Gyromagnetisches Verhältnis

Das gyromagnetische Verhältnis (auch: magnetogyrisches Verhältnis^[1]) ${\displaystyle \gamma }$ bezeichnet den Proportionalitätsfaktor zwischen dem Drehimpuls (oder Spin) ${\displaystyle {\vec {X}}}$ eines Teilchens und dem dazugehörigen magnetischen Moment ${\displaystyle {\vec {\mu }}_{X}}$

${\displaystyle {\vec {\mu }}_{X}=\gamma _{X}{\vec {X}}}$.

Daher folgt: ${\displaystyle \gamma _{X}={\frac {|{\vec {\mu }}_{X}|}{|{\vec {X}}|}}}$. Die SI-Einheit des gyromagnetischen Verhältnisses ist rad·s⁻¹·T⁻¹.

Das gyromagnetische Verhältnis eines geladenen Teilchens ist das Produkt seines (dimensionslosen) gyromagnetischen Faktors ${\displaystyle g}$ und seines Magnetons ${\displaystyle \mu }$, bezogen auf die reduzierte Planck-Konstante ${\displaystyle \hbar }$:

${\displaystyle \gamma =g\,{\frac {\mu }{\hbar }}}$

mit

• ${\displaystyle \mu ={\frac {q}{2\,m}}\,\hbar }$ dem Magneton des Teilchens
• ${\displaystyle q}$: elektrische Ladung
• ${\displaystyle m}$: Teilchenmasse.

Das gyromagnetische Verhältnis kann bestimmt werden unter Ausnutzung des Barnett-Effektes und des Einstein-de-Haas-Effektes. In vielen anderen Experimenten, wie z. B. ferromagnetische Resonanz oder Elektronenspinresonanz, kann der Wert von ${\displaystyle \gamma }$ deutlich abweichen – in diesem Fall spricht man vom spektroskopischen Splitting-Faktor bzw. -Verhältnis.

γ_ℓ für reinen Bahndrehimpuls eines Elektrons[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wie im Artikel Magnetisches Moment ausgeführt, gilt für das magnetische Moment des Bahndrehimpulses eines Elektrons:

${\displaystyle {\vec {\mu _{\ell }}}=-{\frac {e}{2m_{e}}}{\vec {\ell }}}$.

Mit

• ${\displaystyle -e}$ der Ladung des Elektrons
• ${\displaystyle m_{e}}$ seiner Masse.

Daher folgt:

${\displaystyle \gamma _{\ell }={\frac {|{\vec {\mu _{\ell }}}|}{|{\vec {\ell }}|}}={\frac {e}{2m_{e}}}={\frac {g_{\ell }\mu _{\mathrm {B} }}{\hbar }}}$.

Mit

• ${\displaystyle \mu _{\mathrm {B} }}$ dem Bohrschen Magneton. Der g-Faktor für die Bahnbewegung ist also ${\displaystyle g_{\ell }=1.}$

γ_S für den Spin eines Teilchens[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Betrachtet man ein Teilchen mit Spin ${\displaystyle {\vec {S}}}$, so gilt:

${\displaystyle {\vec {\mu }}_{S}=\gamma _{S}{\vec {S}}}$, beziehungsweise ${\displaystyle \gamma _{S}={\frac {|{\vec {\mu _{S}}}|}{|{\vec {S}}|}}}$

Der Wert dieser Naturkonstante ist für jede Teilchenart charakteristisch. Nach derzeitiger Messgenauigkeit beträgt sie

• für das freie Proton:

${\displaystyle \gamma _{\text{Proton}}=2{,}675\,221\,8744(11)\cdot 10^{8}\ \mathrm {rad} \cdot \mathrm {s} ^{-1}\,\mathrm {T} ^{-1}\,}$ ^[2]

• für das Elektron:

${\displaystyle \gamma _{\text{Elektron}}=1{,}760\,859\,630\,23(53)\cdot 10^{11}\ \mathrm {rad} \cdot \mathrm {s} ^{-1}\,\mathrm {T} ^{-1}\,}$ ^[3]

dabei geben die eingeklammerten Ziffern jeweils die geschätzte Standardabweichung für den Mittelwert an, der den beiden letzten Ziffern vor der Klammer entspricht.

Der g-Faktor für Spinmagnetismus ist beim freien Elektron mit 2,002 319 ... ungefähr gleich 2. Beim freien Proton dagegen gilt Analoges keineswegs: Das magnetische Moment des Protons liegt zwar der Größenordnung nach bei dem sog. „Kernmagneton“ (das wäre der Wert ${\displaystyle |e|\hbar /(2m_{\mathrm {Proton} })\,}$), jedoch beträgt es ein krummzahliges Vielfaches dieses Wertes, genauer: das 2,79-fache. Auch das Neutron weist ein magnetisches Moment auf, obwohl es als ganzes elektrisch neutral ist. Sein magnetisches Moment ist das −1.91-fache des Kernmagnetons und zeigt also entgegengesetzt zu demjenigen des Protons. Es lässt sich erklären durch die Substruktur des Neutrons.

Die elektronischen g-Faktoren der ferromagnetischen Metalle Eisen, Kobalt und Nickel liegen nahe bei 2 (mit Abweichungen von nur etwa 10 %), d. h., dass der Magnetismus dieser Systeme überwiegend Spinmagnetismus ist mit nur einem geringen Bahnanteil.

Gyromagnetische Verhältnisse von Atomkernen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Auch für Kerne kann dieses Verhältnis gemessen und angegeben werden. In der folgenden Tabelle sind einige Werte angegeben.^[4][5]

Kern	${\displaystyle \gamma _{n}}$ in 107 rad·s−1·T−1	${\displaystyle \gamma _{n}/2\pi }$ in MHz·T−1
1H	+26,752[6]	+42,577[7]
2H	0+4,1065	0+6,536
3He	−20,3789	−32,434
7Li	+10,3962	+16,546
13C	0+6,7262	+10,705
14N	0+1,9331	0+3,077
15N	0−2,7116	0−4,316
17O	0−3,6264	0−5,772
19F	+25,1662	+40,053
23Na	0+7,0761	+11,262
31P	+10,8291	+17,235
129Xe	0−7,3997	−11,777

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

• Larmorfrequenz

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

• Horst Stöcker: Taschenbuch der Physik. 4. Auflage, Verlag Harry Deutsch, Frankfurt am Main, 2000, ISBN 3-8171-1628-4.
• Hermann Haken, Hans Christoph Wolf: Atom- und Quantenphysik. 8. Auflage, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 2004, S. 194 ff, ISBN 3-540-02621-5.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

1. ↑ Manfred Hesse, Herbert Meier, Bernd Zeeh: Spektroskopische Methoden in der organischen Chemie. 7. Auflage, Georg Thieme Verlag, Stuttgart, 2005, ISBN 3-13-576107-X
2. ↑ CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 16. Juli 2019.  Wert für ${\displaystyle \gamma _{p}}$. Die eingeklammerten Ziffern bezeichnen die Unsicherheit in den letzten Stellen des Wertes, diese Unsicherheit ist als geschätzte Standardabweichung des angegebenen Zahlenwertes vom tatsächlichen Wert angegeben.
3. ↑ CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 16. Juli 2019.  Wert für ${\displaystyle \gamma _{e}}$. Die eingeklammerten Ziffern bezeichnen die Unsicherheit in den letzten Stellen des Wertes, diese Unsicherheit ist als geschätzte Standardabweichung des angegebenen Zahlenwertes vom tatsächlichen Wert angegeben.
4. ↑ M A Bernstein, K F King and X J Zhou: Handbook of MRI Pulse Sequences. Elsevier Academic Press, San Diego 2004, ISBN 0-12-092861-2, S. 960. 
5. ↑ R C Weast, M J Astle (Hrsg.): Handbook of Chemistry and Physics. CRC Press, Boca Raton 1982, ISBN 0-8493-0463-6, S. E66. 
6. ↑ proton gyromagnetic ratio. NIST, 2019; abgerufen im 1. Januar 1. 
7. ↑ proton gyromagnetic ratio over 2 pi. NIST, 2019; abgerufen im 1. Januar 1.