Helmholtz-Gleichung

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Die Helmholtz-Gleichung ist eine partielle Differentialgleichung, die Hermann von Helmholtz im Rahmen einer Studie über Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden[1] 1860 untersuchte, in einer Zeit, in der er sich auch mit heute sogenannten Helmholtz-Resonatoren befasste. Die Gleichung lautet:

in einem Gebiet mit vorgegebenen Randbedingungen auf dem Rand . Darin ist der Laplace-Operator, die Lösungsfunktion (Eigenfunktion) und der Eigenwert. Die Gleichung ist ein kontinuierliches Analogon zum diskreten Eigenwertproblem. In der Regel wird die Gleichung von unendlich vielen Eigenwerten und zugehörigen Eigenfunktionen gelöst.

Die Helmholtz-Gleichung ist eine homogene partielle Differentialgleichung (PDGL) zweiter Ordnung aus der Klasse der elliptischen PDGL. Sie ergibt sich z. B. aus der Wellengleichung nach Trennung der Variablen, siehe #Reduktion von partiellen Differentialgleichungen auf die Helmholtz-Gleichung. Im eindimensionalen Fall ist die Gleichung vom Typ einer gewöhnlichen Differentialgleichung.

Im Fall entsteht die Laplace-Gleichung, die hier nur am Rand behandelt wird.

Reduktion von partiellen Differentialgleichungen auf die Helmholtz-Gleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wie eingangs angedeutet, können durch Trennung der Veränderlichen einige in der Physik vorkommende partielle Differentialgleichungen auf die Helmholtz-Gleichung und eine Gewöhnliche Differentialgleichung in der Zeit zurückgeführt werden:[2]

  • Diffusionsgleichung ,
  • Ungedämpfte Wellengleichungen des Kontinuums oder
  • Gedämpfte Wellengleichungen , und die
  • Leitungsgleichung .

Dazu wird der Separationsansatz mit einer nur vom Ort abhängigen Funktion und einer nur von der Zeit abhängigen Funktion eingesetzt.

Bei der Diffusionsgleichung ergibt sich aus dem Ansatz

wo der aufgesetzte Punkt die Zeitableitung symbolisiert. Weil die linke Seite nur vom Ort und die rechte Seite nur von der Zeit abhängt, müssen auf beiden Seiten Konstanten stehen:

Somit ist die Diffusionsgleichung überführt in die Helmholtz-Gleichung für und eine Gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung in der Zeit für .

In gleicher Weise entsteht aus der ungedämpften Wellengleichung

,

und aus der gedämpften

.

Bei der Leitungsgleichung kommt noch der Term hinzu mit dem Ergebnis

.

Die Lösung der Helmholtz-Gleichung hängt vom Ort und den Randbedingungen ab, wohingegen die Differentialgleichung für T bei jedem Aufgabentyp immer dieselbe ist.

Die Lösung der Diffusionsgleichung ist immer von der Form

,

wo ex die e-Funktion ist, sodass die Funktion exponentiell mit der Zeit abnimmt. Die ungedämpfte Wellengleichung setzt sich immer aus dem Sinus und Cosinus zusammen, beispielsweise:

.

So ergibt sich die Schwingung des geraden Stabes, siehe Navier-Cauchy-Gleichungen. Bei der gedämpften Schwingung lautet die Lösung

mit ,

wo drei Fälle zu unterscheiden sind:

  • Bei überkritischer Dämpfung mit hat die Lösung die gleiche Gestalt wie beim Diffusionsproblem, sodass die Funktion exponentiell mit der Zeit gegen null geht.
  • Bei unterkritischer Dämpfung ist , die Lösung eine exponentiell mit der Zeit abklingende Welle, und die lässt sich mit Konstanten A und B beschreiben mit
und
  • Bei kritischer Dämpfung wird , sodass die Lösung
lautet, die schnell mit der Zeit abnimmt.

Die Laplace-Gleichung ist der Spezialfall und die T-Funktion wird nicht benötigt. Die Poisson-Gleichung kann durch Substitution auf die Laplace und Helmholtz-Gleichung zurückgeführt werden, wenn gefunden wird, sodass ist.[2]

Separation der Helmholtz-Gleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Wahl eines orthogonalen Koordinatensystems, in dem die Randbedingungen eine einfache Form annehmen, erleichtert die Lösung der Helmholtz-Gleichung.[2]:1 Die Lösung wird weiter erleichtert, wenn eine Trennung der Variablen gelingt, was von der Stäckel-Matrix abhängt, die mit den Koordinaten assoziiert ist:

In jeder ihrer Zeilen stehen Ansatzfunktionen nur einer Variablen oder Konstanten. Die Stäckel-Determinante ist die Determinante

mit den Minoren

Die Notwendige und hinreichende Bedingung für eine einfache Separierbarkeit der skalaren Helmholtz-Gleichung ist

Darin sind

  • Metrikkoeffizienten, die das Betragsquadrat der kovarianten Basisvektoren des Koordinatensystems sind,
  • , und
  • irgendwelche Funktionen nur einer Koordinate.
Koordinatenflächen der parabolischen Koordinaten. Das rote Paraboloid entspricht μ=2, das blaue ν=1 und die gelbe Halbebene ψ=−60°.

Die erste Bedingung bedeutet, dass es möglich sein muss, eine Stäckel-Determinante zu bilden, die in der angegebenen Weise mit den Metrikkoeffizienten zusammenhängt. Die zweite Bedingung besagt, dass ein separierbares Produkt ist. Wenn das gewährleistet ist, dann bestimmen sich die Faktoren für die Lösungsfunktion und die Trennungskonstanten aus

In zylindrischen Koordinatensystemen ist die Zylinderachse als z-Koordinate zu nehmen. In sphärischen Koordinatensystemen ist die Symmetrieachse die z-Achse und der Drehwinkel um sie ist .

Als Beispiel diene die Helmholtz-Gleichung in parabolischen Koordinaten[2]:6 mit

siehe Bild. Darin ist atan2 eine Umkehrfunktion des Tangens. Die kovarianten Basisvektoren sind

aus denen sich die Metrik-Koeffizienten

ergeben. Eine mögliche Stäckel-Matrix ist hier

mit der Determinante und den Minoren

Die #Bedingungen

sind erfüllt und

stimmt mit . Die Funktionen, die ergeben, berechnen sich aus den #Differentialgleichungen

Diese werden mit Exponentialfunktionen erfüllt:

Ebene Wellen in viskositätsfreien Fluiden[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Strömungsbild mit Wirbeln. Rotgelbe Gebiete werden gegen den Uhrzeigersinn, grünblaue im Uhrzeigersinn umströmt

Die Helmholtz-Gleichung wird in der xy-Ebene von Wellenfunktionen der Form mit beliebigem Wellenvektor und beliebiger Amplitude gelöst.[3] Diese Lösung hat im Fall der Stromfunktion eine anschauliche Bedeutung: Eine Überlagerung von solchen Wellen mit , beliebiger Konstante c und sowie gleichen Amplituden ergibt parallele Streifen, periodisch rechts und links drehende Wirbel oder bei kompliziertere Strukturen, die eine -zählige Rotationssymmetrie aufweisen. Erhält jede der summierten Wellen eine eigene, zufällig gewählte Amplitude , dann können sich unregelmäßige Wirbelstrukturen ergeben, siehe Bild.

Die Funktionen „sin“ und „cos“ berechnen den Sinus und Cosinus. Die allgemeine Struktur dieser Lösung ist

mit

Beispiel: Partikuläre Lösung der inhomogenen Maxwellgleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Anwendung aus der Physik ist z. B. die Lösung der inhomogenen Maxwellgleichungen (Maxwellgleichungen mit Strömen und Ladungen). Aus diesen folgen in Gaußschen Einheiten mit der Lorenz-Eichung

die inhomogenen Wellengleichungen für das elektrische Skalarpotential sowie für das magnetische Vektorpotential :

(hier für die einzelnen Komponenten mit: )

Exemplarisch wird nun die Lösung für durchgeführt, die Herleitung für geht analog.

Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichungen ist die Linearkombination der allgemeinen Lösung der dazugehörigen homogenen DGL sowie einer partikulären Lösung der inhomogenen DGL:

Die Lösung der homogenen DGL sind die elektromagnetischen Wellen; wir beschränken uns hier auf die Herleitung einer partikulären Lösung.

Um die Wellengleichung auf die Helmholtz-Gleichung zurückzuführen, betrachten wir die Fourier-Transformation von und bezüglich :

Einsetzen in die Wellengleichung liefert:

Beide Integranden müssen gleich sein, da die Fourier-Transformation bijektiv ist:

Für die homogene Wellengleichung erkennen wir mit die Helmholtz-Gleichung wieder.

Zur Lösung der inhomogenen Gleichung kann eine Greensche Funktion verwendet werden, welche die Gleichung

erfüllt.

Diese lautet:

Physikalisch beschreibt diese Funktion eine Kugelwelle.

Damit erhalten wir für die gesamte Ladungsverteilung:

Dieses Ergebnis setzen wir in die Fourierdarstellung von ein und erhalten

Mit folgt:

Dies ist die gesuchte partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung. Für folgt analog:

Die physikalische Bedeutung ist, dass das zur Zeit am Ort beobachtete Potential von Ladungen bzw. Strömen zur Zeit am Ort verursacht wurde.

Diskussion: Retardierte und avancierte Lösung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Noch steht das Vorzeichen im Argument nicht fest. Physikalisch scheint aber plausibel, dass die zeitliche Änderung einer Ladungsverteilung bei erst zu einem späteren Zeitpunkt bei beobachtet werden kann, da sich elektromagnetische Wellen mit der (konstanten) Lichtgeschwindigkeit ausbreiten. Daher wählen wir das Minuszeichen als physikalisch praktikable Lösung:

Man nennt das Potential bei Wahl des Minuszeichens auch retardiertes Potential. Wählt man das Pluszeichen, so spricht man vom avancierten Potential.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Richard Courant, David Hilbert: Methoden der mathematischen Physik I (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band XII). Julius Springer, Berlin 1924 (450 S., online). Siehe Kapitel V Schwingungen und Eigenwertprobleme der mathematischen Physik ab S. 221. Der hier behandelte Gleichungstyp wird explizit u. a. im Abschnitt § 7 dieses Kapitels unter der Überschrift Die schwingende Membran ab S. 245 behandelt. Der Name Helmholtz-Gleichung tritt nicht auf.
  • Richard Courant, David Hilbert: Methoden der mathematischen Physik II (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band XLVIII). Julius Springer, Berlin 1937 (549 S., online). In diesem Band werden praktische Lösungsmethoden von Gleichungen auch dieses Typs erläutert. Insbesondere sei auf das Kapitel VII Lösungen der Rand- und Eigenwertprobleme auf Grund der Variationsrechnung ab S. 471 verwiesen.

Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Hermann von Helmholtz: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Band 57, Nr. 1, 1860, S. 1–72 (deutschestextarchiv.de).
  2. a b c d P. Moon, D.E. Spencer: Field Theory Handbook. Including Coordinate Systems, Differential Equations and Their Solutions. 2. Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1971, ISBN 3-540-02732-7, S. 3 ff.
  3. M. Bestehorn: Hydrodynamik und Strukturbildung. Springer, Berlin, Heidelberg u. a. 2006, ISBN 3-540-33796-2, S. 74 f.