Gronwallsche Ungleichung

Die gronwallsche Ungleichung ist eine Ungleichung, die es erlaubt, aus der impliziten Information einer Integralungleichung explizite Schranken herzuleiten. Des Weiteren ist sie ein wichtiges Hilfsmittel zum Beweis von Existenz- und Einschließungssätzen für Lösungen von Differential- und Integralgleichungen. Sie ist nach Thomas Hakon Grönwall benannt, der sie im Jahr 1919 bewies und in einer wissenschaftlichen Veröffentlichung beschrieb.

Gegeben seien ein Intervall ${\displaystyle \ I:=[a,b]}$ sowie stetige Funktionen ${\displaystyle u,\alpha :I\rightarrow \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle \beta :I\rightarrow [0,\infty )}$. Weiter gelte die Integralungleichung

${\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{a}^{t}\beta (s)u(s){\rm {d}}s}$

für alle ${\displaystyle t\in I}$. Dann gilt die gronwallsche Ungleichung

${\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)e^{\int _{s}^{t}\beta (\sigma ){\rm {d}}\sigma }{\rm {d}}s}$

für alle ${\displaystyle t\in I}$.

Man beachte, dass die Funktion ${\displaystyle u}$ in der vorausgesetzten Ungleichung noch auf beiden Seiten vorkommt, in der Schlussfolgerung aber nur noch auf der linken Seite, das heißt, man erhält eine echte Abschätzung für ${\displaystyle u}$.

Ist ${\displaystyle \alpha }$ monoton steigend so vereinfacht sich die Abschätzung zu

${\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)e^{\int _{a}^{t}\beta (s){\rm {d}}s}\ .}$

Insbesondere im Fall konstanter Funktionen ${\displaystyle \alpha \equiv A}$ und ${\displaystyle \beta \equiv B\geq 0}$ lautet die gronwallsche Ungleichung

${\displaystyle u(t)\leq A+\int _{a}^{t}ABe^{B(t-s)}{\rm {d}}s=Ae^{B(t-a)}\ .}$

Es sei ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$, ${\displaystyle G\subset \mathbb {R} \times \mathbb {K} ^{n}}$, ${\displaystyle (a,y_{0})\in G}$ und ${\displaystyle F\colon G\rightarrow \mathbb {K} ^{n}}$ stetig sowie lokal Lipschitz-stetig bezüglich der zweiten Variablen. Dann besitzt das Anfangswertproblem ${\displaystyle \ y'=F(x,y),y(a)=y_{0}}$ genau eine Lösung ${\displaystyle y\in C^{1}([a,b);\mathbb {K} ^{n})}$.

Seien ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$, ${\displaystyle G\subset [a,b)\times \mathbb {K} ^{n}}$, ${\displaystyle (a,y_{0})\in G}$, ${\displaystyle b<\infty }$ und ${\displaystyle F=F(x,y):G\rightarrow \mathbb {K} ^{n}}$ stetig. Weiter gebe es Funktionen ${\displaystyle \alpha ,\beta \in C([a,b);[0,\infty ))\cap L^{1}([a,b))}$ derart, dass

${\displaystyle \|F(x,y)\|\leq \alpha (x)+\beta (x)\|y\|}$

für alle ${\displaystyle (x,y)\in G}$. Dann ist jede Lösung ${\displaystyle y}$ von

${\displaystyle y'=F(x,y)\ ,\ y(a)=y_{0}}$

auf ${\displaystyle [a,b)}$ beschränkt.

Es gilt

${\displaystyle \|y(x)\|\leq \|y_{0}\|+\int _{a}^{x}\|F(s,y(s))\|{\rm {d}}s\leq \|y_{0}\|+\int _{a}^{x}\alpha (s){\rm {d}}s+\int _{a}^{x}\beta (s)\|y(s)\|{\rm {d}}s\ .}$

Die gronwallsche Ungleichung impliziert

${\displaystyle \|y(x)\|\leq \|y_{0}\|+\int _{a}^{x}\alpha (s){\rm {d}}s+\int _{a}^{x}\left(\|y_{0}\|+\int _{a}^{s}\alpha (\sigma ){\rm {d}}\sigma \right)\beta (s)e^{\int _{s}^{x}\beta (\sigma ){\rm {d}}\sigma }{\rm {d}}s\ ,}$

und daraus ergibt sich folgende Abschätzung gegen eine Konstante:

${\displaystyle \|y(x)\|\leq \|y_{0}\|+\int _{a}^{b}\alpha (s){\rm {d}}s+\int _{a}^{b}\left(\|y_{0}\|+\int _{a}^{b}\alpha (\sigma ){\rm {d}}\sigma \right)\beta (s)e^{\int _{a}^{b}\beta (\sigma ){\rm {d}}\sigma }{\rm {d}}s\ .}$

• Herbert Amann: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 2. Auflage. de Gruyter Lehrbücher, Berlin / New York 1995, ISBN 3-11-014582-0.
• Gerald Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems (= Graduate Studies in Mathematics. Band 140). American Mathematical Society, Providence 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0 (mat.univie.ac.at). 

Wikibooks: Beweis der gronwallschen Ungleichung – Lern- und Lehrmaterialien

Wikibooks: Beweis des Eindeutigkeitssatzes für lokal Lipschitz-stetige Differentialgleichung – Lern- und Lehrmaterialien

• Gronwall’s lemma. In: PlanetMath. (englisch)