Hyperkomplexe Zahl

Hyperkomplexe Zahlen sind Verallgemeinerungen der komplexen Zahlen. In diesem Artikel werden hyperkomplexe Zahlen als algebraische Struktur betrachtet. Manchmal werden auch die Quaternionen als die hyperkomplexen Zahlen bezeichnet.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine hyperkomplexe Zahl ist ein Element einer Algebra hyperkomplexer Zahlen. Eine Algebra ${\displaystyle A}$ über den reellen Zahlen heißt Algebra hyperkomplexer Zahlen oder hyperkomplexes System des Rangs ${\displaystyle n}$, wenn

• sie als Vektorraum endliche Dimension ${\displaystyle n}$ hat und wenn
• sie ein Einselement besitzt, das heißt, falls ein ${\displaystyle e\in A}$ existiert, so dass für alle ${\displaystyle a\in A}$ die Gleichung ${\displaystyle e\cdot a=a\cdot e=a}$ gilt.

Manche Autoren fordern zusätzlich, dass die Algebra ${\displaystyle A}$ bezüglich der Multiplikation assoziativ ist. Insbesondere sind die reellen Zahlen selbst eine Algebra hyperkomplexer Zahlen.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

• Für die Addition gelten das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz.
• Die Addition ist invertierbar.
• Das linksseitige und das rechtsseitige Distributivgesetz gilt.

• Die Multiplikation in einer hyperkomplexen Algebra ${\displaystyle A}$ ist bilinear über den reellen Zahlen, d. h., es gilt ${\displaystyle (\alpha x)(\beta y)=\alpha \beta (xy)~~\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {R} ;~x,y\in A}$

Folgende Eigenschaften werden nicht gefordert:

• Für die Multiplikation von hyperkomplexen Zahlen muss das Kommutativgesetz nicht gelten.
• Elemente müssen bezüglich der Multiplikation nicht notwendig invertierbar sein.
• Die Multiplikation braucht nicht nullteilerfrei zu sein.

Konjugation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hyperkomplexe Zahlen lassen sich wie folgt als Summe darstellen:

${\displaystyle a=a_{0}1+a_{1}\mathrm {i} _{1}+\dotsb +a_{n}\mathrm {i} _{n}}$.

Die Größen ${\displaystyle \mathrm {i} _{k}}$ für ${\displaystyle k>0}$ heißen imaginäre Einheiten. Die zu ${\displaystyle a}$ konjugierte Zahl entsteht, indem alle imaginären Einheiten durch ihr Negatives ersetzt werden (${\displaystyle \mathrm {i} _{k}\mapsto -\mathrm {i} _{k}}$). Die zu ${\displaystyle a}$ konjugiert komplexe Zahl wird durch ${\displaystyle {\bar {a}}}$ oder ${\displaystyle a^{*}}$ dargestellt. Ihre Summendarstellung ist

${\displaystyle {\bar {a}}=a_{0}1-a_{1}\mathrm {i} _{1}-\dotsb -a_{n}\mathrm {i} _{n}}$.

Die Konjugation ist eine Involution auf den hyperkomplexen Zahlen, das heißt, dass

${\displaystyle {\bar {\bar {a}}}=a}$.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Komplexe Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die komplexen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {C} }$ sind ein hyperkomplexes Zahlensystem, definiert durch

${\displaystyle z=a+b\mathrm {i} }$  mit  ${\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1}$.

Anormal-komplexe Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die anormal-komplexen Zahlen sind definiert durch

${\displaystyle z=a+bj}$  mit  ${\displaystyle j^{2}=1}$.

Duale Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die dualen Zahlen sind definiert durch

${\displaystyle z=a+b\varepsilon }$  mit  ${\displaystyle \varepsilon ^{2}=0}$.

Man beachte, dass sie nichts mit Dualzahlen (Darstellung von Zahlen im Zweiersystem) zu tun haben.

Quaternionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Quaternionen sind definiert durch

${\displaystyle x_{0}+x_{1}\mathrm {i} +x_{2}\mathrm {j} +x_{3}\mathrm {k} }$  mit  ${\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=\mathrm {j} ^{2}=\mathrm {k} ^{2}=\mathrm {i} \mathrm {j} \mathrm {k} =-1}$.

Die Quaternionen (Symbol oft ${\displaystyle \mathbb {H} }$ nach ihrem Entdecker W. R. Hamilton) bilden eine vierdimensionale ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Algebra mit Division und assoziativer (aber nicht kommutativer) Multiplikation. Es handelt sich bei den Quaternionen also um einen Schiefkörper.

Biquaternionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Biquaternionen sind als Quaternionen mit komplexen Koeffizienten definiert, d. h., sie bilden einen vierdimensionalen Vektorraum über ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ebenso, wie die Quaternionen einen vierdimensionalen Vektorraum über ${\displaystyle \mathbb {R} }$ bilden.

Es gibt zwei unterschiedliche Biquaternion: Hamilton-Biquaternion und Clifford-Biquaternion.

Oktonionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Oktonionen (Symbol ${\displaystyle \mathbb {O} }$, auch Oktaven genannt) sind achtdimensionale hyperkomplexe Zahlen mit Division und alternativer Multiplikation.

Sedenionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Sedenionen (Symbol ${\displaystyle \mathbb {S} }$) sind sechzehndimensionale hyperkomplexe Zahlen. Ihre Multiplikation ist weder kommutativ, assoziativ noch alternativ. Auch besitzen sie keine Division; stattdessen haben sie Nullteiler.

Quadratische Matrizen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ${\displaystyle n}$ eine natürliche Zahl. Der ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n\times n}}$ ist dann eine Algebra mit der ${\displaystyle n\times n}$-Einheitsmatrix als Einselement – also auch eine hyperkomplexe Algebra. Genauer ist sie eine assoziative hyperkomplexe Algebra und damit auch ein Ring und als solcher auch unitär. Die reellzahligen Vielfachen der Einheitsmatrix bilden eine zu ${\displaystyle \mathbb {R} }$ isomorphe Unteralgebra.

Im Fall ${\displaystyle n=2}$ gibt es Unteralgebren, die zu den oben genannten drei zweidimensionalen Algebren isomorph sind; sie zeichnen sich dadurch aus, dass die Hauptdiagonalelemente stets übereinstimmen (was dem Realteil entspricht) und für die Elemente der Nebendiagonalen Regeln gelten, die die dargestellte Algebra festlegen:

• Ein Nebendiagonalelement ist 0 → Die Algebra ist isomorph zu den Dualen Zahlen
• Beide Nebendiagonalelemente stimmen überein → Die Algebra ist isomorph zu den Binären Zahlen
• Jedes Nebendiagonalelement ist das Negative des anderen → Die Algebra ist isomorph zu den komplexen Zahlen

Bemerkung: Jede Matrix des dritten Typs, durch die Determinante dividiert, ist eine Drehmatrix des zweidimensionalen Raums; jede Matrix des zweiten Typs durch ihre Determinante (falls diese von 0 verschieden ist) entspricht einer Lorentz-Transformation in einem 1+1-dimensionalen Minkowski-Raum.

Bemerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

• Mit dem Verdopplungsverfahren (auch als Cayley-Dickson-Verfahren bekannt) lassen sich neue hyperkomplexe Zahlensysteme erzeugen, deren Dimension doppelt so groß ist wie die des Ausgangszahlensystems.
• Jede Clifford-Algebra ist ein assoziatives hyperkomplexes Zahlensystem.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

• Ulf von Rauchhaupt: Von natürlich bis hyperkomplex Frankfurter Allgemeine Sonntagszeitung, 11. Juni 2017
• Heinz-Dieter Ebbinghaus et al.: Zahlen (Grundwissen Mathematik). 3. Aufl. Springer, Berlin 1992, ISBN 3-54055-654-0.
• Isaj L. Kantor, Alexander S. Solodownikow: Hyperkomplexe Zahlen (Mathematische Schülerbücherei; Bd. 95). B.G. Teubner, Leipzig 1978.
• N.N. Vil'yams: Hypercomplex number. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).