\vec {x}})\cdot \mathrm {d} {\vec {y}}+\mathrm {d} {\vec {x}}\cdot (\mathbf {l} \cdot \mathrm {d} {\vec {y}})=2\mathrm {d} {\vec {x}}\cdot \mathbf {d} \cdot \mathrm {d} {\vec {y}}.}$

Die Dehnrate in einer bestimmten Richtung ${\displaystyle {\hat {e}}=\mathrm {d} {\vec {x}}/|\mathrm {d} {\vec {x}}|}$ berechnet sich aus^{[F 2]}:

${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}={\frac {|\mathrm {d} {\vec {x}}|{\dot {}}}{|\mathrm {d} {\vec {x}}|}}={\frac {{\frac {\mathrm {d} {\vec {x}}}{|\mathrm {d} {\vec {x}}|}}\cdot (\mathrm {d} {\vec {x}}){\dot {}}}{|\mathrm {d} {\vec {x}}|}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {x}}\cdot \mathbf {l} \cdot \mathrm {d} {\vec {x}}}{|\mathrm {d} {\vec {x}}|^{2}}}={\hat {e}}\cdot (\mathbf {d+w} )\cdot {\hat {e}}={\hat {e}}\cdot \mathbf {d} \cdot {\hat {e}}={\frac {\partial v}{\partial x}}\,,}$

wo die Geschwindigkeit v und die Koordinate x in ${\displaystyle {\hat {e}}}$-Richtung zählen. Die Schergeschwindigkeit ergibt sich im Zustand ${\displaystyle \gamma =0}$ aus

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}(\mathrm {d} {\vec {x}}\cdot \mathrm {d} {\vec {y}})=&{\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}(|\mathrm {d} {\vec {x}}|\,|\mathrm {d} {\vec {y}}|\sin(\gamma ))={\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}(|\mathrm {d} {\vec {x}}|\,|\mathrm {d} {\vec {y}}|)\sin(\gamma )+|\mathrm {d} {\vec {x}}|\,|\mathrm {d} {\vec {y}}|\cos(\gamma ){\dot {\gamma }}\\\gamma =0\rightarrow &{\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}(\mathrm {d} {\vec {x}}\cdot \mathrm {d} {\vec {y}})=2\mathrm {d} {\vec {x}}\cdot \mathbf {d} \cdot \mathrm {d} {\vec {y}}=|\mathrm {d} {\vec {x}}|\,|\mathrm {d} {\vec {y}}|\,{\dot {\gamma }}\\\rightarrow {\dot {\gamma }}=&2{\frac {\mathrm {d} {\vec {x}}}{|\mathrm {d} {\vec {x}}|}}\cdot \mathbf {d} \cdot {\frac {\mathrm {d} {\vec {y}}}{|\mathrm {d} {\vec {y}}|}}={\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}\,.\end{aligned}}}$

Hier zählen die Geschwindigkeit ${\displaystyle v_{x}}$ sowie die Koordinate x in ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {x}}}$-Richtung und die Geschwindigkeit ${\displaystyle v_{y}}$ sowie die Koordinate y in ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {y}}}$-Richtung.

Der Verzerrungsgeschwindigkeitstensor d legt also die Dehn- und Scherraten in der Momentankonfiguration fest.

Eigenvektoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind die im vorigen Abschnitt betrachteten Tangentenvektoren Eigenvektoren des Geschwindigkeitsgradienten oder des Verzerrungsgeschwindigkeitstensors, dann hat das bemerkenswerte Konsequenzen. Für einen solchen Eigenvektor des Geschwindigkeitsgradienten gilt:

${\displaystyle \mathbf {l} \cdot {\hat {e}}=\lambda {\hat {e}}\,.}$

Der Faktor ${\displaystyle \lambda }$ ist der zum Eigenvektor ${\displaystyle {\hat {e}}}$ gehörende Eigenwert. Die Frobeniusnorm der Eigenvektoren ist unbestimmt, weswegen ihr Betrag hier auf eins festgelegt wird, was im Hut über dem e zum Ausdruck kommt. Die Zeitableitung eines Tangentenvektors ${\displaystyle {\hat {e}}=\mathrm {d} {\vec {x}}/|\mathrm {d} {\vec {x}}|}$ der Länge eins in der Momentankonfiguration liefert

${\displaystyle {\dot {\hat {e}}}={\frac {(\mathrm {d} {\vec {x}}){\dot {}}}{|\mathrm {d} {\vec {x}}|}}-{\frac {\mathrm {d} {\vec {x}}}{|\mathrm {d} {\vec {x}}|^{2}}}{\frac {\mathrm {d} {\vec {x}}\cdot (\mathrm {d} {\vec {x}}){\dot {}}}{|\mathrm {d} {\vec {x}}|}}=\mathbf {l} \cdot {\frac {\mathrm {d} {\vec {x}}}{|\mathrm {d} {\vec {x}}|}}-\left({\frac {\mathrm {d} {\vec {x}}}{|\mathrm {d} {\vec {x}}|}}\cdot \mathbf {l} \cdot {\frac {\mathrm {d} {\vec {x}}}{|\mathrm {d} {\vec {x}}|}}\right){\frac {\mathrm {d} {\vec {x}}}{|\mathrm {d} {\vec {x}}|}}=\mathbf {l} \cdot {\hat {e}}-({\hat {e}}\cdot \mathbf {l} \cdot {\hat {e}}){\hat {e}}}$

In Richtung der Eigenvektoren des räumlichen Geschwindigkeitsgradienten verschwindet diese Rate^{[F 3]}. Einsetzen des Verzerrungsgeschwindigkeitstensors und des Wirbeltensors ergibt weiterhin^{[F 2]}:

${\displaystyle {\dot {\hat {e}}}=(\mathbf {d+w} )\cdot {\hat {e}}-({\hat {e}}\cdot (\mathbf {d+w} )\cdot {\hat {e}}){\hat {e}}=\mathbf {w} \cdot {\hat {e}}+\mathbf {d} \cdot {\hat {e}}-({\hat {e}}\cdot \mathbf {d} \cdot {\hat {e}}){\hat {e}}\,.}$